Harmonische oscillator in de kwantummechanica

[knockstaart]

Ik heb een vraagje over de energie van de superpositie van 2 "stationary state" oplossingen (of eigenfuncties) van een deeltje in een kwadratische potentiaalput (harmonische oscillator). Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψ_n (reeds genormeerd: |ψ_n|² = 1) met corresponderende energieniveaus E_n. Zo zal een deeltje met vergelijking ψ₁ een energie E₁bezitten enz...

Nu zal elke lineaire combinatie (met correcte normering) van oplossingen ψ_n weer een oplossing zijn van het probleem aangezien dit een eigenschap is van de Schrödinger vergelijking.

ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.

Heeft het deeltje met vergelijking a*ψ_m + b*ψ_keen energie van a*E_m + b*E_kof eerder

(a*E_m + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?

Alvast bedankt,

knockstaart

[Typhoner]

Als men zo'n type probleem oplost doormiddel van de tijdonafhankelijke Schrödinger vergelijking bekomt men een n tijdsafhankelijke oplossingen ψ_n

Je bedoelt toch tijdsonafhankelijke oplossingen?

En je hebt, voor het Harmonisch geval, in principe oneindig veel oplossingen.

Puur formeel is er niets mis met een lineaire combinatie

\(\phi = a \psi_a + b \psi_b\)

te maken. Je moet a en b wel zodanig kiezen dat

\(\int |\phi|^2 = 1\)

(die integraal was je vergeten in jouw post)

Je kan gebruikmaken van de orthonormaliteit van de functies

\(\psi\)

:

\(\int |\psi_a|^2 = 1\)

en

\(\int \psi_a^* \psi_b^{} = 0\)

De energie is dan de overlapintegraal:

\(\int \phi^* \hat{H} \phi\)

Deze kan je zelf uitwerken als je de formule voor

\(\phi\)

invult en weet dat de functies

\(\psi\)

eigenfuncties zijn van de hamiltoniaan (met eigenwaarden

\(E_a\)

en

\(E_b\)

) en opnieuw ook hun orthonormaliteit.

[knockstaart]

Bedankt voor je reactie.

Ik bedoelde weldegelijk de tijdsafhankelijke Ψ_n(het product van de tijdsonafhankelijke functie ψ_n en exp(-i*E_n*t/h) ). De integraal was ik inderdaad vergeten. Bedankt voor de tip omtrent de overlapintegraal en de orthonormaliteit van ψ_n. Als ik het goed begrijp zal de energie van de functie a*Ψ_k+ b*Ψ_mdezelfde zijn als van de functie c*Ψ_k+ d*Ψ_m.

Waarbij a ≠ c en b ≠ d maar wel zo gekozen dat de totale integraal van het kwadraat van de norm van beide functies 1 is. Hoewel deze functies op het eerste zicht niet dezelfde lijken. Is dit correct en zoja van wat hangt de mannier van samenstellen van functies af voor de oplossing van een probleem met gekende energie?

Knockstaart

[sirius]

Ben je bekend met metingen in de quantum mechanica, en hoe dit plaats vindt wanneer de golffunctie wel of niet commutteert met de operator voor de te meten grootheid?

[knockstaart]

Bedoel je het ineenstorten van de golf bij een meting? Hoe houd dit verband met het opstellen van een golffunctie?

[Math-E-Mad-X]

ik had nu graag geweten wat de energie is van zo'n deeltje bekomen uit een lineaire combinatie van oplossingen.

Heeft het deeltje met vergelijking a*ψ_m + b*ψ_keen energie van a*E_m + b*E_kof eerder

(a*E_m + b*E)/(a+b)? of nog iets anders? Of mag men niet zomaar één enkel deeltje associëren met een superpositie van oplossingen?

Het enige wat je kunt zeggen is dat het deeltje zich bevindt in een superpositie van 2 toestanden met een energie van respectievelijk Em en Ek . Op het moment dat je de energie gaat meten, vervalt de toestand in één van de twee eigentoestanden. De kans dat je Em zal meten is |a|^2 en de kans dat je Ek zal meten is |b|^2.

[knockstaart]

Bedankt! dat was het antwoord dat ik zocht!

[die hanze]

Die overlap integraal geeft NIET de energie maar de VERWACHTE energie. Groot verschil, zoals math-emad-x al zei, we zitten hier in een superpositie van eigentoestanden wat betreft energie.