Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
Fruitschaal
Artikelen: 0
Berichten: 524
Lid geworden op: zo 17 okt 2010, 20:48

Variabele herschrijven in gegeven constantes en variabelen

Gegeven zijn de onderstaande voorwaarden voor een willekeurige vector
\(A(t)\)
en
\(t \in \{0, 1, ...\}\)
:
\(A_{j+1}(t+1) = A_j(t)p_j\)
met
\(j \in \{0, ..., l - 1\}\)
\(A_0(t+1) = \sum^r_{i=0} A_i(t)f_i\)
Hierbij geldt
\(0 < r < l \in \mathbb{N}\)
.
\(f_i\)
(
\(i \in \{0, ..., r\}\)
) en
\(p_j\)
(
\(j \in \{0, ..., l - 1\}\)
) zijn constantes.

Zij
\(B\)
nu zo zodat deze aan bovenstaande voorwaarden voldoet én:
\(\frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)} = \frac{B_{j+1}(t)}{B_j(t)}\)
Definieer
\(\alpha_j = \alpha_j(t) = \frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)}\)
. Druk
\(\alpha_j\)
uit in
\(\alpha_0\)
,
\(p_j\)
en
\(p_0\)
.

----

Ik heb er moeite mee om dit uit te werken. Hieronder staat hoe ver ik kwam:
\(\alpha_0 = \alpha_0(t) = \frac{B_1(t+1)}{B_0(t+1)} = \frac{B_0(t)p_0}{\sum^r_{i=0} B_i(t)f_i}\)
.

Dan geldt voor
\(j \in \{1, ..., l - 1\}\)
:
\(\alpha_j = \alpha_j(t) = \frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)} = \frac{B_j(t)p_j}{B_j(t+1)}\)
.

Nu lijkt me dat de bedoeling is dat ik
\(\alpha_0\)
ergens substitueer in
\(\alpha_j\)
zodat daar enkel nog
\(\alpha_0\)
,
\(p_j\)
en
\(p_0\)
als constanten/variabelen in staan.

Wat ik nog bedacht had, was:
\(\alpha_0 = \alpha_0(t) = \frac{B_1(t+1)}{B_0(t+1)} = \frac{B_1(1)}{B_0(1)} = \frac{B_0(0)p_0}{\sum^r_{i=0} B_i(0)f_i} = \alpha_0(0)\)
Dan voor
\(j \in \{1, ..., l - 1\}\)
:
\(\alpha_j = \alpha_j(t) = \frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)} = \frac{B_{j+1}(1)}{B_j(1)} = \frac{B_j(0)p_j}{B_j(1)}\)
.

Maar ik zie niet wat ik hiermee zou kunnen.

---

Iemand die me op weg kan helpen?

Alvast bedankt.

- Fruitschaal.
Gebruikersavatar
Drieske
Artikelen: 0
Berichten: 10.179
Lid geworden op: za 12 jul 2008, 17:07

Re: Variabele herschrijven in gegeven constantes en variabelen

Opmerking moderator

Verplaatst naar Wiskunde.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Gebruikersavatar
Fruitschaal
Artikelen: 0
Berichten: 524
Lid geworden op: zo 17 okt 2010, 20:48

Re: Variabele herschrijven in gegeven constantes en variabelen

Misschien kon ik beter even de achtergrond van deze opdracht geven.

Deze opdracht gaat over demografie en de wiskundige kant daarvan.
\(A_j(t)\)
(en
\(B_j(t)\)
) staan voor de hoeveelheid mensen in leeftijdsgroep
\(j\)
op tijdstip
\(t\)
. Er zijn
\(l\)
leeftijdsgroepen die gelabeld worden met
\(0\)
tot
\(l-1\)
. Zo zitten er bijvoorbeeld in groep 0 de mensen tussen 0 en 9 jaar oud, in groep 1 de mensen tussen 10 en 19 jaar oud, enzovoort.
\(p_j\)
is de kans op overleving voor de mensen in leeftijdsgroep
\(j\)
. Dus de hoeveelheid mensen
\(A_{j+1}(t+1)\)
is gelijk aan de hoeveelheid mensen
\(A_j(t)\)
vermenigvuldigd met
\(p_j\)
. Dus
\(A_{j+1}(t+1) = A_j(t)p_j\)
Dit gaat niet op voor de hoeveelheid mensen
\(A_0\)
, want er bestaan geen dingen als
\(A_{-1}\)
en
\(p_{-1}\)
. Dit is dus een speciaal geval.
\(f_i\)
is de factor van vruchtbaarheid van de mensen in leeftijdsgroep
\(i\)
.
\(i\)
ligt tussen
\(0\)
en
\(r\)
, met
\(r < l\)
, want mensen stoppen met het 'produceren' van kinderen als ze ouder dan een bepaalde leeftijd worden.

Dus
\(A_0(t+1) = \sum^r_{i=0} A_i(t)f_i\)
.

En in dit geval is
\(B\)
de stationaire populatie. Dus
\(\frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)} = \frac{B_{j+1}(t)}{B_j(t)}\)
. De verhouding tussen
\(B_{j+1}\)
en
\(B_j\)
is altijd hetzelfde op een bepaald tijdstip
\(t \in \{0, 1, ...\}\)
en voor alle
\(j \in \{0, ..., l -1\}\)
Hopelijk maakt dit het wat duidelijker :)
Gebruikersavatar
Fruitschaal
Artikelen: 0
Berichten: 524
Lid geworden op: zo 17 okt 2010, 20:48

Re: Variabele herschrijven in gegeven constantes en variabelen

Fruitschaal schreef: do 31 jan 2013, 12:02
Misschien kon ik beter even de achtergrond van deze opdracht geven.

Deze opdracht gaat over demografie en de wiskundige kant daarvan.
\(A_j(t)\)
(en
\(B_j(t)\)
) staan voor de hoeveelheid mensen in leeftijdsgroep
\(j\)
op tijdstip
\(t\)
. Er zijn
\(l\)
leeftijdsgroepen die gelabeld worden met
\(0\)
tot
\(l-1\)
. Zo zitten er bijvoorbeeld in groep 0 de mensen tussen 0 en 9 jaar oud, in groep 1 de mensen tussen 10 en 19 jaar oud, enzovoort.
\(p_j\)
is de kans op overleving voor de mensen in leeftijdsgroep
\(j\)
. Dus de hoeveelheid mensen
\(A_{j+1}(t+1)\)
is gelijk aan de hoeveelheid mensen
\(A_j(t)\)
vermenigvuldigd met
\(p_j\)
. Dus
\(A_{j+1}(t+1) = A_j(t)p_j\)
Dit gaat niet op voor de hoeveelheid mensen
\(A_0\)
, want er bestaan geen dingen als
\(A_{-1}\)
en
\(p_{-1}\)
. Dit is dus een speciaal geval.
\(f_i\)
is de factor van vruchtbaarheid van de mensen in leeftijdsgroep
\(i\)
.
\(i\)
ligt tussen
\(0\)
en
\(r\)
, met
\(r < l\)
, want mensen stoppen met het 'produceren' van kinderen als ze ouder dan een bepaalde leeftijd worden.

Dus
\(A_0(t+1) = \sum^r_{i=0} A_i(t)f_i\)
.

En in dit geval is
\(B\)
de stationaire populatie. Dus
\(\frac{B_{j+1}(t+1)}{B_j(t+1)} = \frac{B_{j+1}(t)}{B_j(t)}\)
. De verhouding tussen
\(B_{j+1}\)
en
\(B_j\)
is altijd hetzelfde op een bepaald tijdstip
\(t \in \{0, 1, ...\}\)
en voor alle
\(j \in \{0, ..., l -1\}\)
Hopelijk maakt dit het wat duidelijker :)
Ik heb een foutje gemaakt. Er zijn
\(l+1\)
leeftijdsgroepen, genummerd van
\(0\)
tot en met
\(l\)
.

Voor de rest klopt het volgens mij.

Terug naar “Wiskunde”