Lindelöf

[muzikant]

Ik heb even een vraagje: Hoe bewijs ik dat een ruimte R\{0} met de deelruimtetopologie Lindelöf is?

De topologie is gegeven door

\(
\mathcal{T}=\{U \subset \mathbb{R} \ | \ 0 \notin U \ \mbox{of} \ \mathbb{R} \setminus U \ \mbox{is eindig} \}
\)

[/color]

[Drieske]

Weet je het volgende: second countable impliceert lindelöf?

[muzikant]

Oh ja, dan moet ik dus laten zien dat de topologie een aftelbare basis heeft?

[Drieske]

Ja . Maar nog eenvoudiger: R is second countable en een deelruimte van second countable is second countable. De basis expliciet geven gaat natuurlijk ook.

[muzikant]

R is second countable onder de euclidische topologie, maar dan ook onder deze topologie?

[Drieske]

Sorry, ik had niet goed op je topologie gelet. Neen. Je kunt bewijzen dat X met eindig complementen topologie second countable is asa X aftelbaar is.

Goed, dan rechtstreeks. Gaat ook. Hoe begin je aan zoiets?

[muzikant]

Oké, nog een maar:

De eindig complementen topologie is toch

\(
\mathcal{T}=\{U \subset \mathbb{R} \ | \ U = \emptyset \ \mbox{of} \ \mathbb{R} \setminus U \ \mbox{is eindig} \}
\)

en niet gelijk aan

\(
\mathcal{T}=\{U \subset \mathbb{R} \ | \ 0 \notin U \ \mbox{of} \ \mathbb{R} \setminus U \ \mbox{is eindig} \}
\)

?

[muzikant]

We moeten dus bewijzen dat elke overdekking van R een aftelbare deeloverdekking heeft.

Zij {U_i} een overdekking van R, dan weten we dat voor elke U_igeldt dat R\U_i eindig is.

[Drieske]

Zij {U_i} een overdekking van R, dan weten we dat voor elke U_igeldt dat R\U_i eindig is.

Dat is fout. Er is nog een andere optie. Maar je weet wel dat er minstens...

[muzikant]

Ik weet niet welke kant je uit wilt eigenlijk...

Of moet ik beginnen met een overdekking van R\{0}?

[Drieske]

Okee, ik denk dat ik wat posts van je gemist heb (het scherm sprong meteen naar je laatste post vreemd genoeg) of maar half gelezen (te rap? ik weet het niet). Sorry daarvoor. Maar goed, laten we even "fris" opnieuw beginnen. Je moet bewijzen dat R\{0} Lindelöf is met de deelruimtetopologie. De topologie op R is die uit je eerste post. Ik zou nu het volgende doen: bepaal de deelruimtetopologie (dat is niet moeilijk)? Eens je dat hebt, kunnen we naar Lindelöf kijken (en daarvoor was je goed op weg).

[muzikant]

Oké, de deelruimte-topologie is

\(
\mathcal{T}=\{U \subset \mathbb{R} \ | \ 0 \notin U \ \mbox{of} \ \mathbb{R} \setminus (U \cap \{0\}) \ \mbox{is eindig} \}
\)

of is die toch

\(
\mathcal{T}=\{U \subset \mathbb{R} \ | \ \mathbb{R} \setminus (U \cap \{0\}) \ \mbox{is eindig} \}
\)

[/color]

[Drieske]

Er zit sowieso (welk van de 2 het ook is) nog een foutje in. Even opfrissen:

\((C \setminus A) \cap (C \setminus B) = C \setminus (A \cup B)\)

en de deelruimtetopologie op S is

\(\tau_{sub} = \{S \cap U | U \in \tau\}\)

. Als nu U (in de topologie op R) 0 niet bevat. Wat dan? Als nu U is zodanig dat R\U eindig is. Wat dan?

[muzikant]

\(
\tau_{sub} = \{\ \mathbb{R} \setminus \{0\} \cap U | U \in \tau\}
\)

[/color]

Dus

\(
\tau_{sub} = \{U \in \ \mathbb{R} | \ \mathbb{R} \setminus (U \cup \{0\} )\ \mbox{is eindig } \}
\)

[/color]

[Drieske]

Stel eens dat U het interval (-10, -5) is. Dat zit in je topologie op R, akkoord? Zit dat ook in de deelruimtetopologie?

PS: die U's die 0 niet bevatten, daar ligt geen andere voorwaarde op? Maw: ook {4} is open in R voor deze topologie?