Bartjes schreef: ↑zo 02 mei 2010, 15:29
Om de afwijking bij de sprong te kunnen berekenen moeten we nog één extra punt op het boloppervlak in het niet-roterende referentiestelsel weten. Het vertrekpunt op de aardkorst vanwaar de springer zijn sprong begon is door de draaiing van de aarde tijdens zijn sprong over een zekere hoek verdraaid. De plaats waar dit punt van de aardkorst zich op het moment van neerkomen van de springer bevindt zullen we met D aangeven. We noemen dit het Verdraaide Punt. In onderstaande tekening zijn de drie belangrijke punten in het niet-roterende referentiestelsel nog eens aangegeven.
B is het beginpunt van de sprong, E het eindpunt van de sprong, en D het verdraaide punt.
We geven de tijdsduur van de sprong aan met τ. De hoekfrequentie van de aardrotatie noteren we als Ω. Voor de breedtegraad en lengtegraad van D in het niet-roterende referentiestelsel schrijven we respectievelijk φD en λD. Dan is het - rekening houdend met de draairichting van de aarde - duidelijk dat:
\( \varphi_D = \varphi_B \),
\( \lambda_D = \lambda_B + \Omega . \tau \).
- post-22276-1272802681 503 keer bekeken
Bartjes schreef: ↑zo 06 jun 2010, 23:55
We pakken nu de draad van het formule-bouwen weer op.
(...)
Daaruit zien we dat:
\( \frac{\varphi_D - \varphi_E}{2} = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \).
En:
\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \frac{( \lambda_B + \Omega \, . \tau ) - \left ( \lambda_B + \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) \right ) }{2} \),
\( \frac{\lambda_D - \lambda_E}{2} = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \).
(...)
We zien dat deze formule weer te groot dreigt te worden. Daarom schrijven we:
\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (\cos \beta \, . \sin \varphi_B) }{2} \),
\( \Lambda = \frac{ \Omega \, . \tau - \arctan \left (\frac{\tan \beta }{\cos \varphi_B} \right ) }{2} \).
(...)
Vlak boven de evenaar loopt een loodrecht opgeworpen steentje tijdens de vlucht dus een achterstand op van λD - λE ten opzichte van de hoekverdraaiing van de aarde.Bartjes schreef: ↑zo 13 jun 2010, 02:49
Alle benodigde deelformules voor het formule-schema zijn nu gevonden. Hieronder staan die formules op een rijtje, met er achter de nummers van de berichten waaraan ze zijn ontleend. Zij vormen daarmee het gezochte formule-schema. Met dit schema kan de complete formule in elkaar worden gezet voor de berekening van de afwijking d voor gegeven hoogte h van de sprong en breedtegraad φB van het beginpunt. Maar de concrete berekeningen kunnen uiteraard ook al met behulp van dit schema zelf worden uitgevoerd.
Formule-Schema:
\( d = 2 . R . \arcsin W \)(Uit bericht #159)
\( W = \sqrt {\sin^2 \Phi + \cos \varphi_B \, . \, \sqrt{1 \, - \, U^2 \, . \sin^2 \varphi_B} \, . \, \sin^2 \Lambda } \)(Uit bericht #159)
\( \Phi = \frac{\varphi_B - \arcsin (U \, . \sin \varphi_B) }{2} \)(Uit bericht #159)
\( \Lambda = \frac{ V - \arctan \left ( \frac{1}{ \cos \varphi_B} \, . \, \sqrt{\frac{1}{U^2} - 1} \, \right ) }{2} \)(Uit bericht #159)
\( U = 2 . \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2 \, - \, 1 \)(Uit bericht #171)
\( V = 2 . ( \arcsin Q \, + \, \varepsilon . Q ) \, . \, S \)(Uit bericht #173)
\( Q = \frac{1}{H} \, . \, \sqrt{ \frac{2 \, . \, N_{\oplus}}{ \cos^2 \varphi_B } \, . \, H \, - \, 1} \, \, \, . \, \sqrt{1 \, - \, \left ( 1 \, - \, \frac{H \, - \, 1}{ \frac{N_{\oplus}}{\cos^2 \varphi_B} \, . \, H \, - \, 1 } \right )^2} \)(Uit bericht #175)
\( \varepsilon = 1 - \frac{\cos^2 \varphi_B}{N_{\oplus} \, . \, H} \)(Uit bericht #174)
\( S = \sqrt{ \frac{ H^3}{ N_{\oplus} \, . \left ( 2 \, - \, \frac{ \cos^2 \varphi_B }{N_{\oplus} \, . \, H} \right )^3} } \)(Uit bericht #173)
\( N_{\oplus} = \frac{\gamma M}{R^3 \, \Omega^2} \)(Uit bericht #166)
\( H = \frac{R + h}{R} \)(Uit bericht #171)
(Ik bekijk strikt genomen een punt vlak boven de evenaar omdat ook de afleiding uitgaat van een punt boven de evenaar. Vanwege de continuïteit van dergelijke verschijnselen zal echter de gevonden waarde ook voor de evenaar zelf nog geldig zijn. We zouden ook de gehele afgeleide formule voor de afwijking d kunnen gebruiken, maar dat maakt de zaak onnodig ingewikkeld omdat we alleen de relatief simpele situatie aan de evenaar willen bekijken.)
