Bewijs aardrotatie met valproef

[Arthurb]

Hallo,

In mijn cursus staat dat een bewijs van aardrotatie de valproef is, hierbij laat men een steentje aan de oost- en westzijde van een toren vallen, het ene zal dichter bij de toren vallen en de andere weg van de toren.

Nu dacht ik "die steentjes hebben toch al een snelheid dus moeten ze dan niet loodrecht naar beneden vallen"?

Groetjes

[Bartjes]

Over zulke zaken heeft al een topic gelopen:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/126524-draait-de-aarde-onder-me-door/

[Michel Uphoff]

Nu dacht ik "die steentjes hebben toch al een snelheid dus moeten ze dan niet loodrecht naar beneden vallen"?

Het aangehaalde topic is (naast zeer interessant) ook wel erg lang en ingewikkeld.

Misschien is een kort antwoord toch wel op zijn plaats:

Bovenin die toren heeft het steentje door de rotatie van de Aarde een grotere omtreksnelheid, die valt eenvoudig uit te rekenen. We gaan uit van een toren op de evenaar en houden geen rekening met luchtweerstand en andere invloeden.

Bijvoorbeeld bij een 100 meter hoger toren legt het steentje in 24 uur door de draaiing van de Aarde ongeveer (2pi*100) = 628 meter meer af, dat is 7 mm per seconde. Het steentje valt 4,5 seconden en heeft in die tijd 'horizontaal' dus ongeveer 33 mm naar het oosten afgelegd.

Op de noord of zuidpool zal het steentje wel recht omlaag vallen.

[Arthurb]

Hartelijk dank, dat is het antwoord dt ik zocht

[Mach]

Het aangehaalde topic is (naast zeer interessant) ook wel erg lang en ingewikkeld.

Misschien is een kort antwoord toch wel op zijn plaats:

Bovenin die toren heeft het steentje door de rotatie van de Aarde een grotere omtreksnelheid, die valt eenvoudig uit te rekenen. We gaan uit van een toren op de evenaar en houden geen rekening met luchtweerstand en andere invloeden.

Bijvoorbeeld bij een 100 meter hoger toren legt het steentje in 24 uur door de draaiing van de Aarde ongeveer (2pi*100) = 628 meter meer af, dat is 7 mm per seconde. Het steentje valt 4,5 seconden en heeft in die tijd 'horizontaal' dus ongeveer 33 mm naar het oosten afgelegd.

Op de noord of zuidpool zal het steentje wel recht omlaag vallen.

Sorry dat ik zo'n oud topic omhoog haal maar vond dit wel een interessante vraag. Het zal ongetwijfeld waar zijn, maar er is mij iets niet duidelijk. Als het geciteerde klopt, dan zou dit toch ook moeten gebeuren wanneer je een appel in een bus laat vallen? Nou heb ik weleens gelezen dat dat niet waar is, dat de appel dezelfde snelheid als de bus heeft en dus niet horizontaal zal verplaatsen. Is het dan ook niet zo dat alles wat zich in de atmosfeer van de aarde bevind met dezelfde snelheid als de aarde beweegt?

[317070]

Nou heb ik weleens gelezen dat dat niet waar is, dat de appel dezelfde snelheid als de bus heeft

Dat klopt, de appel heeft in het begin dezelfde snelheid als de bus

(...) dus niet horizontaal zal verplaatsen.

Maar als je de appel loslaat, dan gaat hij zijn snelheid proberen aan te houden. De bus niet, die gaat proberen mee te draaien met de aardrotatie. Dus de appel gaat tegen de zijkant van de bus slaan.

[jkien]

Bijvoorbeeld bij een 100 meter hoger toren legt het steentje in 24 uur door de draaiing van de Aarde ongeveer (2pi*100) = 628 meter meer af, dat is 7 mm per seconde. Het steentje valt 4,5 seconden en heeft in die tijd 'horizontaal' dus ongeveer 33 mm naar het oosten afgelegd.

Hier ontbreekt een factor 2/3. Bovenstaande berekening correspondeert met een onvrije val waarbij het object 100% van de valtijd op de beginhoogte H verblijft, en zich pas op het allerlaatste moment instantaan naar de grond verplaatst. De gemiddelde hoogte is dan gelijk aan H. Maar bij een vrije val (een paraboolbaan) is de gemiddelde hoogte 2/3 H. De verplaatsing naar het oosten is daardoor 2/3 van die 33 mm.

[Michel Uphoff]

Hier ontbreekt een factor 2/3

Dat zie ik niet. Dat er een parabool wordt afgelegd is duidelijk. Maar de aanvangssnelheid tov het aardoppervlak is 7mm/sec in horizontale richting en dat blijft deze gedurende 4,5 seconden ongeacht de vertikale snelheid. Dus is de horizontaal afgelegde weg toch eenvoudigweg 33 mm?

[jkien]

Het is geen Newtoniaanse snelheid die behouden blijft in afwezigheid van horizontale krachten. Het is een pseudosnelheid waarmee je de kromming van de aarde wegtransformeert. Die pseudosnelheid is evenredig met de hoogte en hij heeft geen geheugen. Als je een object verticaal naar boven schiet dan heeft hij op het hoogste punt de grootste pseudosnelheid maar als hij later terugvalt op de grond is die pseudosnelheid weer nul. Dat moet trouwens ook vanwege energiebehoud.

Volgens jouw berekening ging het alleen om de begin- en eindhoogte. Vrije val werd niet vereist. Dus 99% van de tijd boven en 1% van de tijd beneden zou hetzelfde antwoord geven als 1% van de tijd boven en 99% van de tijd beneden. Ten onrechte. Als v'(t) de pseudosnelheid is dan is de verplaatsing naar het oosten

\(\Delta x = \int_{0}^{T} v' dt \)

.

Die factor 2/3 kwam ook naar voren in het door Bartjes aangehaalde topic 1, 2, 3.

[Bartjes]

Inderdaad is deze kwestie in het oude topic al aan de orde geweest. Ik heb toen ook aangegeven welke berekening er moet worden gemaakt om de bedoelde factor (in benadering) uit te rekenen. Zie:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/126524-draait-de-aarde-onder-me-door/page__view__findpost__p__922253

http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/126524-draait-de-aarde-onder-me-door/page__view__findpost__p__922294

Intuïtief is er het volgende aan de hand. De top van de toren heeft een hogere omtreksnelheid dan de voet. Die hogere omtreksnelheid krijgt het steentje bij het loslaten mee. Maar om de aardrotatie te volgen heeft het steentje die hogere omtreksnelheid in het begin van de val ook nodig. Bovendien bevindt het steentje zich ook relatief veel tijd van de val op hoogte, omdat de valsnelheid (verticaal) gedurende de val toeneemt. Maar het vooruitlopen op de aardbeweging zal vooral in het lagere gedeelte van de val plaatsvinden, en dat binnen een relatief klein deel van de totale valtijd.

[Michel Uphoff]

Maar om de aardrotatie te volgen heeft het steentje die hogere omtreksnelheid in het begin van de val ook nodig...het vooruitlopen op de aardbeweging zal vooral in het lagere gedeelte van de val plaatsvinden

Dat is een inzichtgevende opmerking. Je moet er inderdaad uit concluderen dat het duidelijk minder moet zijn dan die eenvoudig geschatte 33 mm.

I stand corrected

[jkien]

Voor de volledigheid de rest van de uitwerking, die het verwachte antwoord oplevert, met ω = hoeksnelheid van de aarde:

\(\Delta x = \int_{0}^{T} v' dt = \int_{0}^{T} \omega h dt = \omega \int_{0}^{T} h dt = \omega h_{gemiddeld} T \)

Voor de vrije val (parabool) is

\( h_{gemiddeld} = \frac{2}{3} H\)

en

\(T= \sqrt { \frac{2H}{g}}\)

.

[Bartjes]

Voor de volledigheid de rest van de uitwerking, die het verwachte antwoord oplevert, met ω = hoeksnelheid van de aarde:

\(\Delta x = \int_{0}^{T} v' dt = \int_{0}^{T} \omega h dt = \omega \int_{0}^{T} h dt = \omega h_{gemiddeld} T \)

Voor de vrije val (parabool) is

\( h_{gemiddeld} = (2/3) H\)

en T= √(2H/g).

Daarbij wordt

\( \omega \)

constant gerekend? En wat is precies v' ?

[jkien]

ω is de hoeksnelheid van de asrotatie van de aarde, dat is constant 2n per dag.

v' is het snelheidsoverschot t.o.v. zeeniveau dat Michel in bericht #3 bijvoorbeeld uitrekende voor 100 meter hoogte: 7 mm per seconde. Dat snelheidsoverschot is recht evenredig met de hoogte h. Bij de evenaar is v'(h) = ωh.

[Bartjes]

ω is de hoeksnelheid van de asrotatie van de aarde, dat is constant 2n per dag.

Mooi - dat is inderdaad (vrijwel) constant.

v' is het snelheidsoverschot t.o.v. zeeniveau dat Michel in bericht #3 bijvoorbeeld uitrekende voor 100 meter hoogte: 7 mm per seconde. Dat snelheidsoverschot is recht evenredig met de hoogte h. Bij de evenaar is v'(h) = ωh.

Aha! Dus:

v' = (R_aarde + h_toren).ω - R_aarde.ω

v' = h_toren.ω .

Mee eens. Hierin is v' de extra horizontale snelheid die een op de evenaar van de toren losgelaten steentje meekrijgt. Maar ik begrijp nog niet waarom die extra horizontale snelheid zich voor een steentje tijdens de val ook nog volgens die zelfde formule zou moeten ontwikkelen.