Partiële sommen berekenen

[Energyfellow]

Geachte,

Weet er iemand hoe ik volgende partiële sommen naar een zo eenvoudig mogelijke structuur omzet?



Dank bij voorbaat,

Roger

[Xenion]

\(\sum_i \sum_j (i\cdot j)\)

Als je het niet meteen ziet kan je altijd eens proberen van de sommen 'volledig' te schrijven:

\(= \sum_i i\cdot (1+2+..+n) = 1*(1+2+...+n) + 2*(1+2+...+n) + ... + n*(1+2+...+n)\)

Dit is dus hetzelfde als:

\(\sum_i (i\cdot \sum_j j) = (\sum_i i)\cdot (\sum_j j) = \left( \sum_i i \right)^2\)

[Energyfellow]

Hey,

Dat zou volgens mij

\(\left ( n . i \right )^2\)

moeten zijn.

Ik zie dat je bij onderstaande uitwerking regels toepast, weet je soms een link waar die terug te vinden zijn.

Mvg,

Roger

[Drieske]

Onder het kopje "identities" vind je hier alle regels voor eindige sommen (of toch: alle relevante regels). Wat je hier concreet nodig hebt, is dat als je sommeert over j (die niet afhangt van i), dan kan je i beschouwen als een constante en dus buiten die sommatie brengen. Snap je?

Verder: hoe kan je uitkomst nu afhangen van i? Je sommeert over i, dat is dus zeker niet mogelijk. Van n mag het afhangen uiteraard. Als je bovenstaande link goed bekijkt, kun je er ook het antwoord vinden.

PS: mocht je het moeilijk vinden zo: neem eens n=3 bijv en kijk dan wat er gebeurt en zie dat die i geen betekenis heeft.

[Energyfellow]

Hey,

De uitkomst zou:

\(\frac{n(n+1)*(2n+1)}{6}\)

moeten zijn.

Dat snap ik min of meer maar in dit geval waren beide sommen begrensd door n.

Nu, hoe begin je er aan als de ene som begrensd is door de variabele van de andere:

\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\sum_{k=1}^{j}x = x+1\)

?

Dank bij voorbaat,

Roger