Lindelöf

[muzikant]

Oke, ik ben dus dat deel

\(0 \not \in U\)

vergeten...

\(\tau_{sub} = \{U \in \rr | 0 \not \in U \mbox{ of } \rr \setminus (U \cup \{0\}) \mbox{ is eindig} \}\)

Ik snap het eigenlijk niet helemaal wat je bedoelt, en wat ik moet doen...

[Drieske]

Ik probeer eerst ook zelf een beter zicht te krijgen op je topologie (op R). Zoals hij nu in je eerste post staat, klopt het toch dat {4} (het singleton 4) open is voor je topologie T? Algemener: elke {a} met a verschillend van 0 is open. Klopt dat? Maw: niets vergeten in je topologie?

[muzikant]

Ja, inderdaad, want dan geldt U = {a} en dus

\(
0 \ notin U

[\tex]

Maar wanneer 0 wel in U zit, moet R\U dus eindig zijn...

Deze deelruimte bevat 0 niet, dus dat moet toch altijd gelden dat R\U eindig is?\)

[Drieske]

Maar het punt voor je deelruimtetopologie is wel: je moet àlle opens van je topologie T beschouwen en hiervan de doorsnede nemen met R\{0}. Bijgevolg moet je ook bijv {a} beschouwen (waarvoor zeker niet geldt dat R\{a} eindig is). Maar als a niet 0 is, dan is

\(\{a\} \cap (\rr \setminus \{0\}) = \{a\}\)

. Zie je dit?

[muzikant]

Oke, ja dat zie ik.

Moeten we dan zeggen

\(
\ \mathbb{R} \setminus (\{U} \cap (\rr \setminus \{0\})) \mbox{is eindig}
\)

[/color]

[Drieske]

Neen . Je hebt in je topologie twee gevallen: 0 niet in U of R\U eindig. Als 0 niet in U zit, dan ... Als R\U eindig is, dan...

Maar kijk ook eens goed naar wat we nu eigenlijk hebben: voor alle a niet 0 is {a} open.

[muzikant]

Als 0 niet in U zit, dan is R\U eindig

Als R\U eindig is, dan geldt dat U samen met een eindig aantal overdekkingen de deelruimte overdekt?

De vereniging van alle {a} is een open overdekking van R\{0} ?

Maar deze is niet aftelbaar....

[Drieske]

Inderdaad. En heeft zeker ook geen aftelbare deeloverdekking. Ergo: niet Lindelöf. Bijgevolg roept dit de vraag op: vanwaar komt je opgave en hoe zeker ben je van de correctheid? En: hoe letterlijk heb je je vraag hier weergegeven?