Bewijs aardrotatie met valproef

[Bartjes]

Laat ik eerst de formule voor de valfunctie eens volledig uitschrijven. We hebben:

\( \mbox{I}(x) = \frac{2 x }{1 - x^2} - \ln(1 - x) + \ln(1 + x )\)

(formule 11) .

Dus:

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = \frac{2 \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x } } }{1 - \left ( \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \right )^2} - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = \frac{2 \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x } } }{1 - \frac{ x }{ 1 + x }} }} - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = \frac{2 \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x } } }{\frac{ 1 + x }{ 1 + x } - \frac{ x }{ 1 + x }} }} - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = \frac{2 \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x } } }{ \frac{ 1 }{ 1 + x }} }} - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = 2 \, (1 + x) \, \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x } } - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = 2 \, \sqrt{ \frac{ x \, . \, (1 + x)^2 }{ 1 + x } } - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right )\)

\( \mbox{I} \left (\sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) = 2 \, \sqrt{ x \, . \, (1 + x) } - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) \)

(*) .

Verder hebben we:

\( \mbox{val}(x) = \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + x } \,\, . \, \mbox{I} \left ( \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) \,\, - \,\,\, \sqrt{x} \)

(formule 15) .

Invullen van formule (*) in formule 15 geeft:

\( \mbox{val}(x) = \frac{1}{4} \, . \, \sqrt{ 1 + x } \,\, . \, \left \{ 2 \, \sqrt{ x \, . \, (1 + x) } - \ln \left (1 - \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \, \right ) + \ln \left (1 + \sqrt{ \frac{ x }{ 1 + x }} } \right ) \, \right \} \,\,\, - \,\,\,\, \sqrt{x} \)

(formule 17) .

[Bartjes]

De eerste provisorische plaatjes:

val1 886 keer bekeken

val2 887 keer bekeken

[Bartjes]

Voor de volledigheid de rest van de uitwerking, die het verwachte antwoord oplevert, met ω = hoeksnelheid van de aarde:

\(\Delta x = \int_{0}^{T} v' dt = \int_{0}^{T} \omega h dt = \omega \int_{0}^{T} h dt = \omega h_{gemiddeld} T \)

Voor de vrije val (parabool) is

\( h_{gemiddeld} = \frac{2}{3} H\)

en

\(T= \sqrt { \frac{2H}{g}}\)

.

Als ik je goed begrijp kom je tot de formule:

\( \mbox{d} = \Omega \, . \, \frac{2}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{g}} \)

.

Voor het vergelijken van onze resultaten voor de afwijking d is het handig je formule wat om te werken.

\( \mbox{d} = \Omega \, . \, \frac{2}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{g}} \)

\( \mbox{d} = \frac{2}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \Omega \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{g}} \)

\( \mbox{d} = \frac{2}{3} \, \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{g}} \)

\( \mbox{d} = \frac{2}{3} \, \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{R}}{g} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } } \)

\( \mbox{d} = \frac{2}{3} \, \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{R}}{g} } \, . \, \sqrt{ \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } } \)

\( \mbox{d} = \frac{2}{3} \, \left ( \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \right )^{1 \frac{1}{2}} \, . \, \Omega \, \mbox{R} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{R}}{g} } \)

(formule i) .

Vergelijk dat met mijn formule 16 en je ziet waarin ze verschillen:

\( \mbox{d} = \mbox{val} \left (\frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \right ) \, . \, \Omega \, \mbox{R} \,\, . \,\, \sqrt{\frac{2 . \mbox{R}}{ \mbox{g}}} \)

(formule 16) .

[Bartjes]

De straal R van de aarde voor de evenaar heb ik aan Wikipedia ontleend:

http://en.wikipedia.org/wiki/Earth

Daar vinden R = 6.378,1 km.

Op grote hoogte neemt g (de versnelling van de zwaartekracht) merkbaar af en mogen we als benadering ook geen kogelbaanformules meer gebruiken (dan heb je Kepler-banen nodig). We zullen ons daarom beperken tot torens met een hoogte

\( \mbox{h}_{toren} \)

tussen de 0 en 100 meter. In dat geval ligt:

\( \frac{\mbox{h}_{toren}}{\mbox{R}} \)

tussen 0 en 1,57 . 10^-5 .

Voor dat interval moeten we nu de grafieken vergelijken van:

\( y = \frac{2}{3} \, x^{1 \frac{1}{2} } \)

(uit de formule van jkien)

en

\( y = \mbox{val}(x) \)

(uit de formule van Bartjes) .

(Let op: x is hier gewoon een onafhankelijke variabele.)

[Michel Uphoff]

Heb zojuist het idee eens in Excel gezet:

Steen valt van 100 meter hoge toren op de evenaar (luchtweerstand genegeerd, zwaartekrachtverloop genegeerd, kromming Aarde genegeerd), met de volgende parameters:

g=9,81 m/sec²

Omtrek Aardoppervak: 40.074.155,87149 m

Omtrek cirkel top toren: 40.074.784,20772 m

Valduur: 4,5153 seconden

Per 1/10 seconde op de hoogte van het steentje de afstand tussen steentje en toren uit laten rekenen. Dit moet toch een goede benadering geven lijkt mij. De uitkomst is 10,949 mm

Mijn oorspronkelijk en foutieve berekening was simpelweg:

628,3185 meter per dag = 7,272 mm/sec * 4,5153 sec = 32,836 mm.

Volgens jullie moest ik een correctiefactor 2/3 toepassen, dus zou het resultaat ongeveer 22 mm moeten zijn. Ik kom op de helft hiervan uit, en 10,949 mm / 32,836 mm = 0,3334 .

Dus vrijwel exact 1/3 van de ongecorrigeerde waarde.

Hier de grafiek die inderdaad de kromme laat zien die Bartjes eerder verwoordde:

x-as afstand steen-toren

y-as links hoogte in meters

y-as rechts valduur in seconden

SteenVanTorenOpEvenaar 885 keer bekeken

NB: de grafiek stopt onderin bij 4,5 seconden en 0,7 meter, lastig om in Excel dat anders te doen.

[Bartjes]

Mijn eerste resultaat met het vergelijken van de grafieken is dat de formule van jkien en die van mij voor torenhoogten van 0 tot 100 meter vrijwel hetzelfde resultaat geven (de grafieken bedekken elkaar). Ik moet het morgen nog even controleren, daar is het nu te laat voor.

Om de benadering van Michel na te kijken moet ik precies weten wat voor formules er bij die berekening gebruikt worden.

[Michel Uphoff]

Dat is niet ingewikkeld: Overal wordt met snelheid de horizontale (component) bedoeld.

Op 100 meter hoogte hebben de toren en de steen dezelfde snelheid van: (omtrek Aarde=) 40.074.155,87149m + (hoogte=) 2 pi.gif * 100m = 40.074.784,20772m / (24 uur=) 86.400s = 463,828521 m/s. Dit is de snelheid van de steen, en die wijzigt niet meer.

Afstand steen-toren is op dit moment 0 mm.

Na 0,1s is de hoogte dv steen: 100-1/2g*t² = 99,951 meter.

De snelheid van de toren op die hoogte: omtrek Aarde + 2 pi.gif * 99,951m / 86400s = 463,8285174 m/s.

De snelheid van de steen wijzigt niet, het snelheidsverschil is dus 0,0036 mm/s.

Afstand steen-toren en afgelegde weg is in deze eerste 1/10 seconde gemiddeld 0,0036 mm/s / 2 * 0,1s = 0,000178 mm

Na 0,2s is de hoogte van de steen: 100-1/2g*t² = 99,8038 meter

De snelheid van de toren op die hoogte: omtrek Aarde + 2 pi.gif * 99,8038m / 86400s = 463,8285064 m/s.

De snelheid van de steen wijzigt niet, het snelheidsverschil is dus 0,01455 mm/s.

De afgelegde weg tov de toren is in deze 1/10 seconde gemiddeld 0,01455 mm/s / 2 * 0,1s = 0,000728 mm

Afstand steen-toren op deze hoogte = 0,000728 mm + 0,000178 mm (vorige uitkomst)

Et cetera.

Bij 0 meter hoogte zijn de gevonden waarden:

snelheid toren: 463,8212485 m/s

snelheid steen (ongewijzigd) : 463,82852 m/s

Verschil snelheid: 7,272 mm/s (waarde is gelijk aan in eerdere berichten genoemde-)

Afstand toren-steen: 10,949 mm.

de grafieken bedekken elkaar

Als jullie beiden met 2/3 hebben gewerkt is dat te verwachten. Ben benieuwd wat jullie visie op deze eenvoudige benadering is. Het lijkt mij onwaarschijnlijk dat de gevonden waarde bij toeval zo exact op 1/3 ligt.

[jkien]

Ben benieuwd wat jullie visie op deze eenvoudige benadering is. Het lijkt mij onwaarschijnlijk dat de gevonden waarde bij toeval zo exact op 1/3 ligt.

Eigenlijk heb jij het niet over een vast punt van de toren, maar over een mannetje (2) op een ladder dat gelijke hoogte houdt met de vallende steen (1). Hun horizontale snelheden zijn v₁=Ω h(0) en v₂=Ω h(t).

Dan is

\( d = \int_0^{\tau} (v_1-v_2) dt = \Omega \, h(0) \, \tau - \Omega \, h_{gemiddeld} \, \tau \)

Voor de vrije val (parabool) is

\( h_{gemiddeld} = \frac{2}{3} h(0)\)

.

Dus dat mannetje veroorzaakt jouw afwijkende uitkomst. Het bezwaar tegen het mannetje is dat hij een horizontale kracht nodig heeft om zuiver verticaal te bewegen. Het coordinatenstelsel is geen inertiaalstelsel.

[Michel Uphoff]

Ik probeer je te begrijpen, maar kom er niet doorheen. Mijn wiskunde is te roestig om jouw formule te doorzien.

Die ladder (en dus dat mannetje) zit toch vast aan de toren? Ik zie je punt niet.

Waarom kom ik met een foutieve benadering op exact de helft uit, toeval?

H_gemiddeld is 2/3h voor een parabool schrijf je, en voor een omgekeerde parabool?

[Bartjes]

@ Michel Uphoff. Zou je zeer veel stapjes nemen dan zou er met jouw benadering het volgende uit moeten komen:

\( v_{steen} (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \)

\( v_{toren} (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + h) \)

.

Dus:

\( \Delta v (h) = v_{steen} (h) \,\, - \,\, v_{toren} (h) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \,\, - \,\, \Omega \, . \, (\mbox{R} + h) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, ( (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \,\, - \,\, (\mbox{R} + h) ) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, h ) \)

.

Voor de afwijking d geldt dan:

\( \mbox{d} = \int_0^{\tau} \Delta v (h) \, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \int_0^{\tau} \Omega \, . \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, h ) \,\, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \, \Omega \, . \, \int_0^{\tau} ( \mbox{h}_{toren} \, - \, h ) \,\, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \, \Omega \, . \, \int_0^{\tau} \{ \mbox{h}_{toren} \, - \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, \frac{1}{2} \mbox{g} t^2 ) \} \,\, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \, \Omega \, . \, \int_0^{\tau} \, \frac{1}{2} \mbox{g} t^2 \, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g}}{2} \, . \, \int_0^{\tau} \, t^2 \, \mbox{d} t \)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g}}{2} \, . \, [ {\scriptstyle \frac{1}{3}} t^3 ]_0^{\tau} \)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g}}{2} \, . \, \frac{1}{3} \, . \, {\tau}^3 \)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{2} \, . \, \frac{1}{3} \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^3 \)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{6} \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^3 \)

(formule ii) .

De vraag is echter of er met jouw benadering niet teveel verwaarloosd wordt...

[Michel Uphoff]

De vraag is echter of er met jouw benadering niet teveel verwaarloosd wordt...

Terechte vraag lijkt mij.

Maar exact de helft?

Wil hem nog wel even uitbreiden naar zeg eens het dubbele aantal waarden (iedere 0,05 seconden) en zien of er dan iets significant ander uitkomt. Heeft dat zin?

[Bartjes]

Terechte vraag lijkt mij.

Maar exact de helft?

Wil hem nog wel even uitbreiden naar zeg eens het dubbele aantal waarden (iedere 0,05 seconden) en zien of er dan iets significant ander uitkomt. Heeft dat zin?

Des te kleiner de stapjes des te beter de boven door mij voor jouw aanpak afgeleide uitkomst (formule ii) benaderd zal worden. Door jouw uitkomsten met de uitkomsten van die formule te vergelijken kan je controleren of de stapjes al klein genoeg zijn.

Maar om te zien of de factor 1/2 inderdaad optreedt kan je beter direct de formule ii (voor jouw benadering) en de formule i (voor de benadering van jkien) met elkaar vergelijken.

Eventueel kan je daartoe ook de onderstaande eenvoudiger versie van formule i gebruiken:

\( \mbox{d} = \Omega \, . \, \frac{2}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt { \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{g}} \)

.

Best mogelijk dat daar die factor 1/2 uitrolt.

[jkien]

... afgelegde weg is in deze eerste 1/10 seconde gemiddeld 0,0036 mm/s / 2 * 0,1s ...

... De afgelegde weg tov de toren is in deze 1/10 seconde gemiddeld 0,01455 mm/s / 2 * 0,1s ...

Daar zit de foute factor 2. Je stapjes zijn

\( \Delta d = \frac{v_1-v_2} {2} \Delta t = \frac {v(0) - \Omega \, h(t) }{2} \, \Delta t \)

(in mijn notatie met

\(\Omega = 2 \pi / \tau\)

,

\( v(0) = \Omega \, h(0) \)

, 1=steen en 2=mannetje).

De term

\(\frac{v_1-v_2} {2}\)

is hier geen zinvolle gemiddelde snelheid, maar de snelheid van het middelpunt tussen 1 en 2. Misschien zocht je een (gewogen) gemiddelde van

\((v_1-v_2)\)

over opeenvolgende stapjes, maar voor kleine Δt is dat niet nodig.

Ik probeer je te begrijpen, maar kom er niet doorheen. Mijn wiskunde is te roestig om jouw formule te doorzien.

Misschien met meer tussenstappen:

\( d = \int_0^{\tau} (v_1-v_2) dt = \int_0^{\tau} v_1 \, dt - \int_0^{\tau} v_2 \, dt = \int_0^{\tau} \Omega \, h(0) \, dt - \int_0^{\tau} \Omega \, h(t) \, dt = \)

\(\Omega \int_0^{\tau} h(0) \, dt - \Omega \int_0^{\tau} h(t) \, dt= \Omega \, h(0) \, \tau - \Omega \, h_{gemiddeld} \, \tau \)

. (wiki)

(Let op dat v₁ en v₂ horizontale snelheden zijn.)

Die ladder (en dus dat mannetje) zit toch vast aan de toren? Ik zie je punt niet.

Klopt, voor deze berekening maakt het niet uit dat het mannetje een horizontale kracht gebruikt.

...gemiddeld is 2/3h voor een parabool schrijf je, en voor een omgekeerde parabool?

Het komt neer op een gewogen gemiddelde tijdens de reis, met de verblijfstijd als weegfactor. Bij de paraboolbaan van een vrije val is h_gemiddeld = 2/3 H. De omgekeerde parabool zou zoiets zijn als een lift die in de toren afdaalt met afnemende snelheid v = v₀(1-t/τ). Dan is h_gemiddeld = 1/3 H. En de lift heeft een spiegelgladde vloer waarover het steentje kan glijden.

[Bartjes]

@ Michel Uphoff. Zou je zeer veel stapjes nemen dan zou er met jouw benadering het volgende uit moeten komen:

(...)

\( \mbox{d} = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{6} \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^3 \)

(formule ii) .

Noemen we de afwijking d volgens jkien d_j en de afwijking d volgens Michel Uphoff d_M dan vinden we:

\( \mbox{d}_M = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{6} \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^3 \)

\( \mbox{d}_M = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{6} \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^2 \, . \, \left ( \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \right )^1 \)

\( \mbox{d}_M = \, \frac{\Omega \, \mbox{g} }{6} \, . \, \frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \, . \, \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

\( \mbox{d}_M = \, \frac{\Omega }{6} \, . \, 2 \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

\( \mbox{d}_M = \, \Omega \, . \, \frac{2}{6} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

\( \mbox{d}_M = \, \Omega \, . \, \frac{1}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

.

In bericht

http://www.wetenscha...293#entry947293

zagen we dat:

\( \mbox{d}_j = \, \Omega \, . \, \frac{2}{3} \, \mbox{h}_{toren} \, . \, \sqrt{\frac{2 \, \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

.

Zodat:

\( \mbox{d}_M = \frac{1}{2} \, . \, \mbox{d}_j \)

.

[jkien]

Ik vermoedde dat het experiment onuitvoerbaar zou zijn. Maar wikipedia zegt: Hooke, following a 1679 suggestion from Newton, tried unsuccessfully to verify the predicted half millimeter eastward deviation of a body dropped from a height of 8.2 meters, but definitive results were only obtained later, in the late 18th and early 19th century, ... using taller towers and carefully released weights.

De literatuur is eensluidend over de factor 2/3 in de formule van de "eastward drift of a falling body" of "Coriolis correction to freefall". (nasa III 4.1 mungan)