Bewijs aardrotatie met valproef

[Michel Uphoff]

Daarom denk ik ook dat mijn uitkomsten nauwkeuriger zijn dan die van jullie, en dus dichter bij de waarheid zitten.

Ok, dat kan denk ik. (Hoewel ik vermoed dat het verschil wel eens uiterst gering kan zijn).

Heb je het ook feitelijk berekend voor die toren van 100 meter op de evenaar?

Wat is dan de uitkomst, en wijkt die veel af van die 10,949 mm, die vrijwel precies 1/3 was van de eerder genoemde ongecorrigeerde 32,836 mm?

[Michel Uphoff]

Zojuist nog even de uitkomst berekend voor stapjes van 1/20 ipv 1/10 seconde, en wat te verwachten viel bleek ook, ik kom steeds dichter bij die 1/3 factor van dat eenvoudige 2pi * 100 * valduur = 32,836 mm sommetje.

1/10 seconde stapjes: 0,333424

1/20 seconde stapjes: 0,333363

[Bartjes]

Zojuist nog even de uitkomst berekend voor stapjes van 1/20 ipv 1/10 seconde, en wat te verwachten viel bleek ook, ik kom steeds dichter bij die 1/3 factor van dat eenvoudige 2pi * 100 * valduur = 32,836 mm sommetje.

1/10 seconde stapjes: 0,333424

1/20 seconde stapjes: 0,333363

Des te kleiner de stapjes, des te dichter kom je bij de integraal uit mijn wiskundige bewijs waaruit ook blijkt dat je aanpak tot de helft van de gebruikelijke waarde leidt. Waar ik nu mee bezig ben is proberen wiskundig aan te tonen dat ook jouw aanpak tot de 2/3 leidt, als je van de juiste horizontale snelheid uitgaat. Een flinke klus...

[jkien]

Ik wissel van kamp ...

Ik ben weer om.

In het inertiaalstelsel dat gedurende de val meebeweegt met O staat de voet van de toren stil, maar de toren kantelt om O in oostwaartse richting. De hogere bakstenen hebben snelheid naar het oosten, én ze verplaatsen zich in die richting. Het steentje (1) valt langs de rode parabool. Een mannetje (2) op een ladder die vastzit aan de toren houdt gelijke hoogte met het vallende steentje (zoals in [post=947414]bericht #38[/post]), de groene curve is zijn baan door het inertiaalstelsel.

De plaats waar (1) de grond treft is

\( d = \int_{0}^{\tau} v_1 dt = \int_{0}^{\tau} \Omega h dt = \Omega h_{gemiddeld} \, \tau = \frac{2}{3} \Omega \, H \, \tau \)

Het is onjuist om (2) te gebruiken als een vast nulpunt:

\( d \ne \int_0^{\tau} (v_1-v_2) dt = \int_0^{\tau} (\Omega \, H - \Omega \, h) dt = \Omega \, H \, \tau - \Omega \, h_{gemiddeld} \, \tau = \Omega \, H \, \tau - \Omega \, \frac{2}{3} H \, \tau = \frac{1}{3} \Omega \, H \, \tau \)

Toren2 906 keer bekeken

[Michel Uphoff]

Een flinke klus...

Dat lijkt mij ook, en mij zou het niet lukken.

Maar, eigenwijs als ik ben, denk ik toch dat het 1/3 moet zijn, wat ik met een eenvoudige gedachte zal proberen aan te tonen. Hier de grafiek die ik eerder maakte nogmaals, maar aangevuld met een '2/3 kromme'.

SteenVanTorenOpEvenaar 907 keer bekeken

Ik heb er een rode vertikale lijn in gezet; het maximale (horizontale) snelheidsverschil tussen de toren en de steen. Dat is op het moment dat de steen de grond raakt en iets boven 7 mm/s. Mijn eerdere sommetje dat in 33 mm resulteerde was fout, dat heb jij een aantal berichten geleden inzichtelijk gemaakt. Links van de vertikale lijn zie je dus het oppervlak dat behoort bij 4,5 seconden maal 7 mm. Het is eenvoudig te zien dat het oppervlak van mijn kromme, links van de blauwe lijn inderdaad ongeveer 1/3 van dit oppervlak is.

Aangezien jij hebt aangetoond dat er een vaste factor 2 tussen mijn uitkomst en de formules van jou en jkien zat, kan ik de x-waarden van mijn kromme eenvoudigweg verdubbelen, en zo tot een totale verplaatsing van 22 mm komen. Dat is de toegevoegde rode kromme, die inderdaad ongeveer 2/3 van het oppervlak heeft

Te zien is nu, dat de steen bij deze rode kromme de laatste halve seconde 6 mm verder van de toren komt, en dat is de bijna de dubbele snelheid van het maximum van 7 mm/sec. Dit kan m.i. niet.

Samengevat; als het snelheidsverschil vlak boven de grond niet meer mag bedragen dan 7 mm/s, en er moet een oppervlak van 2/3 gehaald worden, verliezen we het lineaire verband tussen de door jou en jkien gevonden formule en mijn berekening. En dat verband had jij nu juist aangetoond.

[Bartjes]

@ Michel Uphoff. Ik heb het lineaire verband alleen voor torens met een hoogte tussen de 0 en 100 meter aangetoond.

Verder heb ik jouw benadering zojuist (nu met de volgens mij correcte horizontale snelheid) opnieuw doorgerekend, en dan krijg ik een grafiek die voor torens met een hoogte tussen de 0 en 100 meter niet van de oorspronkelijke benadering van jkien (met de coëfficiënt 2/3) is te onderscheiden. Ik moet het nog controleren en netjes uitwerken, maar daarvoor is het nu te laat. Morgen weer verder.

[Michel Uphoff]

@jkien: Ik ben weer om

Ok, dag dan maar weer. Maar ik begin er toch steeds meer op te vertrouwen dat je weer terug komt.

Image1 906 keer bekeken

Het geel gekleurde stuk is m.i. nu juist wat ik berekend heb. En dat is die 1/3 factor.

Ik denk ook dat ik nu weet waar die 1/3 vs 2/3 verwarring vandaan komt:

Zoals bartjes stelde is in in aanvang de snelheid van de vallende steen gelijk aan die van de top van de toren op dezelfde hoogte. Maar - en daar zit de crux - de tijd die dat steentje op die hoogte doorbrengt is door zijn geringe aanvankelijke snelheid relatief lang.

Ergo: Langere tijd weinig snelheidsverschil, kortere tijd groot snelheidsverschil.

Gaan we echter een steen langs de toren omhoog schieten, dan heeft die steen aanvankelijk een horizontale snelheid gelijk aan de van de voet van de toren. Maar omdat de steen een hoge aanvangssnelheid heeft, is de tijd die het steentje een snelheid dicht bij die van de toren op dezelfde hoogte heeft relatie kort. Boven aangekomen is de snelheid van het steentje vertikaal nul. Daar is het horizontale snelheidsverschil met de toren het grootst, en de tijdsduur relatief het langst.

Ergo: Kortere tijd weinig snelheidsverschil, langere tijd groot snelheidsverschil.

Er moet dus een verschil zijn in de correctiefactoren bij een vallende en omhooggeschoten steen.

Zojuist de sommetjes voor een omhoog geschoten steen in mijn excel gepropt en daar kwam uit wat ik verwachtte; die 2/3 factor komt er keurig uitrollen. Dus, voorover ik het zie is de correctiefactor op die '2pi*h' berekening:

Voor vallende steen: 1/3 (naar oosten)

Voor omhoog geschoten steen: - 2/3 (naar westen)

Voor omhoog geschoten en weer teruggevallen steen: - 4/3 (naar westen)

Voor de vallende steen in formule:

h=hoogte in meters

t_aarde = rotatieduur aarde in seconden

g=versnelling in m/sec²

\(a=\frac {2\pi*h*\sqrt \frac {2h}{g}}{t_{aarde}}*\frac {1}{3}\)

oftewel

\(a=\frac {\frac {2}{3}\pi h \sqrt \frac {2h}{g}}{t_{aarde}}\)

Eenheden kontroleren:

\(a= \frac {m*\sqrt \frac {m}{\frac {m}{s^2}}}{s} = m\)

Blijft natuurlijk nog steeds een benadering vanwege de ontbrekende gravitatiegradiënt.

[Bartjes]

Blijft natuurlijk nog steeds een benadering vanwege de ontbrekende gravitatiegradiënt.

Belangrijker is de horizontale snelheid van het steentje waar je vanuit gaat. Dat het afdalende mannetje op de trap inderdaad de door jou aangegeven (horizontale) snelheid van het steentje waarneemt is maar zeer de vraag. En zolang de juistheid van die snelheid niet is bewezen of althans aannemelijk is gemaakt, hangt de rest van je redenering ook in de lucht.

[Bartjes]

Michel Uphoff gebruikt een bijzonder referentiestelsel om afstanden en snelheden in te meten, namelijk een stelsel dat langs de toren met het steentje mee naar beneden valt. Dit kan je inderdaad voorstellen als een mannetje dat langs een ladder de toren afdaalt waarbij hij ervoor zorgt onderweg voortdurend op gelijke hoogte met het steentje te blijven. Dit referentiestelsel zullen we voor het gemak met M aanduiden. (De oorsprong van M beweegt tijdens de val van het steentje ten opzichte van het middelpunt van de aarde, maar we spreken af dat deze oorsprong in elk geval aan het begin van de val (t = 0 s) precies in het middelpunt van de aarde ligt.) Zodra het mannetje beneden aankomt zal de horizontale afstand die hij dan tot het steentje meet de gezochte afwijking d zijn. Laat v_hor de horizontale snelheid van het steentje zijn zoals deze wordt gemeten in het referentiestelsel M van het mannetje. Wanneer je v_hor eenmaal hebt is het verder enkel nog wiskundig rekenwerk om d te bepalen.

Laat A een niet roterend maar wel met zijn oorsprong aan het middelpunt van de aarde verbonden referentiestelsel zijn. Voor h(t) (de hoogte van het steentje op tijdstip t) hebben we in A bij benadering (kogelbaanformule):

\( \mbox{h}(t) = \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)

.

Laat R de straal van de aarde zijn, dan komt er bij benadering voor de afstand r(t) van het steentje tot het middelpunt van de aarde:

\( \mbox{r}(t) \, = \, \mbox{R} \, + \, \mbox{h}(t) \)

\( \mbox{r}(t) \, = \, \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)

.

De perkenwet (zie Wikipedia) levert dan::

\( \frac{\mbox{d} \, A}{\mbox{d} t} \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{r}^2(t) \, \omega(t) \)

.

Bij het loslaten van het steentje geldt:

\( \frac{\mbox{d} \, A}{\mbox{d} t} \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{r}^2(0) \, \omega(0) \)

\( \frac{\mbox{d} \, A}{\mbox{d} t} \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 \, \Omega \)

.

(Ω is de hoeksnelheid van de aarde.)

Omdat de oppervlaktesnelheid constant is, geldt:

\( {\scriptstyle \frac{1}{2} } (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren})^2 \, \Omega \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{r}^2(t) \, \omega(t) \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{r}(t) } \right )^2 \Omega \)

\( \omega(t) \, = \, \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \Omega \)

(formule α) .

De valtijd

\( \tau \)

vinden we aldus:

\( \mbox{h}_{toren} - {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 = 0 \)

\( \mbox{h}_{toren} = {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 \)

\( \tau^2 = \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)

\( \tau = \sqrt{ \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \)

(formule β) .

Het verschil in hoeksnelheid van het steentje en het mannetje zal voor torenhoogten tussen 0 en 100 meter voor beide referentiestelsels A en M vrijwel gelijk zijn. Het referentiestelsel M verzakt tijdens de val van het steentje enigszins ten opzichte van A. De oorsprong van M zal zich daardoor tijdens de val van het steentje over een afstand h_toren van de oorsprong van A verwijderen. Voor de gemeten hoeksnelheden valt dat effect echter in het niet, omdat een dergelijke (vergeleken met de straal van de aarde) geringe verschuiving van de oorsprong voor de gemeten hoeken van mannetje, steentje en toren nauwelijks verschil maakt. Dus zal het steentje volgens het mannetje bij goede benadering met onderstaande hoeksnelheid ω_s(t) bewegen:

\( \omega_s (t) = \omega(t) - \Omega \)

.

Voor de horizontale snelheid v_hor(t) van het steentje zoals gemeten door het mannetje zal dan (opnieuw bij benadering) gelden:

\( v_{hor}(t) = \omega_s(t) . \mbox{R} \)

\( v_{hor}(t) = ( \omega(t) - \Omega ) . \mbox{R} \)

\( v_{hor}(t) = \left ( \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \Omega - \Omega \right ) . \mbox{R} \)

\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \left (\frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \right )^2 \,\, - \,\, 1 \right ) \)

\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \left (\frac{1}{ 1 \, - \, \frac{\mbox{g}}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} t^2 } \right )^2 \,\, - \,\, 1 \right ) \)

\( v_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{g}}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} t^2 \right )^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)

(formule γ) .

Deze benadering voor de horizontale snelheid van het steentje in M zal volgens mij betere uitkomsten voor de afwijking d moeten opleveren.

[Michel Uphoff]

Heb je het al doorgerekend?

Zo nee, dan wil ik wel een poging wagen en het in excel stoppen. Maar wat is de definitie van

\( \omega\)

. 2pi/rotatieduur?

En wat is dan de definitie van

\(\Omega\)

?

[Bartjes]

Heb je het al doorgerekend?

Zo nee, dan wil ik wel een poging wagen en het in excel stoppen. Maar wat is de definitie van

\( \omega\)

. 2pi/rotatieduur?

En wat is dan de definitie van

\(\Omega\)

?

In mijn eerste opzet kwam ik op iets uit dat de factor 2/3 bevestigde, maar later vond ik daar weer een fout in. Toen heb ik de afleiding weer over gedaan en daarbij kwam ik weer opnieuw uit op een bevestiging van de factor 2/3. Maar die laatste afleiding moet ik eerst zorgvuldig napluizen voor ik die publiceer. Wat ik hierboven al wel heb geplaatst ziet er redelijk betrouwbaar uit. Als je je daarin kunt vinden, zal een berekening via Excel met voldoende kleine stapjes de kwestie ook wel kunnen beslissen.

De kleine omega ω(t) is de hoeksnelheid van het steentje gemeten in het niet roterende met het middelpunt van de aarde verbonden referentiestelsel A. De grote omega Ω is de hoeksnelheid van de aarde zelf (eveneens gemeten in A).

[Michel Uphoff]

Ok, ik wacht het dus af.

In mijn eerste opzet kwam ik op iets uit dat de factor 2/3 bevestigde

Ik heb aangetoond dat de correctiefactor voor een vallende en een omhoog geschoten steen niet gelijk kan zijn. Zie #67 . Er zijn dus met zekerheid twee verschillende correctiefactoren, en de laagste geldt bij een vallende steen. Ook de 2/3 factor is nauwkeurig gevonden, maar voor een omhoog geschoten steen. Vind jij voor een vallende steen 2/3, dan ben ik heel benieuwd wat er voor een afgeschoten steen uit komt rollen, dat moet dan een grotere factor zijn.

Komt er echter voor een vallende en afgeschoten steen hetzelfde uit, dan kan de conclusie niet anders zijn dan dat er een fout in de opzet zit.

Het meest benieuwd ben ik of de (ook mijns inziens meer correcte) berekening volgens een elliptische Keplerbaan werkelijk signifikante verschillen laat zien.

[Bartjes]

Het meest benieuwd ben ik of de (ook mijns inziens meer correcte) berekening volgens een elliptische Keplerbaan werkelijk signifikante verschillen laat zien.

Dat kunnen we toch gewoon met een grafiekje bekijken. Wat is jouw formule voor de horizontale snelheid van het steentje v_hor(t) als functie van de tijd t zoals waargenomen door het afdalende mannetje op de langs de toren geplaatste ladder?

Het geval van een omhoog geschoten en weer neervallend object heb ik al zeer uitgebreid in een eerder topic doorgerekend.

[Bartjes]

@ Michel Uphoff. Zou je zeer veel stapjes nemen dan zou er met jouw benadering het volgende uit moeten komen:

\( v_{steen} (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \)

\( v_{toren} (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + h) \)

.

Dus:

\( \Delta v (h) = v_{steen} (h) \,\, - \,\, v_{toren} (h) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \,\, - \,\, \Omega \, . \, (\mbox{R} + h) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, ( (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren} ) \,\, - \,\, (\mbox{R} + h) ) \)

\( \Delta v (h) = \Omega \, . \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, h ) \)

.

Als dit jouw v_hor is komt er:

\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, . \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, \mbox{h}(t) ) \)

\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, . \, ( \mbox{h}_{toren} \, - \, (\mbox{h}_{toren} - {\scriptstyle \frac{1}{2}} \mbox{g} t^2 ) ) \)

\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, . \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} \mbox{g} t^2 \)

\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{g} }{2 \, \mbox{R}} t^2 \)

\( v^*_{hor} (t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \frac{ \mbox{h}_{toren} }{ \mbox{R} } \, . \, \frac{ \mbox{g} }{2 \, \mbox{h}_{toren}} t^2 \)

(formule δ).

(Het sterretje dient om verwarring met mijn v_hor te voorkomen.)

Mee eens?

[Michel Uphoff]

Wat is jouw formule voor de horizontale snelheid van het steentje v_hor(t) als functie van de tijd t zoals waargenomen door het afdalende mannetje op de langs de toren geplaatste ladder?

Gebruikte waarden:

Omtrek_aarde = 40.074.156 meter

t_aarde=24*3600 = 86400s

g=9,81 m/sec²

hoogte toren, tevens startpunt van de steen bij t=0: 100 meter

De opbouw in stapjes:

Voor de niet wijzigende v_h van de steen geldt:

\(vh_{steen}=\frac {omtrek_{aarde} + 2 \pi h_{toren}}{t_{aarde}}\)

Voor de immer wijzigende v_h van de toren op hoogte h_steen geldt:

\(vh_{toren}=\frac {omtrek_{aarde} + 2 \pi h_{steen}}{t_{aarde}}\)

Daar zit erg weinig rocket science achter.

h_steen is een functie van de tijd: h_toren-0,5gt²

Het snelheidsverschil tussen de toren en de steen, beiden op hoogte h is dus te berekenen met:

\(\frac {omtrek_{aarde} + 2 \pi h_{toren}}{t_{aarde}}-\frac {omtrek_{aarde} + 2 \pi (h_{toren}-0,5gt^2)}{t_{aarde}}\)

Dit valt te vereenvoudigen tot:

\(\Delta v=\frac {h_{toren} - (h_{toren}-0,5gt^2) *2 \pi}{t_{aarde}}\)

En dat is dan verder te vereenvoudigen tot:

\(\Delta v=\frac {\pi gt^2}{t_{aarde}}\)

. Eenhedencheck:

\(\Delta v = \frac {\frac {m}{s_2}* s^2}{s} = m/s\)

.

Oftewel

\(\Delta v=\frac {30,819 t^2}{86400}}\)

.

'Proof of the pudding' bij t=1,2,3,4 en aan het einde:

t=1,0000: 30,819 * 1 / 86400 = 0,00035670 m/s

t=2,0000: 30,819 * 4 / 86400 = 0,00142680 m/s

t=3,0000: 30,819 * 9 / 86400 = 0,00321031 m/s

t=4,0000: 30,819 * 16 / 86400 =0,00570722 m/s

t=4,5153: 30,891 * 20,39 / 86400= 0,0072724 m/s (=max)

Klopt allemaal netjes met mijn spreadheetje. Op je vorige bericht kom ik nog terug (als ik het kan volgen tenminste).

Dat het geheel te vereenvoudigen was tot

\(\Delta v=\frac {\pi gt^2}{t_{aarde}}\)

kwam voor mij als een verrassing.