Deelbaar door (1 --> 10)

[Drieske]

Met name dit stapje is iets te rap: hoe haal je de 3 uit de 8?

Ik bedoelde, als je kijkt naar mijn post erboven is dat ook duidelijk, dat je 2 haalt uit 8 en 3 uit 9.

[Benm]

Je kunt schrappen als je bij 1 begint, en dan telkens kijkt of een getal al een product is van 2 of meer vorige getallen. Ik zou dan zeggen:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 7 * 9

Dit getal is echter niet het -kleinste- nummer dat aan de voorwaarden voldoet:

Hoewel 9 niet is te maken uit vermenigvuldiging van de voorgaande nummers, is het wel te maken uit 3 x 3, waarmee het antwoord op de vraag dus de uitkomst van het bovenstaande is, gedeeld door 3, ofwel:

1 * 2 * 3 * 3 * 4 * 5 * 7

Het aardige is dat je daaruit ook meteen weet dat het getal (2520) ook deelbaar is door bijvoorbeeld 35, 28, of pakweg 420 (3 * 4 * 5 * 7).

[Erik Leppen]

De methode van benm is niet hoe ik het zou doen - ik vind dat je daar vrij snel dingen over het hoofd kan zien. In plaats van te beginnen bij 1 x 2 x ... x 9 x 10, zou ik beginnen bij 1 en per deler die je wil toevoegen, bekijken wat je al hebt en wat je dus nog nodig hebt. Ik bedoel dan ongeveer zoiets:

Begin bij 1.

Je wil nu 2 toevoegen. Je hebt nog niks, dus voeg 2 toe. Je hebt 2.

Je wil nu 3 toevoegen. Je hebt nog niks, dus voeg 3 toe. Je hebt 2 x 3.

Je wil nu 4 toevoegen. Je hebt al 2, dus voeg nog 4/2 = 2 toe. Je hebt 2 x 2 x 3.

Je wil nu 5 toevoegen. Je hebt nog niks, dus voeg 5 toe. Je hebt 2 x 2 x 3 x 5.

Je wil nu 6 toevoegen. Je hebt al 2 x 3, dus dan heb je niks meer nodig. Je hebt 2 x 2 x 3 x 5.

Etc.

Uiteindelijk zou je moeten uitkomen op 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7. Oftewel, jouw eigen 2520

[Drieske]

De methode van benm is niet hoe ik het zou doen - ik vind dat je daar vrij snel dingen over het hoofd kan zien. In plaats van te beginnen bij 1 x 2 x ... x 9 x 10, zou ik beginnen bij 1 en per deler die je wil toevoegen, bekijken wat je al hebt en wat je dus nog nodig hebt. Ik bedoel dan ongeveer zoiets:

In mijn ogen ga je op de ene manier niet vlugger of trager een deler vergeten. In beide gevallen gaat het erom bij te houden of je een deler hebt of niet. Maar dat is uiteraard voorkeur. Al wegen leiden uiteindelijk naar hetzelfde eindpunt .

[eezacque]

Je zou even op 'least common multiple' kunnen zoeken, een van de geijkte methoden is om de getallen te ontbinden in priemfactoren, en om dan van iedere priemfactor de hoogst voorkomende macht te nemen.

In dit geval:

1 =1

2 =2

3 =3

4 =2^2

5 = 5

6 = 2x3

7 = 7

8 =2^3

9 =3^2

10=2x5

Het kleinst gemeenschappelijke veelvoud is hier 2^3x3^2x5x7=2520

[Benm]

Je hebt er natuurlijk meerdere mogelijkheden voor, die allemaal werken. Welke kiest hangt er natuurlijk ook vanaf hoe groot de rij getallen is, en of je het middels menselijke berekening of computerberekening wilt gaan oplossen.

De kans iets te 'missen' bij hoofdrekenen is bij de methode van Erik lager dan bij mijn aanpak. Ik laat bijvoorbeeld bewust die 4 staan omdat ik die toch al nodig heb om later de 8 te maken. Zou je dit met de getallen tot 7 doen, dan hoef je slechts een extra '2' te rekenen ipv de '4'.

Feitelijk zou er nooit een niet-priemgetal in het rijtje getallen moet staan dat je gaat vermenigvuldigen, iets waar jullie beide methodes in voldoen. Overigens denk ik dat de methode van Erik door een mens met kladpapier sneller is uit te voeren voor bijvoorbeeld de range 1 tot 100 dan de methode van Eezacque. Ik denk dat je veel snelheid verliest nadat je alles ontbonden hebt in priemfactoren en de boel moet gaan samenrapen.

[perdarx]

Met name dit stapje is iets te rap: hoe haal je de 3 uit de 8?

Je haalt de 3 uit de 9 de 2 uit de 8 de 10 uit de 2 en 5 en de 6 uit de 2 en 3

[Dominus Temporis]

Je kunt schrappen als je bij 1 begint, en dan telkens kijkt of een getal al een product is van 2 of meer vorige getallen. Ik zou dan zeggen:

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 7 * 9

Dit getal is echter niet het -kleinste- nummer dat aan de voorwaarden voldoet:

Hoewel 9 niet is te maken uit vermenigvuldiging van de voorgaande nummers, is het wel te maken uit 3 x 3, waarmee het antwoord op de vraag dus de uitkomst van het bovenstaande is, gedeeld door 3, ofwel:

1 * 2 * 3 * 3 * 4 * 5 * 7

Het aardige is dat je daaruit ook meteen weet dat het getal (2520) ook deelbaar is door bijvoorbeeld 35, 28, of pakweg 420 (3 * 4 * 5 * 7).

sorry dat ik ouwe koeien uit de gracht haal, maar wat je doet met 9 (vervangen door 3), zou dan toch volgens jou ook moeten kunnen voor 4? (vervangen door 2?)

[Benm]

Dat klopt inderdaad, maar ik had al voorzien dat ik die 4 nodig had om de acht mee te maken. Uiteraard had ik op dat punt een 2 kunnen toevoegen, dan verder met 5, en bij 8 weer een 2 toevoegen om op precies hetzelfde uit te komen.

[Dominus Temporis]

Dat klopt inderdaad, maar ik had al voorzien dat ik die 4 nodig had om de acht mee te maken. Uiteraard had ik op dat punt een 2 kunnen toevoegen, dan verder met 5, en bij 8 weer een 2 toevoegen om op precies hetzelfde uit te komen.

wil je eens uitleggen hoe je t zou doen van 1-->20? (ik kom namelijk een heel groot getal uit: 5.237.832.600

Bewerking: nee wacht, ik kom aan 698.377.680 = 1*2*3*2*5*7*2*3*11*13*2*17*3*19

klopt dit? is dit het KGV van alle getallen tussen 1 en 20?

[Benm]

Nouja, ik wil het wel proberen hoor, maar kan zo mis gaan...

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 7 * 3 * 11 * 13 * 2 * 17 * 19

= 232.792.560

Als bonus is het ook nog deelbaar door 21 en 22, maar bij 23 gaat het fout

[Dominus Temporis]

Nouja, ik wil het wel proberen hoor, maar kan zo mis gaan...

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 7 * 3 * 11 * 13 * 2 * 17 * 19

= 232.792.560

Als bonus is het ook nog deelbaar door 21 en 22, maar bij 23 gaat het fout

dan vraag ik me natuurlijk af, waarom je die vier niet vervangt door een twee, en zo ook 8...

waarom alleen 9 vervangen door 3?

[Drieske]

Omdat je natuurlijk ook nog deelbaar moet zijn door 8 en dan heb je 2*4 nodig... Maar het nadeel bij deze methode (hoewel makkelijk voor "kleine" reeksen), is dat je rap een getalletje kunt vergeten. Je kunt het omgekeerd beredeneren: 2, 4, 8 zitten allen in 16, dus laat ik die weg. Maar ook hier weer dreig je rap factoren te veel te gaan hebben (rapper dan via de weg van Benm misschien wel).

Voor "grote" reeksen, zoals jouw van 1 tot 20, is het waarschijnlijk veiliger om eerst elk getal te schrijven in priemontbinding en dan van elk priemgetal de hoogst voorkomende macht te pakken. Dat is een aanpak die hier misschien wel al werd vermeld (en uitgewerkt), maar hier toch even een voorbeeld dan (je moet wel bekend zijn met priemontbinding maar dat zal wel?):

2 = 2*1

3 = 3*1

4 = 2²

5 = 5*1

6 = 2*3

7 = 7*1

8 = 2³

9 = 3²

10 = 2*5

11 = 11*1

12 = 2²*3

13 = 13*1

14 = 2*7

15 = 3*5

16 = 2⁴

17 = 17*1

18 = 2*3²

19 = 19*1

20 = 2²*5

Als je nu deze reeks doorloopt, zie je dat de hoogste macht van elke priemfactor is: 2⁴ (alle andere 2's vergeten we), 3²(weer vergeten we alle andere 3's), 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Je kleinste getal is dus: 2⁴ * 3² * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 = 232 792 560. Je kunt nu ook makkelijk zien waarom het getal deelbaar is door 21 en 22, maar niet door 23. Etc.

[Dominus Temporis]

...(je moet wel bekend zijn met priemontbinding maar dat zal wel?)...

nope, maar uit je werkwijze kan ik wel afleiden dat het het doel is om alle getallen als product van priemgetallen te schrijven, hetzij als het product van machten van priemgetallen..

[Drieske]

Dat is inderdaad het procédé. Uiteraard is dat niet altijd even eenvoudig, maar laten we zeggen dat het voor relatief kleine getallen (tot 100 ofzo) zeer makkelijk te doen is met de hand .