Vierde ruimtelijke dimensie

[JeffW]

Voor uitdijing van het heelal wordt de analogie met een opblazende ballon gebruikt met daarop muntjes geplakt. De muntjes zelf veranderen niet, maar komen wel steeds verder uit elkaar te liggen. De snelheid waarmee de muntjes van elkaar af bewegen is gerelateerd aan de onderlinge afstand. Hoe groter de onderlinge afstand, hoe groter de snelheid waarmee ze zich met elkaar verwijderen.

Het twee dimensionale oppervlak van de ballon representeert in deze analogie de drie dimensionale ruimte. Het binnenste van de ballon doet dus niet mee. De ballon is dus een twee dimensionale ruimte in een drie dimensionale vorm. Hierdoor is er geen middelpunt of oorsprong van de uitdijing; geen punt waaruit ooit alle muntjes zijn voortgekomen. Als deze analogie wordt terugvertaald naar de drie dimensionale ruimte, die uitdijt en waarin alle sterrenstelsels zich van alle anderen af bewegen, met een snelheid die afhankelijk is van de onderlinge afstand, betekent het dat de drie dimensionale ruimte zich in een vier dimensionale vorm moet bevinden. Betekent dit dat er een vierde aantoonbare, indirect zelfs waarneembare, ruimtelijke dimensie is?

De klassieke modellen beperken zich tot drie ruimtelijke dimensies. Snaar theorieën vereisen negen of tien ruimtelijke dimensies, maar allemaal zo minuscuul dat ze niet zichtbaar of merkbaar zijn. Braan theorieën kennen wel grote extra dimensies, maar die lijken niet gerelateerd aan de vierde dimensie die nodig zou zijn voor de uitdijing van het heelal.

Waarom wordt deze vierde ruimtelijke dimensie alleen genoemd in relatie tot de ballon analogie en heeft het in andere theorieën, berekeningen en verklaringen geen rol?

[Michel Uphoff]

Lees dit stukje over ruimtetijd eens.

[JeffW]

U bedoelt dat de vierde dimensie waarin ons drie dimensionale heelal uitdijt, de tijddimensie is? De ballon analogie is dan volgens mij niet erg accuraat: hierin is een extra gelijksoortige dimensie nodig. Of gaat de analogie ook op als de ballon zou worden opgeblazen in een ruimtetijd die bestaat uit twee ruimtedimensies en een tijddimensie?

[Michel Uphoff]

Je zou, met enige fantasie, de inhoud van de ballon als het verleden kunnen zien en alles buiten de ballon als de toekomst.

Het oneindig dunne vlies van het oppervlak van de ballon is dan niet alleen de ruimte maar ook het nu.

Zo bezien zit de oerknal dan in het centrum van de ballon, 13,7 miljard jaar geleden bij het begin van tijd en ruimte toen de ballon oneindig klein en de tijd 0 was.

Kortom, je ziet nu de ruimtetijd, en elke gebeurtenis bevindt zich dan ergens op een punt in de ruimte en in de tijd. Ruimte en tijd zijn een en vormen tezamen de 4^edimensie, zonder een van de twee bestond de ballon niet.

Het blijft natuurlijk maar een analogie, en die plegen altijd ergens mank te gaan.

[JeffW]

Een analogie heeft inderdaad meestal zijn beperkingen. Volgens mij is hier echter ook een meetkundig principe aan de orde: een cirkel is een 1-sphere en bevind zich in een 2D ruimte, een bol is een 2-sphere en bevind zich in een 3D ruimte, als ons universum een 3-sphere is dan zou deze zich in een 4D ruimte bevinden. De tijdcomponent van de ruimtetijd geeft hierbij geen grotere of kleinere 'diameter' aan, maar de golving in het 'oppervlak' van de 3-sphere.

Leonard Susskind meldt hierover in The cosmic landscape: the geometer studying a 3-sphere has no interest in the 4-dimensional space in which it is embedded. We can throw it away and concentrate only on the 3-sphere.

Ik snap dat 4D in ons dagelijks leven geen inderdaad geen rol speelt. Maar volgens mij neemt dit niet weg dat er wel degelijk een vierde ruimtelijke dimensie is. Omdat deze vierde dimensie geen rol heeft in de modellen, neem ik aan dat ik me vergis. Ik ben wel erg benieuwd op welke manier ik me dan vergis.

[317070]

Een analogie heeft inderdaad meestal zijn beperkingen. Volgens mij is hier echter ook een meetkundig principe aan de orde: een cirkel is een 1-sphere en bevind zich in een 2D ruimte, een bol is een 2-sphere en bevind zich in een 3D ruimte, als ons universum een 3-sphere is dan zou deze zich in een 4D ruimte bevinden.

Dat hoeft niet zo te zijn.

Als analogie het volgende.

Neem een toren op een schaakbord, maar wijzig de regels een beetje zodat hij als hij aan de linkerkant van het bord doorloopt, hij aan de rechterkant weer uitkomt. Hetzelfde principe met de rechterkant, bovenkant en onderkant.

Dus een toren kan als volgt lopen: d4->e4->f4->g4->h4->a4->b4->c4->d4

maar ook als volgt: d4->d3->d2->d1->d8->d7->d6->d5->d4



De toren komt in 2 loodrechte richtingen na een eindje weer op hetzelfde punt uit. Dus is voor de toren dit schaakbord een 2-spher 2-torus.

Maar toch is het schaakbord in 2d en heb je duidelijk geen derde dimensie nodig om hem te verklaren. Het schaakbord is een topologische torus, maar is niet gekromd in een andere dimensie.

Hetzelfde ook voor onze ruimte. We hebben geen vierde dimensie nodig om onze gekromde ruimte te verklaren. Het kan, maar zoals Susskind opmerkt zou dat enkel extra ballast zijn.

[Math-E-Mad-X]

Ook wel bekend als de pacman world

Overigens is dit schaakbord topologisch gezien geen 2-dimensionale bol, maar een 2-dimensionale donut.

[JeffW]

Dit gaat mijn voorstellingsvermogen ver te boven. Hoe wordt een vlak, waar je aan de ene kant af loopt om aan de andere kant te verschijnen, vertaald naar een 2-dimensionale donut? Waar is het gat en hoe kan een donut 2-dimensionaal zijn? Ongetwijfeld is het wiskundig allemaal heel goed mogelijk (ik heb de formules gezien). Als het ook fysiek mogelijk is, wat is dan hetgeen dat dit mogelijk maakt (ongeacht of het om een 2D ruimte gaat of om onze 3D ruimte)? In onze waarneembare wereld komt dit fenomeen niet voor (net in mijn achtertuin geprobeerd, maar ik stond toch echt in de tuin van de buren ipv dat ik in mijn eigen tuin aan de andere kant tevoorschijn kwam ). Er even van uit gaande dat het daadwerkelijk ook fysiek mogelijk is, dan is er dus iets extra's nodig om ruimte zich op zo'n manier te laten gedragen. Heeft het met, voor ons onbereikbare, energieniveau's te maken?

[Math-E-Mad-X]

Dit gaat mijn voorstellingsvermogen ver te boven. Hoe wordt een vlak, waar je aan de ene kant af loopt om aan de andere kant te verschijnen, vertaald naar een 2-dimensionale donut?

Voor een donut geldt, net zoals voor dit schaakbord of voor een bol, dat als je maar ver genoeg één kant op loopt, je weer terug komt op het punt waar je begon.

hoe kan een donut 2-dimensionaal zijn?

Het gaat puur en alleen om het oppervlak van de donut.

Waar is het gat?

Bij een echte donut is er inderdaad een gat, maar bij dit schaakbord niet. Waar het hier om gaat is dat je precies dezelfde bewegingen over het schaakbord kan maken als over het oppervlak van de donut.

Als het ook fysiek mogelijk is, wat is dan hetgeen dat dit mogelijk maakt (ongeacht of het om een 2D ruimte gaat of om onze 3D ruimte)? In onze waarneembare wereld komt dit fenomeen niet voor (net in mijn achtertuin geprobeerd, maar ik stond toch echt in de tuin van de buren ipv dat ik in mijn eigen tuin aan de andere kant tevoorschijn kwam ). Er even van uit gaande dat het daadwerkelijk ook fysiek mogelijk is, dan is er dus iets extra's nodig om ruimte zich op zo'n manier te laten gedragen. Heeft het met, voor ons onbereikbare, energieniveau's te maken?

De kracht die er voor zorgt dat dit (misschien) mogelijk is, is de zwaartekracht. Of beter gezegd: de kromming van de tijd-ruimte. Deze kromming zorgt er voor dat we in de buurt van een planeet naar de planeet toe vallen en dit is wat we in het dagelijks leven als zwaartekracht waarnemen. Uit de formules die deze kromming beschrijven blijkt dat het mogelijk zou kunnen zijn dat deze kromming op grotere schaal er misschien wel voor zou kunnen zorgen dat we, op een soort 3-dimensionale bol, of een 3-dimensionale donut leven.

[JeffW]

Dus, als ik het goed begrijp, is er geen vierde dimensie nodig, maar is het zwaartekracht dat er voor zorgt dat ruimtetijd zodanig in zichzelf gekromd is dat die onvoorstelbare effecten kunnen optreden: magisch schaakbord, platte donut, uitdijende 3D bol in 3D ruimte.

Kan ik het me als volgt voorstellen (?): een plat vlak, waarop in het midden een zware buis wordt gelegd. Door het gewicht van de buis zakt het vlak vanuit het midden naar beneden. Als het voldoende zakt, raken de uiteinden van het vlak (uiteinden parallel aan de buis) elkaar boven de buis. Wij zien het kromgetrokken vlak nog steeds als vlak. Dus als we rechtdoor blijven lopen (loodrecht op de buisrichting), dan stappen we uiteindelijk van het ene uiteinde over op het andere. In ons 'platte' beeld verdwijnen we dan aan de ene kant en verschijnen aan de andere kant.

Dan zou alle massa in het heelal voor voldoende zwaartekracht moeten zorgen om een dergelijke kromming te veroorzaken? Is hiervoor dan een exacte 'hoeveelheid' zwaartekracht voor nodig: bij minder is de kromming onvoldoende en bij meer ga je meer dan een keer rond? Er zijn toch nog wel wat onzekerheden op zwaartekracht gebied, zoals dark matter en energy en kosmologische constante. Past die kromming van ruimtetijd door zwaartekracht, met de juiste aannames, goed in theoretische en wiskundige modellen of is er ook een fysieke waarschijnlijkheid of noodzaak?

[317070]

Dit gaat mijn voorstellingsvermogen ver te boven. Hoe wordt een vlak, waar je aan de ene kant af loopt om aan de andere kant te verschijnen, vertaald naar een 2-dimensionale donut? Waar is het gat en hoe kan een donut 2-dimensionaal zijn? Ongetwijfeld is het wiskundig allemaal heel goed mogelijk (ik heb de formules gezien).

Misschien verduidelijkt onderstaande animatie het wat? Je kan in de plaats van de toren te laten lopen over de rand, het vlak ook letterlijk laten krommen. Als je dit voor beide zijden doet kom je dan een torus(=donut) uit.

Als het ook fysiek mogelijk is, wat is dan hetgeen dat dit mogelijk maakt (ongeacht of het om een 2D ruimte gaat of om onze 3D ruimte)?

In onze waarneembare wereld komt dit fenomeen niet voor (net in mijn achtertuin geprobeerd, maar ik stond toch echt in de tuin van de buren ipv dat ik in mijn eigen tuin aan de andere kant tevoorschijn kwam ). Er even van uit gaande dat het daadwerkelijk ook fysiek mogelijk is, dan is er dus iets extra's nodig om ruimte zich op zo'n manier te laten gedragen. Heeft het met, voor ons onbereikbare, energieniveau's te maken?

Waarom zou daar iets extra's voor nodig moeten zijn? Er is geen reden waarom het magische schaakbord iets extra's nodig heeft en het gewone schaakbord 'gewoon' is. Het kan net zo goed omgekeerd zijn. Misschien heeft een vlakke ruimte wel extra veronderstellingen nodig? Want het is toch buitengewoon toevallig dat van alle soorten en maten van krommingen die ze zou kunnen hebben, ze net geen kromming heeft?

Ook wil ik ontkennen dat het fenomeen in onze waarneembare wereld niet voorkomt. Mijn zus was na 4 maanden naar het oosten reizen echt wel terug in België. Waarom zou dat dan niet op het universum-niveau kunnen?

Het enige wat ik wil aantonen met het schaakbordvoorbeeld, is dat je geen extra dimensie nodig hebt om een ruimte in te krommen. Een 2d-ruimte kan gekromd zijn zonder derde dimensie, en een 3D-ruimte kan krommen zonder vierde dimensie.

Maar trek ook dit voorbeeld niet te ver door.

http://en.wikipedia....of_the_universe

[Marko]

Ook wil ik ontkennen dat het fenomeen in onze waarneembare wereld niet voorkomt. Mijn zus was na 4 maanden naar het oosten reizen echt wel terug in België. Waarom zou dat dan niet op het universum-niveau kunnen?

Maar jouw zus heeft zich voortbewogen over het tweedimensionale oppervlak van onze driedimensionale planeet. Als ik die redenering doortrek beweegt men zich door de driedimensionale ruimte van een vier (of hoger) dimensionale ruimte.

Het enige wat ik wil aantonen met het schaakbordvoorbeeld, is dat je geen extra dimensie nodig hebt om een ruimte in te krommen. Een 2d-ruimte kan gekromd zijn zonder derde dimensie, en een 3D-ruimte kan krommen zonder vierde dimensie.

Volgens mij worden dat woordspelletjes. Je hebt geen extra dimensie nodig, maar wel de aanname dat je op de een of andere manier in een rechte lijn kunt bewegen en weer op dezelfde plaats terecht kunt komen.

Zoiets zou je "van de regen in de drup" kunnen noemen.

[317070]

Zoiets zou je "van de regen in de drup" kunnen noemen.

Misschien wel, maar het is in ieder geval een enorme vereenvoudiging ten opzichte van de vierde dimensie en verklaart de uitspraak van Susskind die hier eerder geplaatst werd: "the geometer studying a 3-sphere has no interest in the 4-dimensional space in which it is embedded. We can throw it away and concentrate only on the 3-sphere."

En voorlopig is die doughnut-universe een goede verklaring: http://en.wikipedia....of_the_universe

Therefore, Tegmark suggests a torus geometry is the most probable shape consistent to his analysis of WMAP CMB maps.

Ook is dat een kwestie van smaak. Ik ben, vanwege mijn vakgebied, veel meer gewoon om te denken in termen van dergelijke dougnut-coördinaten dan in de klassieke Cartesiaanse. Ik vind ze veel logischer, ze vereisen geen oneindig en zijn onbegrensd. Wiskundig werken ze even elegant.

Naar mijn mening zijn

• de aanname dat je op de een of andere manier in een rechte lijn kunt bewegen en weer op dezelfde plaats terecht kunt komen
• de aanname dat je op de een of andere manier in een rechte lijn kunt bewegen en nooit meer op dezelfde plaats terecht kunt komen

even complex en onwaarschijnlijk.

[Marko]

Misschien wel, maar het is in ieder geval een enorme vereenvoudiging ten opzichte van de vierde dimensie en verklaart de uitspraak van Susskind die hier eerder geplaatst werd: "the geometer studying a 3-sphere has no interest in the 4-dimensional space in which it is embedded. We can throw it away and concentrate only on the 3-sphere."

OK, in dat licht begrijp ik het, ik had die uitspraak in dit topic nog niet gezien. De (kromming in de) 4e dimensie kan er zijn, maar is verder niet relevant voor onze beschrijving van de ruimte. Toch vind ik dat enigzins beperkt. Voor de beschrijving van plaatsen op Aarde hebben we ook aan 2 dimensies genoeg, en met dezelfde redenering hadden we ons nooit druk gemaakt over de mogelijkheid dat de Aarde rond is.

Ook is dat een kwestie van smaak. Ik ben, vanwege mijn vakgebied, veel meer gewoon om te denken in termen van dergelijke dougnut-coördinaten dan in de klassieke Cartesiaanse. Ik vind ze veel logischer, ze vereisen geen oneindig en zijn onbegrensd. Wiskundig werken ze even elegant.

Ik kan me ook veel meer vinden in een eindig en onbegrensd heelal; helemaal zelfs en ik zou veel meer moeite hebben met een oneindig of begrensd heelal. Waar ik echter wél moeite mee heb is om een eindig en onbegrensd heelal voor te stellen/te beschrijven als een platte ruimte waarin "op magische wijze" het ene uiteinde aansluit op het uiteinde aan de andere kant. Dat komt in mijn termen neer op een kromming. Weliswaar in een dimensie waar wij niet in kunnen bewegen, maar dat laatste is niet zo relevant.

[Michel Uphoff]

Waar ik echter wél moeite mee heb is om een eindig en onbegrensd heelal voor te stellen/te beschrijven als een platte ruimte waarin "op magische wijze" het ene uiteinde aansluit op het uiteinde aan de andere kant.

Als je in de huid van een tweedimensionale Platlander kruipt, die op dat oneindig dunne vlies van die bol leeft, kom je in genoemde bol (of donut) analogie dicht bij dit beeld. Voor de Platlander is het oppervlak van die bol een plat vlak, de kromming van het vlak buiten de door hem waarneembare twee dimensies is voor hem onvoorstelbaar en dus zal hij - er van overtuigd dat hij immer rechtdoor gaat - op 'magische' wijze die aansluiting waarnemen en uiteindelijk terugkeren op dezelfde locatie in zijn ruimte.