Convergentie in kans aantonen

[Siron]

Hallo, ik moet het volgende aantonen:

\(Y_n \to^{P} c \Rightarrow \frac{1}{Y_n} \to^{P} \frac{1}{c}\)

Ik zit dus met: Stel

\(\epsilon>0\)

dan geldt

\(P\left \{\left|\frac{1}{Y_n}-\frac{1}{c} \right| \right \} = P \left \{\frac{|Y_n-c|}{|Y_n|}>|c| \epsilon \right \}\)

Maar wat nu? Ik heb al allerlei afschattingen proberen te gebruiken, maar die komen nooit goed uit om deftig die kans door 0 te kunnen afschatten.

Iemand een suggestie?

Bvd!

[EvilBro]

\(Y_n \to^{P} c \Rightarrow \frac{1}{Y_n} \to^{P} \frac{1}{c}\)

Ik snap niet wat dit betekent. Kun je dit uitleggen?

[Siron]

Dat had ik inderdaad beter gezegd. Bijvoorbeeld

\(Y_n \to^{P} c\)

betekent dat

\(Y_n\)

in kans convergeert naar

\(c\)

(

\(c \in \mathbb{R}\)

)

[EvilBro]

\(P\left(\left|\frac{1}{X_n} - \frac{1}{c}\right| < \epsilon\right) = P\left(-\epsilon < \frac{1}{X_n} - \frac{1}{c} < \epsilon\right) = P\left(\frac{1-c \epsilon}{c} < \frac{1}{X_n} < \frac{1+ c \epsilon}{c}\right)\)

Reciproke van alle termen nemen en c van alle termen aftrekken.

Ik heb dit trouwens niet helemaal geprobeerd. Het zou dus kunnen zijn dat dit later nog spaak loopt.