http://www.wetenscha...post__p__948042
Daarom hoef ik dit bericht ook niet helemaal opnieuw te schrijven, en zal de lezer van dit topic hier veel bekends tegenkomen. De nieuwe afleiding zonder de perkenwet gaat aldus:
Michel Uphoff gebruikt een bijzonder referentiestelsel om afstanden en snelheden in te meten, namelijk een stelsel dat langs de toren met het steentje mee naar beneden valt. Dit kan je inderdaad voorstellen als een mannetje dat langs een ladder de toren afdaalt waarbij hij ervoor zorgt onderweg voortdurend op gelijke hoogte met het steentje te blijven. Dit referentiestelsel zullen we voor het gemak met M aanduiden. (De oorsprong van M beweegt tijdens de val van het steentje ten opzichte van het middelpunt van de aarde, maar we spreken af dat deze oorsprong in elk geval aan het begin van de val (t = 0 s) precies in het middelpunt van de aarde ligt.) Zodra het mannetje beneden aankomt zal de horizontale afstand die hij dan tot het steentje meet de gezochte afwijking d zijn.
Laat in deze nieuwe afleiding v'hor de horizontale snelheid van het steentje zijn zoals deze wordt gemeten in het referentiestelsel M van het mannetje. Wanneer je v'hor eenmaal hebt is het verder enkel nog wiskundig rekenwerk om d te bepalen.
Laat A een niet roterend maar wel met zijn oorsprong aan het middelpunt van de aarde verbonden referentiestelsel zijn. Voor h(t) (de hoogte van het steentje op tijdstip t) hebben we in A bij benadering (kogelbaanformule):
\( \mbox{h}(t) = \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)
.Laat R de straal van de aarde zijn, dan komt er bij benadering voor de afstand r(t) van het steentje tot het middelpunt van de aarde:
\( \mbox{r}(t) \, = \, \mbox{R} \, + \, \mbox{h}(t) \)
\( \mbox{r}(t) \, = \, \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 \)
.Bij het loslaten van het steentje geldt voor de horizontale snelheid Vhor(0) van het steentje in het referentiestelsel A:
\( V_{hor}(0) \, = \, (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}) \, \Omega \)
.(Ω is de hoeksnelheid van de aarde.)
Voor de horizontale snelheid Vhor(t) van het steentje gemeten in A geldt verder (voor niet al te hoge torens) bij goede benadering dat:
\( V_{hor}(t) \, = \, \mbox{r}(t) \, \omega(t) \)
.(ω(t) is de hoeksnelheid van het steentje in referentiestelsel A op tijdstip t.)
Wanneer we aannemen dat deze horizontale snelheid (bij benadering) constant is, geldt er:
\( V_{hor}(0) \, = \, V_{hor}(t) \)
\( (\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}) \, \Omega \, = \, \mbox{r}(t) \, \omega(t) \)
\( \omega(t) \, = \, \frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{r}(t) } \, . \, \Omega \)
\( \omega(t) \, = \, \frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \, . \, \Omega \)
(formule α') .De valtijd
\( \tau \)
vinden we aldus:\( \mbox{h}_{toren} - {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 = 0 \)
\( \mbox{h}_{toren} = {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} \tau^2 \)
\( \tau^2 = \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} \)
\( \tau = \sqrt{ \frac{2 \mbox{h}_{toren}}{\mbox{g}} } \)
(formule β') .Het verschil in hoeksnelheid van het steentje en het mannetje zal voor torenhoogten tussen 0 en 100 meter voor beide referentiestelsels A en M vrijwel gelijk zijn. Het referentiestelsel M verzakt tijdens de val van het steentje enigszins ten opzichte van A. De oorsprong van M zal zich daardoor tijdens de val van het steentje over een afstand htoren van de oorsprong van A verwijderen. Voor de gemeten hoeksnelheden valt dat effect echter in het niet, omdat een dergelijke (vergeleken met de straal van de aarde) geringe verschuiving van de oorsprong voor de gemeten hoeken van mannetje, steentje en toren nauwelijks verschil maakt. Dus zal het steentje volgens het mannetje bij goede benadering met onderstaande hoeksnelheid ωs(t) bewegen:
\( \omega_s (t) = \omega(t) - \Omega \)
.Voor de horizontale snelheid v'hor(t) van het steentje zoals gemeten door het mannetje zal dan (opnieuw bij benadering) gelden:
\( v'_{hor}(t) = \omega_s(t) . \mbox{R} \)
\( v'_{hor}(t) = ( \omega(t) - \Omega ) . \mbox{R} \)
\( v'_{hor}(t) = \left ( \frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \, . \, \Omega \,\, - \,\, \Omega \right ) . \mbox{R} \)
\( v'_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{\mbox{R} + \mbox{h}_{toren}}{ \mbox{R} \, + \, \mbox{h}_{toren} \, - \, {\scriptstyle \frac{1}{2} } \mbox{g} t^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
\( v'_{hor}(t) = \Omega \, \mbox{R} \, . \, \left ( \frac{1}{ 1 \, - \, \frac{\mbox{g}}{2( \mbox{R} + \mbox{h}_{toren})} t^2 } \,\, - \,\, 1 \right ) \)
(formule γ') .(De boven in het rood gedrukte aanname is twijfelachtig, en het vervolg zal moeten uitwijzen of deze verantwoord is.)
