Bewijs aardrotatie met valproef

[jkien]

Maar ik begrijp nog niet waarom die extra horizontale snelheid zich voor een steentje tijdens de val ook nog volgens die zelfde formule zou moeten ontwikkelen.

Verdeel de val in oneindig veel infinitesimale stapjes. Op elk infinitesimaal stapje pas je de volgende regel toe: als de hoogte toeneemt met Δh dan voeg je de snelheid Δv = ω Δh toe in westelijke richting. De voorwaarde is dat er geen horizontale kracht op het object werkt.

Dat is het complete recept. Dus wat iemand in een naieve bui op eindige stappen zou willen toepassen toepassen moet hij op infinitesimale stapjes toepassen.

[Bartjes]

Verdeel de val in oneindig veel infinitesimale stapjes. Op elk infinitesimaal stapje pas je de volgende regel toe: als de hoogte toeneemt met Δh dan voeg je de snelheid Δv = ω Δh toe in westelijke richting. De voorwaarde is dat er geen horizontale kracht op het object werkt.

Dat is het complete recept. Dus wat iemand in een naieve bui op eindige stappen zou willen toepassen toepassen moet hij op infinitesimale stapjes toepassen.

Misschien moet ik mijn vraag anders stellen. Je hebt de formule:

v' = ω . h_toren .

Daarmee vind je de extra horizontale snelheid van het steentje bij loslaten (t = 0s) vanaf een toren op de evenaar. Ná het loslaten heb je te maken met h_steentje(t) en v'_steentje(t) . Ga je er nu vanuit dat tijdens de val (dus ook voor t > 0s) nog steeds blijft gelden:

v'_steentje(t) = ω . h_steentje(t) ?

Het lijkt erop - en die stap kan ik niet volgen.

[jkien]

We bekijken de beweging van een deeltje waarbij de verplaatsing verticaal en horizontaal in de orde van 100 m is of kleiner. We gebruiken een geodetisch coordinatenstelsel (x,h) dat niet Cartesisch is. Maar ik wil de beweging beschrijven met de Newtoniaanse bewegingswetten alsof (x,h) wel Cartesisch is, plus een kleine correctie. Die correctie is: als de hoogte infintesimaal toeneemt met dh dan groeit de snelheid met dv = ω dh in westelijke richting.

Het gevolg is dat de correctie voor een eindige beweging langs een willekeurig pad is:

• Δx = ω Δh_gemiddeld T
• Δv_x = ω Δh (als er geen horizontale kracht werkt)

Op het eerste gezicht lijkt de correctie in strijd met Newton en de wet van behoud van energie, maar dat komt door het coordinatenstelsel. In feite is de correctie juist noodzakelijk daarvoor.



Een belangrijk detail is dat de tweede formule afhangt van Δh = h(T) - h(0) terwijl de eerste formule afhangt van Δh_gemiddeld , d.w.z. het gemiddelde van h(t) - h(0) tijdens de reis. Bijvoorbeeld bij een deeltje dat verticaal omhoog geschoten wordt en dat terugvalt is Δh = 0, terwijl Δh_gemiddeld ≠ 0.

(Δv_x is een alternatieve aanduiding voor de v' uit mijn vorige berichten)

[Bartjes]

@ jkien. Ik begrijp het niet. Er zijn twee voor de hand liggende referentiestelsels om de val van het steentje in te berekenen:

1. Een referentiestelsel dat met het middelpunt van de aarde is verbonden maar niet mee roteert. Daarin gelden (bij goede benadering) de wetten van Newton.

2. Een referentie stelsel dat met het middelpunt van de aarde is verbonden en wel mee roteert met de aarde. Daarin gelden de wetten van Newton niet. Doen alsof die wetten wel gelden bederft het effect dat we hier onderzoeken. De enige manier om F = m.a (als rekenregel) toch toe te passen bestaat uit het toevoegen van (door de aardrotatie opgeroepen) schijnkrachten aan het gewicht van het steentje.

De methode die je hier gebruikt ken ik niet, en ik zie ook niet in waarom die zou kloppen. Heb je een link waar de juistheid van die methode nader wordt uiteengezet?

[jkien]

Veronderstel dat de toren in Amersfoort staat. Dat komt mooi uit omdat Amersfoort het middelpunt is van het geodetische coordinatenstelsel van Nederland.

• Stelsel 1 is het geodetische coordinatenstelsel van Nederland (het reist mee met Nederland, en het volgt de kromming van Nederland). Dit is niet cartesisch.
• Stelsel 2 is het lokale meereizende inertiaalstelsel dat tijdens de kogelbaanexperimenten dezelfde snelheid heeft als Amersfoort. Dat is cartesisch. Hier zijn de wetten van Newton in cartesisch vorm van toepassing.

Simplicio is toevallig aanwezig bij de experimenten en hij probeert de kogelbaan te beschrijven in stelsel 1 met de wetten van Newton in cartesische vorm. Ten onrechte! De vraag is welke afwijking er zal optreden tussen experiment en de theorie van Simplicio. Die afwijking is: als de hoogte infinitesimaal toeneemt met dh dan groeit de snelheid met dv_x = ω dh. Simplicio besluit vervolgens dat hij de feitelijke afwijking voortaan kan gebruiken als een 'correctie' op de wetten van Newton.

Ik vermoed dat je het ermee eens bent dat die afwijking dv = ω dh is, denk bijvoorbeeld aan een object op een spiegelgladde tafel die verticaal beweegt.

[Bartjes]

Voor h(t) en ω(t) hebben we:

\( \mbox{h}(t) = \mbox{h}_0 \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_0}{ R \, + \, \mbox{h}_0 \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \)

.

Maar h₀ = h_toren . Dus:

\( \mbox{h}(t) = \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \)

.

Voor de "horizontale" beweging v_h van het steentje vinden we dan:

\( \mbox{v}_h(t) = \omega(t) . \mbox{r}(t) \)

\( \mbox{v}_h(t) = \omega(t) . (\mbox{R} + \mbox{h}(t)) \)

\( \mbox{v}_h(t) = \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \,\,\, . \,\,\, ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 ) \)

\( \mbox{v}_h(t) = \frac{( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 }{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \,\,\, . \,\,\, \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \)

.

Voor de "horizontale" beweging v_a van de aarde vinden we:

\( \mbox{v}_a = \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \, . \, \mbox{R} \)

Dus zal het steentje t.o.v. van het aardoppervlak een "horizontale" snelheid v_sa hebben van:

\( \mbox{v}_{sa}(t) = \mbox{v}_h(t) - \mbox{v}_a \)

.

Waarin:

R = de straal van de aarde.

h(t) = de hoogte boven het aardoppervlak van het steentje op tijdstip t.

h₀ = de hoogte boven het aardoppervlak van het steentje bij loslaten (t=0s).

h_toren = de hoogte van de toren.

g = de zwaartekrachtsversnelling.

t = is de tijd.

ω(t) = de hoeksnelheid van het steentje op tijdstip t.

T = de tijdsduur van een omwenteling van de aarde.

v_h(t) = de "horizontale" snelheid van het steentje op tijdstip t.

r(t) = de afstand van het middelpunt van de aarde tot het steentje op tijdstip t.

v_a = de "horizontale" snelheid van het aardoppervlak.

v_sa(t) = de "horizontale" snelheid van het steentje op tijdstip t gemeten t.o.v. het aardoppervlak.

[Bartjes]

Veronderstel dat de toren in Amersfoort staat. Dat komt mooi uit omdat Amersfoort het middelpunt is van het geodetische coordinatenstelsel van Nederland.

• Stelsel 1 is het geodetische coordinatenstelsel van Nederland (het reist mee met Nederland, en het volgt de kromming van Nederland). Dit is niet cartesisch.
• Stelsel 2 is het lokale meereizende inertiaalstelsel dat tijdens de kogelbaanexperimenten dezelfde snelheid heeft als Amersfoort. Dat is cartesisch. Hier zijn de wetten van Newton in cartesisch vorm van toepassing.

Bestaat er dan een lokaal met Amersfoort mee reizend inertiaalstelsel?

Simplicio is toevallig aanwezig bij de experimenten en hij probeert de kogelbaan te beschrijven in stelsel 1 met de wetten van Newton in cartesische vorm. Ten onrechte! De vraag is welke afwijking er zal optreden tussen experiment en de theorie van Simplicio. Die afwijking is: als de hoogte infinitesimaal toeneemt met dh dan groeit de snelheid met dv_x = ω dh. Simplicio besluit vervolgens dat hij de feitelijke afwijking voortaan kan gebruiken als een 'correctie' op de wetten van Newton.

Welke hoogte en snelheid bedoel je hier?

Ik vermoed dat je het ermee eens bent dat die afwijking dv = ω dh is, denk bijvoorbeeld aan een object op een spiegelgladde tafel die verticaal beweegt.

Dat geldt voor de beginsnelheid, bij het loslaten van het steentje. Maar dat die relatie ook daarna nog opgaat zie ik niet. Wordt de horizontale snelheid van het steentje volgens jou kleiner tijdens de val?

[jkien]

\( \mbox{v}_h(t) = \frac{( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 }{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \,\,\, . \,\,\, \frac{2 \pi \, \mbox{rad}}{\mbox{T}} \)

.

en

\( \mbox{v}_{sa}(t) = \mbox{v}_h(t) - \mbox{v}_a \)

Lastig is dat we de letter ω verschillend gebruiken. Bij jou is ω de variabele hoeksnelheid van het vallende voorwerp, bij mij was het de constante hoeksnelheid van de aarde. In dit bericht zal ik de hoeksnelheid van de aarde met een hoofdletter schrijven, Ω = 2π/T. Dus

\( v_a = R \Omega \)

,

\( v_h(0) = (R + h_{toren}) \Omega \)

,

\( v_h(T) \approx (R + 2h_{toren}) \Omega \)

.

dus

\( v_h(T) - v_h(0) = h_{toren} \Omega \)

Dus jouw resultaat komt overeen met mijn Δv_x = Ω Δh (in bericht #18).

Bestaat er dan een lokaal met Amersfoort mee reizend inertiaalstelsel?

Voor een infinitesimaal tijdsinterval zeker, daar gaat het om. Voor een valproef die 5 seconde duurt zie ik ook geen bezwaar.

Welke hoogte en snelheid bedoel je hier?

h(t) is de hoogte van het voorwerp, v_x(t) is de horizontale snelheid van het voorwerp (dus jouw v_h(t) ).

Dat geldt voor de beginsnelheid, bij het loslaten van het steentje. Maar dat die relatie ook daarna nog opgaat zie ik niet. Wordt de horizontale snelheid van het steentje volgens jou kleiner tijdens de val?

Als de hoogte verandert met Δh dan verandert de snelheid met Δv_x = Ω Δh. Als v_x bovenaan de toren nul was dan zal |v_x| groter worden tijdens de val.

Dus net als de snelheid v_h(t) in jouw berekening die ook lineair met de hoogte verandert, van de waarde v_h(0) tot v_h(T).

[Bartjes]

Lastig is dat we de letter ω verschillend gebruiken. Bij jou is ω de variabele hoeksnelheid van het vallende voorwerp, bij mij was het de constante hoeksnelheid van de aarde. In dit bericht zal ik de hoeksnelheid van de aarde met een hoofdletter schrijven, Ω = 2π/T. Dus

\( v_a = R \Omega \)

,

\( v_h(0) = (R + h_{toren}) \Omega \)

,

\( v_h(T) \approx (R + 2h_{toren}) \Omega \)

.

dus

\( v_h(T) - v_h(0) = h_{toren} \Omega \)

Dus jouw resultaat komt overeen met mijn Δv_x = Ω Δh (in bericht #18).

Ik neem aan dat je met de T in v_h(T) niet de duur van de omwenteling van de aarde bedoelt, maar de valduur die we dan beter met

\( \tau \)

kunnen aanduiden. We hebben dan:

\( \mbox{v}_a = \mbox{R} \, . \, \Omega \)

,

\( \mbox{v}_h(0) = (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}) \, . \, \Omega \)

.

En:

\( \mbox{v}_h(\tau) = \frac{( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 }{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 } \, . \, \Omega\)

\( \mbox{v}_h(\tau) = \frac{( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 }{ \mbox{R}} \, . \, \Omega\)

\( \mbox{v}_h(\tau) = \frac{ \mbox{R}^2 + 2 \mbox{R} \mbox{h}_{toren} + (\mbox{h}_{toren})^2 }{ \mbox{R} } \, . \, \Omega\)

\( \mbox{v}_h(\tau) = \left (\mbox{R} + 2 \mbox{h}_{toren} + \frac{(\mbox{h}_{toren})^2}{\mbox{R} } \right ) \, . \, \Omega \)

.

Dus:

\( \mbox{v}_h(\tau) - \mbox{v}_h(0) = \left ( \mbox{R} + 2 \mbox{h}_{toren} + \frac{(\mbox{h}_{toren})^2}{\mbox{R} } \right ) \, . \, \Omega \,\, - \,\, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}) \, . \, \Omega \)

\( \mbox{v}_h(\tau) - \mbox{v}_h(0) = \left ( \left (\mbox{R} + 2 \mbox{h}_{toren} + \frac{(\mbox{h}_{toren})^2}{\mbox{R} } \right ) \,\, - \,\, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}) \right ) \, . \, \Omega \)

\( \mbox{v}_h(\tau) - \mbox{v}_h(0) = \left ( \mbox{h}_{toren} + \frac{(\mbox{h}_{toren})^2}{\mbox{R} } \right ) \, . \, \Omega \)

\( \mbox{v}_h(\tau) - \mbox{v}_h(0) = \mbox{h}_{toren} \, . \, \left ( 1 + \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R} } \right ) \, . \, \Omega \)

.

We komen dus inderdaad vrijwel op het zelfde uit. En dat is het belangrijkste!

Maar hoe gaat je berekening nu verder? Dit zijn alleen de grenswaarden, en we moeten eigenlijk een integraal over de hele valduur nemen.

[jkien]

De vragen zijn beantwoord dacht ik. Het vermoeden van de topicstarter dat Δx = 0 als een steentje van een toren valt is weerlegd door verwijzing naar een vorig topic. Het nieuwe vermoeden (in [topic=946397]bericht #5[/topic]) dat Δx = 0 in een bus werd weersproken in het bericht erna. De formule van [topic=946455]bericht #12[/topic] (die verkregen werd met een integraal over de hele valduur) onderbouwt dat: voor een bushoogte van 3 m is Δx = 0.1 mm.

[Bartjes]

De vragen zijn beantwoord dacht ik. Het vermoeden van de topicstarter dat Δx = 0 als een steentje van een toren valt is weerlegd door verwijzing naar een vorig topic. Het nieuwe vermoeden (in [topic=946397]bericht #5[/topic]) dat Δx = 0 in een bus werd weersproken in het bericht erna. De formule van [topic=946455]bericht #12[/topic] (die verkregen werd met een integraal over de hele valduur) onderbouwt dat: voor een bushoogte van 3 m is Δx = 0.1 mm.

Ik wil nog even proberen of de afwijking d (aan de evenaar) ook op mijn manier valt uit te rekenen. Dat is uiteraard meer rekenwerk, maar het resultaat zal nauwkeuriger zijn omdat er minder bij wordt verwaarloosd.

De valtijd

\( \tau \)

vinden we aldus:

\( \mbox{h}_{toren} - {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 = 0 \)

\( \mbox{h}_{toren} = {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 \)

\( \tau^2 = \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

\( \tau = \sqrt{ \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \)

(formule 1).

Voor de hoeksnelheid ω(t) op tijdstip t geldt:

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{1}{ 1 - \frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } \,\, t^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{1}{ 1 - \left ( \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\, t \right )^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \)

(formule 2).

Laat nu:

\( u(t) = \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\, t \)

(formule 3).

Zodat:

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \)

(formule 4).

Verder hebben we nog:

\( u(0) = \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\, 0 \)

\( u(0) = 0 \)

(formule 5).

\( u(\tau) = \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\, \tau \)

\( u(\tau) = \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\, \sqrt{ \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \)

\( u(\tau) = \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } \,\, . \,\, \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \)

\( u(\tau) = \sqrt{\frac{\mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} } \)

(formule 6).

Voor de tijdens de val door het steentje afgelegde hoek

\( \phi \)

geldt:

\( \phi \, = \, \int_0^{\tau} \, \omega(t) \, \mbox{d}t \)

(formule 7).

Met deze gegevens moet

\( \phi \)

zijn uit te rekenen. Ik moet nog even bekijken hoe dat netjes kan.

Daarna is het een kwestie van de hoekverdraaiing

\( \phi \)

van het steentje tijdens de val verminderen met de hoekverdraaiing

\( \Omega \, \tau \)

van het aardoppervlak tijdens de val, waaruit je vindt over welke hoek

\( \phi - \Omega \, \tau \)

het steentje bij het neerkomen ten opzichte van de aardkorst vooruit loopt.

Vermenigvuldig je die "vooruitloophoek" met de straal R van de aarde dan heb je de afwijking d:

\( \mbox{d} = ( \phi - \Omega \, \tau ) \, . \, \mbox{R} \)

(formule 8).

.

[Bartjes]

OK - de integraal. Formule 7 luidt:

\( \phi \, = \, \int_0^{\tau} \, \omega(t) \, \mbox{d}t \)

.

En formule 4:

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \)

.

Invullen geeft:

\( \phi \, = \, \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 . \,\, \Omega \,\,\, \mbox{d}t \)

\( \phi \, = \, \Omega \, . \, \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 \, \mbox{d}t \)

\( \phi \, = \, \Omega \, . \, \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 \, . \, \frac{\sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } }}{\sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } }} \,\,\,\, \mbox{d}t \)

\( \phi \, = \, \frac{\Omega}{\sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } } \, . \, \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 \, . \, \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\,\, \mbox{d}t \)

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 \, . \, \sqrt{\frac{\mbox{g}}{2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } } \,\,\,\, \mbox{d}t \)

.

Op basis van formule 3 vinden we dan ook:

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \int_0^{\tau} \, \left (\frac{1}{ 1 - u(t)^2 } \right )^2 \, . \, \frac{\mbox{d} u}{\mbox{d} t} \,\,\,\, \mbox{d}t \)

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \int_{u(0)}^{u(\tau)} \, \left (\frac{1}{ 1 - u^2 } \right )^2 \,\,\, \mbox{d}u \)

.

En dus wegens formule 5 vervolgens:

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \int_0^{u(\tau)} \, \left (\frac{1}{ 1 - u^2 } \right )^2 \,\,\, \mbox{d}u \)

.

Voor deze integraal heb ik WolframAlpha geraadpleegd:

http://www.wolframal...E2%29%29%5E2+dx

We krijgen dan:

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \left [ {\scriptstyle \frac{1}{4} } \, . \, \left ( \frac{2 u }{1 - u^2} - \ln(1 - u) + \ln(1 + u ) \right ) \right ]_0^{u(\tau)} \)

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \left \{ {\scriptstyle \frac{1}{4} } \, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \,\,\, - \,\,\, {\scriptstyle \frac{1}{4} } \, . \, \left ( \frac{0}{1} - \ln(1) + \ln(1) \right ) \right \}\)

\( \phi \, = \, \Omega \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . {\scriptstyle \frac{1}{4} } \, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \)

\( \phi \, = \, \frac{\Omega}{4} \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \)

(formule 9) .

[Bartjes]

Invullen van formule 9 in formule 8 geeft:

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{\Omega}{4} \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } \,\, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) - \Omega \, \tau \right \} \, . \, \mbox{R} \)

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{1}{4} \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } \,\, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \,\, - \,\,\, \tau \right \} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \)

.

Met behulp van formule 1 krijgen we dan:

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{1}{4} \,\, . \,\, \sqrt{ \frac{ 2 \left ( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} \right ) } { \mbox{g} } } \,\, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \,\, - \,\,\, \sqrt{ \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \right \} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \)

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \,\, . \, \left ( \frac{2 u(\tau) }{1 - u(\tau)^2} - \ln(1 - u(\tau)) + \ln(1 + u(\tau) ) \right ) \,\, - \,\,\, \sqrt{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \right \} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \,\, . \,\, \sqrt{\frac{2 . \mbox{R}}{ \mbox{g}}} \)

(formule 10).

Voor het gemak schrijven we:

\( \mbox{I}(x) = \frac{2 x }{1 - x^2} - \ln(1 - x) + \ln(1 + x )\)

(formule 11) .

Zodat we formule 10 verkort kunnen noteren als:

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \,\, . \, \mbox{I}(u(\tau)) \,\, - \,\,\, \sqrt{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \right \} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \,\, . \,\, \sqrt{\frac{2 . \mbox{R}}{ \mbox{g}}} \)

(formule 12) .

We kunnen formule 6 als volgt herschrijven:

\( u(\tau) = \sqrt{\frac{\mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} + \mbox{h}_{toren} } \)

\( u(\tau) = \sqrt{ \frac{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} }{ 1 + \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } } } \)

(formule 13) .

Invullen van formule 13 in formule 12 geeft:

\( \mbox{d} = \left \{ \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \,\, . \, \mbox{I} \left ( \sqrt{ \frac{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} }{ 1 + \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } } } \right ) \,\, - \,\,\, \sqrt{ \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} } \right \} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \,\, . \,\, \sqrt{\frac{2 . \mbox{R}}{ \mbox{g}}} \)

(formule 14) .

Wat we nogmaals kunnen verkorten door te schrijven:

\( \mbox{val}(x) = \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + x } \,\, . \, \mbox{I} \left ( \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \right ) \,\, - \,\,\, \sqrt{x} \)

(formule 15) .

Dit is een wiskundige functie die we de valfunctie zullen noemen.

De formules 14 en 15 geven tenslotte:

\( \mbox{d} = \mbox{val} \left (\frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \right ) \, . \, \Omega \, \mbox{R} \,\, . \,\, \sqrt{\frac{2 . \mbox{R}}{ \mbox{g}}} \)

(formule 16) .

[Bartjes]

Hoe maken we nu een mooi plaatje van de valfunctie waaruit we de waarden van

\( \mbox{val}(\frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}}) \)

voor

\( \mbox{h}_{toren} \)

tussen laat ons zeggen 0 een 100 meter kunnen aflezen?

[Michel Uphoff]

Na al dit mathematische gegoochel ben ik daar ook wel benieuwd naar.