Cartesiaanse vgl. vlak

[Dominus Temporis]

Hoi allemaal

Kan iemand me zeggen hoe je een parametervoorstelling van een vlak alpha, in de vorm

x = x1 + ar + bs

y = y1 + cr + ds

z = z1 + er + fs

Kunt omvormen tot een cartesiaanse vergelijking in de vorm

ux + vy + wz + t = 0?

Bedankt!

-D.T.

[dannypje]

Als je concrete vergelijkingen hebt, proberen r en s uit de vergelijkingen te werken door ze te schrijven in functie van de andere getallen.

Theoretisch is dit een beetje lastig voor te stellen.

Weet niet of dit zou kunnen kloppen maar als je de eerste 2 vergelijkingen gebruikt om r en s neer te schrijven,

en daarna de tweede en de derde vergelijking om hetzelfde te doen, en daarna wat je vond in beide gevallen voor r (of voor s) aan mekaar gelijk te stellen krijg je:

voor r zou dit geven:

\(\begin{array}{|cc|}(x-x1) & b\\(y-y1)&d\end{array}\cdot\begin{array}{|cc|}c & d\\e&f\end{array}=\begin{array}{|cc|}a & b\\c&d\end{array}\cdot\begin{array}{|cc|}(y-y1) & d\\(z-z1)&f\end{array}\)

en als je dit verder uitwerkt tot de vorm ux+vy+wz+t=0 zou je er zijn.

[Dominus Temporis]

ik ben er absoluut zeker van dat ik zoiets nog nooit heb gezien

is het ook goed om de constanten (x, x1, y, y1, z, z1) in het rechterlid te schrijven, terwijl de parameters (r, s) met hun coëfficiënten in het linkerlid geplaatst worden, zodat je manueel de 3x3-matrix kunt oplossen m.b.v. spilmethode?

[dannypje]

Ja dat denk ik wel. Ik heb eigenlijk hetzelfde gedaan, alleen heb ik de vergelijkingen opgelost met de determinanten methode (heel handig voor stelsels met 2 of 3 onbekenden)

Hou er wel rekening mee dat je 3 vergelijkingen en 2 onbekenden hebt, dus je kan 2 vergelijkingen gebruiken om r en s op te lossen, en daarna checken of ze in de derde vergelijking passen.

Als je concrete waarden hebt wordt het wel makkelijker denk ik.

[Dominus Temporis]

stel: je hebt een cartesiaanse vergelijking gegeven van een vlak...kan je hiervan een parametervoorstelling maken?

vb.

alpha <--> x + 2y - 3z + 1 = 0

[dannypje]

Ja hoor,

schrijf x+2y-3z+1 = 0 als

x= -2y + 3z -1

y=y

z=z

Dus (x,y,z)= y(-2,1,0) + z(3,0,1) + (-1,0,0)

Dus (x,y,z) = r(-2,1,0) + s(3,0,1) + (-1,0,0)

Dus:

x = -2r+3s-1

y=r

z=s

[Dominus Temporis]

Ja hoor,

schrijf x+2y-3z+1 = 0 als

x= -2y + 3z -1

y=y

z=z

Dus (x,y,z)= y(-2,1,0) + z(3,0,1) + (-1,0,0)

Dus (x,y,z) = r(-2,1,0) + s(3,0,1) + (-1,0,0)

Dus:

x = -2r+3s-1

y=r

z=s

bedankt wel even aanpassen als je gewoon bent van x,y,z verticaal te schrijven (in matrixvorm) ipv horizontaal

[mathfreak]

Veronderstel dat

\(\vec{r_1}\)

en

\(\vec{r_2}\)

de richtingsvectoren van het vlak zijn en

\(\vec{n}\)

de normaalvector, dan moet gelden:

\(\vec{r_1}\cdot\vec{n}=0\)

en

\(\vec{r_2}\cdot\vec{n}=0\)

. Stel (u,v,w) is de gezochte normaalvector, dan geldt voor jouw voorbeeld dat a∙u+c∙v+e∙w = 0 en b∙u+d∙v+f∙w = 0. Invullen van een bekend punt, zeg P(k,l,m), in de algemene gedaante ux+vy+wz+t = 0 levert dan de gezochte waarde voor t.

[Dominus Temporis]

Een vraagje over dat 'gekend punt'...

elk punt van een vlak voldoet aan de vergelijkingen van dat vlak...maar ligt elk punt dat aan die vergelijkingen voldoet per se in dat vlak? ik meen me te herinneren dat ik deze opmerking eens gaf tijdens de les, ik denk trouwens dat het over rechten ging, en niet over vlakken...dat een punt dat voldeed aan de vergelijkingen van die rechte, toch niet op die rechte lag...kan dit?

[dannypje]

Veronderstel dat

\(\vec{r_1}\)

en

\(\vec{r_2}\)

de richtingsvectoren van het vlak zijn en

\(\vec{n}\)

de normaalvector, dan moet gelden:

\(\vec{r_1}\cdot\vec{n}=0\)

en

\(\vec{r_2}\cdot\vec{n}=0\)

. Stel (u,v,w) is de gezochte normaalvector, dan geldt voor jouw voorbeeld dat a∙u+c∙v+e∙w = 0 en b∙u+d∙v+f∙w = 0. Invullen van een bekend punt, zeg P(k,l,m), in de algemene gedaante ux+vy+wz+t = 0 levert dan de gezochte waarde voor t.

@mathfreak

Deze snap ik niet helemaal. Volgens mij heb je dan maar 2 vergelijkingen in u, v en w om 3 onbekenden te berekenen. Hoe doe je dat dan ? Kan je s een concreet voorbeeld geven misschien ?

[Dominus Temporis]

@mathfreak

Deze snap ik niet helemaal. Volgens mij heb je dan maar 2 vergelijkingen in u, v en w om 3 onbekenden te berekenen. Hoe doe je dat dan ? Kan je s een concreet voorbeeld geven misschien ?

als je 2 vgl hebt met 3 onbekenden, mag je dan niet 1 onbekende zelf kiezen en de rest uitrekenen?

[dannypje]

als je 2 vgl hebt met 3 onbekenden, mag je dan niet 1 onbekende zelf kiezen en de rest uitrekenen?

Jaaah, tuurlijk. Het gaat hier om een vector, dus als je 1 onbekende kiest kan je de andere 2 berekenen, en die vectoren mogen toch veelvouden van elkaar zijn.

thx.