Model maken van een verticaal afgeschoten kogel

[Conara]

Ik wil graag een model maken (in Coach 6) over een perfect verticaal afgeschoten kogel. In eerste instantie wil ik alleen de zwaartekracht laten gelden, maar uiteindelijk wil ik ook graag andere krachten laten gelden, zoals de luchtwrijving.

In mijn model wil ik gebruik maken van de volgende gegevens:

Een Walther P5:

kaliber kogel 9 mm

frontaal oppervlak 6,4×10^{-5 m²}

massa

9 gram

afschietsnelheid 350 m/s

c_w-waarde

0,2

luchtdichtheid 1,3 kg/m³

Nu heb ik hier een aantal vragen over. Ik heb op internet uiteraard zitten zoeken, maar daar kom ik veel tegenstrijdige antwoorden tegen.

1. De afschietsnelheid is 350m/s, dit is neem ik aan de snelheid als de kogel uit de loop komt. De kogel wordt dan afgeremd door de zwaartekracht (eventueel de luchtwrijfing, maar dat wil ik er nog even uitlaten). Nu heb ik het in mijn model als volgt gemaakt:

https://www.dropbox....dmwdc/kogel.png

Uitleg:

Ik weet niet of jullie bekend zijn met Coach, maar ik zal even uitleggen wat ik daar doe:

Onderaan zie je een aantal krachten staan. In de huidige simulatie wordt alleen zwaartekracht gebruikt (de andere 2 hebben nog geen invloed). Hierdoor is zwaartekracht ook gelijk de resulterende kracht F.

Fz = F = - massa * 9,81

Het blokje snelheid heeft een beginsnelheid van 350m/s. De invoer wordt daar bij opgeteld (omdat de invoer in dit geval negatief is, wordt het er van afgetrokken)

Uiteindelijke snelheid = begin snelheid + snelheid (maar snelheid is negatief)

Snelheid = 0.5*(F/massa)*(t^2) -> v = 0.5*a*t²

-> F = a * m ---> a = F/m

Resultaat simulatie:

Jullie zien dat de kogel een hoogte van ongeveer 3000 meter bereikt en dat de kogel na 8 seconden al weer op de grond is.

Vraag:

Ten eerste heb ik gelezen dat een kogel van 350m/s een hoogte bereikt van 4600 meter. Nu weet ik niet of dit waar is, maar ik zet dus vraagtekens bij mijn simulatie.

Kunnen jullie mij in de goede richting sturen? want volgens mij gaat er wel iets fout. Bijvoorbeeld dat de kogel binnen 8 seconden weer op de grond is vind ik ook erg vlug.

[physicalattraction]

Met de formule

\(v(t) = v(0) + a \cdot t\)

kun je uitrekenen op welk tijdstip de kogel zich op het hoogste punt bevindt, want je weet dat dan geldt:

\(v(t) = 0\)

. Die

\(t\)

kun je vervolgens invullen in de formule

\(x(t) = x(0) + v(0) \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2\)

om te kijken hoe hoog de kogel komt. Tevens kun je deze laatste formule gebruiken om te kijken hoe lang het duurt voortdat de kogel weer de grond raakt door te stellen

\(x(t) = 0\)

. Let erop dat je initiële snelheid positief is, en de versnelling door zwaartekracht een negatieve waarde heeft.

Ik vind met Wolfram Alpha een maximale hoogte van iets meer dan 6000 meter (geen idee waar die 4600 vandaan komt) en een tijd van ongeveer 71 seconden voordat de kogel weer terug is op de grond.

Opmerking moderator

Ik kan je plaatje niet inzien. Hierbij het verzoek om plaatjes bij je post toe te voegen. Klik daarvoor op beheer bijlagen in het bewerkvenster.

[Michel Uphoff]

Voor wrijvingsloze situaties geldt E_kinetisch = E_potentieel

De kinetische energie bij afvuren is 1/2 mv²en die moet gelijk zijn aan m*g*h op maximale hoogte, dus m*g*h = 0,5 mv². m aan weerzijden wegstrepen geeft g*h=0,5v^2.Beide zijden delen door g geeft h=0,5 v²/g oftewel

h_max= v²/2g

Bij g=9,81 m/s²en v=350 m/s wordt de maximale hoogte dus: 6243,63 m

De eindsnelheid kan je op dezelfde manier als hierboven afleiden: 0,5mv²= mgh > v²= 2hg dus

v_eind= greek032.gif 2gh

2gh = 122.500,0206 en de wortel hieruit is 350 m/s. Dat konden we ook zonder rekenen weten, want zonder luchtweerstand is de eindsnelheid gelijk aan de mondingssnelheid. Natuurlijk zijn ook de stijg- en daalduur hetzelfde zonder luchtweerstand. De valduur t_v is gelijk aan h/v_gemdus gelijk aan

t_v = 2h/v_eind

12.487,26 / 350 = 35,678 seconden, aangezien de stijgduur hetzelfde is als de valduur is de totale duur dus 71,356 s

Bij deze eenvoudige benadering is er geen rekening gehouden met de afnemende zwaartekracht op grotere hoogte. De invloed hiervan is echter vrij gering.

Dit is allemaal natuurlijk zonder luchtweerstand. Met luchtweerstand wordt het een stuk ingewikkelder. Dan krijg je te maken met een afnemende weerstand bij het stijgen (door verminderen van de snelheid van de kogel, maar ook door het afnemen van de luchtdruk) en een toenemende weerstand bij het dalen, waarbij je ook met een terminale snelheid (waar de zwaartekracht en de luchtweerstand in evenwicht zijn) te maken krijgt. En wil je het helemaal correct doen dan zal je de momentane luchtdruk op verschillende hoogten, de windsnelheid, de locale zwaartekracht, de vermindering van de gravitatie op grotere hoogte en onverwachte factoren als de rotatie van de Aarde en verandering van de drag coëfficiënt bij grote snelheidsverschillen in rekening moeten brengen. Dat is dan een hele klus.

Op Internet zijn wel aardige ballistische applets te vinden, maar of die echt goed rekening houden met genoemde factoren weet ik niet, het lijkt mij echter onwaarschijnlijk.

[edit]

Een van die applets (van Nasa) vind je hier (helaas kan deze applet het minieme oppervlak van een pistoolkogel niet aan). Wel valt er uit af te leiden dat de luchtweerstand bij kleine massa's een enorme invloed heeft. Een voorbeeld:

Een kogel met een doorsnede-oppervlak van 10 cm² en een massa van 250 gram wordt met 350 m/s seconde recht omhoog geschoten. Zonder luchtweerstand weten we de waarden al: Ruwweg 6,2 km hoog en ruim 71 seconde reisduur. Met een drag coëfficiënt 0,5 (normaal voor een bolvorm) zijn de resultaten 1,1 km en 24 seconden. En hoe kleiner de massa, hoe groter de afwijking.

[Conara]

Heel erg bedankt voor reacties. Ik ben lekker bezig geweest en heb ook de luchtweerstand in mijn model opgenomen. Op den duur krijg de kogel hierdoor een vast snelheid van 100 m/s (omlaag). Nu ga ik het model verder uitbreiden door de wind mee te nemen in het geheel.

Eerst ga ik er vanuit dat de wind alleen een horizontale invloed heeft op de kogel. Doordat de wind de kogel horizontaal beïnvloed moet de snelheid van de kogel opgesplitst worden in 2 bewegingen, namelijk de y-snelheid (verticale snelheid) van de kogel en de x-snelheid (horizontale snelheid) van de kogel.

Als de windsnelheid bijvoorbeeld 20 m/s dan wordt natuurlijk de kogel niet met dezelfde snelheid mee gevoerd door de wind, maar de kogel zal door de wind wel versnellen. Nu vraag ik me af of er een berekening bestaat waarmee ik dat kan uitrekenen. Iemand enig idee?

[Michel Uphoff]

Daar is wel wat over te vinden. Bijvoorbeeld hier

Ook hier hebben we in principe te maken met de formule 1/2 mv²voor kinetisch energie.

Voor m neem je de massa van lucht (varieert per hoogte..) rond de 1,25 kg/m³. v is de windsnelheid in m/s (varieert per hoogte..). Maar je moet er nog de dragcoëfficiënt van de kogel bij inbouwen en natuurlijk het doorsnedeoppervak van de kogel in vierkante meters. De uitkomst is dan in N/m²

Dus wordt de zijwaartse kracht F_z (N) ongeveer: 0,625kg/m³ * v_² * C_d* A_doorsnede

Eenheden controle: kg/m³ * m²/s² * m² = kgm/s² = N

Vervolgens kan je met F_z=m*a uitrekenen wat de zijwaartse versnelling van die kogel wordt.

[Conara]

Ah bedankt! Zijwaartse druk is dan in newton neem ik aan? Alleen hoe bepaal ik Cd?

De vormfactor (drag coëfficiënt) hangt af van het voorwerp waarom het gaat. Deze heeft orde grootte 1 en is dimensieloos.

Dit is naar mijn mening een beetje tegenstrijdig. Hangt het af van het voorwerp of is het Cd = 1 (ongeveer)

[Michel Uphoff]

Ja, zijwaartse kracht is in N.

Dat citaat zie ik niet in de voorgaande berichten staan. De dragcoëfficiënt is inderdaad zonder dimensie, zeg maar een correctiefactor, tussen pakweg 0 en 2. Meer hierover en wat voorbeelden bij bekende vormen in Wikipedia: klik en klik

[Conara]

Dat citaat kwam van de website van het KNMI. Maar bedankt! Hier kan ik echt wat mee!

[Fred F.]

afschietsnelheid 350 m/s

c_w-waarde

0,2

Nu heb ik het in mijn model als volgt gemaakt:

https://www.dropbox....dmwdc/kogel.png

Die link werkt niet.

Je kunt bij een kogel niet simpel stellen dat C_w = 0,2

De C_w oftewel C_D is sterk afhankelijk van de snelheid, oftewel van het Mach-getal. Vooral rond Mach = 1 ("geluidsbarriere") is de C_D veel groter dan bij lage snelheden. En jouw kogel begint met een snelheid van ongeveer Mach 1,1 dus ....

Verder is de grafiek van C_D versus Mach-getal sterk afhankelijk van de vorm van de kogel. De vorm zonder de huls, wel te verstaan.

Zoals je in de bijlage ziet heeft Mach (x-as) een enorme invloed op C_D (y-as) en het maakt ook nogal wat uit of je een G1 of een G7 kogelvorm hebt.

Bron: http://www.spudfiles...8,start,45.html

Ik weet niet hoe een 9 mm kogel (zonder huls) voor Walther P5 er uit ziet maar ik vermoed dat dat een simpele kogel is zoals bijvoorbeeld een G1 of een GL.

[Conara]

Hmmmm. Interessant! Wel erg lastig om te verwerken in het model... Toch heel erg bedankt voor het vermelden! Ik ga even kijken/denken hoe ik dit ga oplossen

[Fred F.]

Tsja, het kost wat moeite maar dan heb je ook wat.

Dit plaatje geeft C_D van G1 en G7 kogels als functie van snelheid in feet per second (fps):



1 fps = 0,305 m/s. Mach 1 = ~1100 fps.

(men kan met google afbeeldingen veel van dit soort plaatjes vinden door te googlen met bullet drag coefficient en bullet G1 G7 drag coefficient)

Voor zijwind heb je te maken met de C_D van een cilinder in dwarsstroom. De C_D is dan afhankelijk van de zijwindsnelheid via het Reynolds-getal (Re):



U_oo is dan de zijwindsnelheid loodrecht op de kogel.

A is dan het geprojecteerde zijoppervlak van de kogel, loodrecht op de zijwindrichting.

[Michel Uphoff]

Zie ook dit filmpje van de Mythbusters:

[Sdef]

Ik zelf zou dit probleem aanpakken door te beginnen met een vrijlichaamsschema en vervolgens de 2e wet van newton in de verticale richting toepassen.

Dus om een voorbeeld te geven:

Hierbij neem ik de krachten die naar beneden gericht zijn als positief.

ΣF = m*a

m*a = Fz - Fw

als je hierbij a aan de linkerkant vrij maakt heb je een differentiaalvergelijking voor de versnelling.

Deze oplossen zou de snelheid moeten leveren op tijdstip t en beginsnelheid v.

Wellicht zie ik het verkeerd maar dit zou mijn eerste benadering zijn.

[Michel Uphoff]

Punt is, en dat maakt dat Mythbustersfilmpje mooi duidelijk, je met berekeningen nooit met precisie kan bepalen waar de kogel neer zal komen.

En wil je het helemaal correct doen dan zal je de momentane luchtdruk op verschillende hoogten, de windsnelheid, de locale zwaartekracht, de vermindering van de gravitatie op grotere hoogte en onverwachte factoren als de rotatie van de Aarde en verandering van de drag coëfficiënt bij grote snelheidsverschillen in rekening moeten brengen.

Voeg daar nog aan toe het buitelen van de kogel als de stabiliserende rotatie om zijn as verminderd is, afwijkingen in de kogelvorm, lastig in te schatten turbulentie en waarschijnlijk nog een paar verstorende factoren en je krijgt m.i. precies wat de heren in het filmpje constateerden: Terugvinden van een perfect vertikaal afgeschoten kogel is een kwestie van geluk hebben en je kan het op zijn best bij zeer grove benadering berekenen. Ook al houd je met alle factoren zoveel als mogelijk rekening.