Vierde ruimtelijke dimensie

[Math-E-Mad-X]

Tja, het is allemaal een kwestie van smaak. Je kunt aannemen dat er een vierde ruimtelijke dimensie bestaat zodat je je het beter voor kunt stellen dat het heelal eindig is. Maar we kunnen toch niet in die dimensie bewegen, en voor zover we weten is er ook niets anders (deeltjes of energie) wat in die dimensie zou kunnen bewegen, dus heeft het verder geen fysische relevantie.

Het bestaan van deze dimensie is dus meer een filosofische dan een natuurkundige kwestie.

[Marko]

Als je in de huid van een tweedimensionale Platlander kruipt, die op dat oneindig dunne vlies van die bol leeft, kom je in genoemde bol (of donut) analogie dicht bij dit beeld. Voor de Platlander is het oppervlak van die bol een plat vlak, de kromming van het vlak buiten de door hem waarneembare twee dimensies is voor hem onvoorstelbaar en dus zal hij - er van overtuigd dat hij immer rechtdoor gaat - op 'magische' wijze die aansluiting waarnemen en uiteindelijk terugkeren op dezelfde locatie in zijn ruimte.

Zo magisch is dat voor die platlander niet, want die heeft tijdens zijn reizen vast kunnen stellen dat de som van de hoeken van een driehoek niet altijd 180 graden is.

[Michel Uphoff]

Waaruit (als hij dat al zou kunnen waarnemen) de Platlander geen enkele conclusie zal trekken. Om hem te begrijpen mogen wij ons 'hoger' inzicht niet gebruiken. Hij zal een andere meetkunde gebruiken dan ons driedimensionalen.

[Marko]

Maar Platlanders zijn toch niet per definitie dom en kortzichtig?

De Platlander kan een cirkel tekenen en concluderen dat de eendimensionale omtrek van die cirkel eindig doch onbegrensd is. Dat begrip kan hij ook vertalen naar de tweedimensionale wereld die hij waarneemt, en herkennen dat die óók eindig en onbegrensd is.

Vervolgens heeft hij twee mogelijkheden: Hij kan een kaart tekenen en met heel veel woorden aangegeven dat linker- en rechterkant van die kaart arbitrair gekozen zijn, en dat de punten aan de linkerkant in werkelijkheid aansluiten op de punten aan de rechterkant, en ook: dat de hoeken en/of de relatieve afstanden op de kaart niet overeenkomen met de daadwerkelijke hoeken en afstanden. Hij kan ook zeggen: het oppervlak waarop wij wonen is het oppervlak van een soort driedimensionale cirkel.

[Michel Uphoff]

Met nul herseninhoud valt dat nog te bezien. (Dat is flauw [-X )

Ik was wat te stellig. Een Einstein onder hun zou wellicht tot dergelijke conclusies kunnen komen, maar bij de uitleg van die hogere dimensie zullen de gewone Platlanders (van het platte land bijvoorbeeld) er toch heel veel problemen mee hebben zich dit voor te stellen. Waarschijnlijk grijpen ze de analogie van de eendimensionale oneliners aan om het voor de niet wiskundigen een beetje inzichtelijk te maken.

Feitelijk is ook voor hun de mogelijkheid van een derde dimensie nauwelijks te verifiëren want ook hun heelal is zo enorm groot dat de hoekverschillen onmeetbaar zullen blijken en een rondje om de bol of torus onhaalbaar zal zijn. Maar zelfs als dat haalbaar is zouden ze bij de analogie van het uitdijende boloppervlak na tientallen misschien honderden miljarden jaren weliswaar op dezelfde coördinaten van de bol aan kunnen komen, maar hoe verifiëren ze dat. Het heelal daar is inmiddels volslagen onherkenbaar geworden. Niets wat er was is er meer, en waarschijnlijk is het daar inmiddels heel erg leeg door de uitdijing. Ze zijn op een totaal ander punt in de (ruimte)tijd aangekomen.

Waar het op neer komt is, dat zij dezelfde 'magische' hoger dimensionale wereld als wij moeten bevroeden, en er net als wij heel veel moeite mee zullen hebben zich daar een voorstelling van te maken.

[Math-E-Mad-X]

Zo magisch is dat voor die platlander niet, want die heeft tijdens zijn reizen vast kunnen stellen dat de som van de hoeken van een driehoek niet altijd 180 graden is.

Dat ligt eraan. Als hun wereld de topologie van een perfecte cilinder heeft zijn de hoeken van een driehoek nog steeds 180 graden. Een cilinder heeft daarom technisch gesproken geen kromming (ook al is dat niet helemaal conform onze dagelijkse definitie van 'kromming').

Feitelijk is ook voor hun de mogelijkheid van een derde dimensie nauwelijks te verifiëren want ook hun heelal is zo enorm groot dat de hoekverschillen onmeetbaar zullen blijken en een rondje om de bol of torus onhaalbaar zal zijn.

Huh? hoezo? Flatland is maar een verzinsel om wiskundige principes uit te leggen. We kunnen toch best uitgaan van een flatland dat klein genoeg is t.o.v. de flatlanders om kromming direct te kunnen meten?

[Michel Uphoff]

Natuurlijk zijn de platlanders een verzinsel om wat inzicht te krijgen in het lastig voorstelbare, en als hun heelal naar verhouding heel klein was, dan zou die kromming wel waarneembaar kunnen zijn. Ik vraag mij wel af of daar als er nog geen Einstein & Co zouden zijn, er niet een heel leuke en in hun begripswereld kloppende vlakke meetkunde uit zou rollen.

Maar met het drastisch verkleinen van hun heelal plaatsen we hun wereld en beleving nóg verder weg van die van ons, en daar bewijzen we de kracht van de analogie geen dienst mee naar mijn mening. Feit is dat ons heelal gigantisch is, en dan kunnen we dat beter zo houden voor wat meer begrip van onze eigen obstakels.

[JeffW]

Volgens mij toont dit vergelijk met platland aan hoe moeilijk het te begrijpen is dat dimensies in zichzelf gekromd zijn. Net als wij in een 3D wereld, zullen platlanders voor hun 2D wereld ook de kromming kunnen beredeneren. Omdat zij geen derde dimensie kennen, zien zij zich voor hetzelfde onvoorstelbare gesteld als wij. De platlandse Susskind zal zeggen: throw the third dimension away. Wij weten echter dat de derde dimensie wel bestaat. Hoe zou een platlander een drie dimensionaal object ervaren? Hij kan niet naar boven of beneden kijken, dus hij ervaart alleen 'iets' als het door zijn 2D wereld beweegt.

Een voorbeeld dat ik ben tegengekomen: een holle bol beweegt door platland. Een platlander ziet plotseling een stip verschijnen. De stip wordt een steeds grotere cirkel, vervolgens weer een steeds kleinere cirkel en dan weer een stip die plotseling verdwijnt. Een volstrekt onverklaarbare gebeurtenis voor de platlander, waarvoor zij allerlei verklarende theorieën zullen ontwikkelen. Maar omdat ze zich geen voorstelling van 3D objecten kunnen maken, zijn het waarschijnlijk theorieën die het waargenomen fenomeen beschrijven en niet de werkelijkheid.

Wat ik me afvraag is hoe wij weten dat wij niet hetzelfde doen als de platlanders in dit voorbeeld? Wij hebben theorieën ontwikkeld die uitgaan van platte donuts en vlakken waarbij je aan de ene kant verdwijnt en aan de andere kant tevoorschijn komt. Ongeacht wat voor wie een moeilijker voor te stellen werkelijkheid is (de in zichzelf gekromde ruimte of onze normale platte 3D ervaring), als beide reële fenomenen zijn, is er dan iets dat het ene vanuit het andere veroorzaakt (zoals kromming in de tijd of zwaartekracht) of bevinden beide zich in een werkelijkheid die wij niet volledig kunnen waarnemen en bevatten (net zo als een platlander geen bolvorm kan waarnemen en bevatten)?

Anders gesteld: als een platlander vanuit een oneliner analogie zou kunnen beredeneren dat de cirkels die hij ziet, wijzen op een drie dimensionale werkelijkheid, waarom zouden wij dan tot de overtuiging moeten komen dat het daarmee ophoud en er geen vierde dimensie bestaat? Het feit dat we het niet kunnen waarnemen lijkt mij geen afdoende bewijs voor het niet bestaan ervan.

[317070]

Het feit dat we het niet kunnen waarnemen lijkt mij geen afdoende bewijs voor het niet bestaan ervan.

Euhm, wetenschap doet geen absolute uitspraken over wat wel bestaat en wat niet. Er geldt bijvoorbeeld de theorie dat roze eenhoorns niet bestaan, net zomin als de vierde dimensie. Beide kunnen we namelijk niet waarnemen...

Susskind gelooft m.a.w. niet in eenhoorns. Zie ook Ockhams scheermes.

Er is ook een elementair verschil tussen de bol voor de platlanders en de vierde dimensie bij ons. Als die platlanders inderdaad die punt-cirkel-punt zien, dan is de derde dimensie voor hen wel nuttig om het te begrijpen, het vereenvoudigt alles.

Voor ons vereenvoudigt een extra dimensie niets aan het concept 'kromming'. Waarom dit zo is heeft veel te maken met het Theorema Egregium. Kromming van een ruimte is iets intrinsieks aan die ruimte, daar heb je geen extra dimensies voor nodig.

Zo magisch is dat voor die platlander niet, want die heeft tijdens zijn reizen vast kunnen stellen dat de som van de hoeken van een driehoek niet altijd 180 graden is.

Dat hoeft helemaal niet zo te zijn.

Het is niet omdat een ruimte eindig en onbegrensd is, dat ze krom moet zijn. Neem maar als voorbeeld het magisch schaakbord: die ruimte is ook niet gekromd.

Vervolgens heeft hij twee mogelijkheden: Hij kan een kaart tekenen en met heel veel woorden aangegeven dat linker- en rechterkant van die kaart arbitrair gekozen zijn, en dat de punten aan de linkerkant in werkelijkheid aansluiten op de punten aan de rechterkant, en ook: dat de hoeken en/of de relatieve afstanden op de kaart niet overeenkomen met de daadwerkelijke hoeken en afstanden. Hij kan ook zeggen: het oppervlak waarop wij wonen is het oppervlak van een soort driedimensionale cirkel.

Dat is ervan uitgaande dat zijn universum ook echt een eenvoudige geometrie gekozen heeft.

In werkelijkheid zijn er een heleboel geometrieën mogelijk. In 2D bestaan er 3 geometriën, waarvan de bol en torus er 2 zijn. Maar wat als je bij het schaakbord bijvoorbeeld g5->h5->e8->e7 en b2->b1->a7->b7 zou nemen als richting waarin doorgelopen wordt over de rand? Dan leeft je platlander op een eindig, onbegrensd, Klein-bottle-oppervlak zonder kromming. Het grappige is dat ook die geen eenvoudige, logische voorstelling heeft in 3 dimensies, enkel in 4 dimensies. Je voelt het nut van extra dimensies al minderen. Ondanks dat het in se niet moeilijker is, moet je je dimensies al gaan verdubbelen om verder te komen met je visualisatie.



Als je dezelfde discussie zou optillen naar drie dimensies, dan wordt de discussie nog moeilijker. In 3 dimensies kan je ruimte op maar liefst 10 verschillende manieren eindig, ongekromd(=vlak) en onbegrensd zijn. De ene nog moeilijker dan de andere. Zo kun je bijvoorbeeld na lang reizen in een richting terugkomen op het punt waar je vandaan komt, vanuit tegengestelde richting, zij het dan 36° geroteerd om je as. Om dit universum eenvoudiger voor te stellen in hogere dimensies, moet je verwachten dat het heelal in totaal 6 dimensies heeft. Laten we wel wezen, voor mij maken die 3 extra dimensies het enkel maar veel en veel moeilijker. Ze helpen helemaal niet bij het visualiseren.

En opnieuw, die voorbeelden zijn niet te ver gezocht. Ook het heelal met 36° rotatie is bij mijn weten nog steeds een van de belangrijke kanshebbers voor de correcte beschrijving van de vorm van ons universum, zoniet de belangrijkste kanshebber.

[Michel Uphoff]

De stip wordt een steeds grotere cirkel, vervolgens weer een steeds kleinere cirkel en dan weer een stip die plotseling verdwijnt.

Ook zijn begrip van een cirkel of welke 2d vorm dan ook zal beperkt zijn vergeleken met ons, een bovenaanzicht zal hij zich niet echt kunnen voorstellen.

[mathfreak]

Euhm, wetenschap doet geen absolute uitspraken over wat wel bestaat en wat niet. Er geldt bijvoorbeeld de theorie dat roze eenhoorns niet bestaan, net zomin als de vierde dimensie. Beide kunnen we namelijk niet waarnemen...

Het feit dat de vierde dimensie niet waarneembaar is wil nog niet zeggen dat de vierde dimensie niet bestaat. Wiskundige entiteiten zoals de vierde dimensie bestaan weliswaar niet als visualiseerbare objecten, maar als formele abstracte objecten bestaan ze wel degelijk, net zoals de in de kwantummechanica gebruikte Hilbertruimten.

[317070]

Het feit dat de vierde dimensie niet waarneembaar is wil nog niet zeggen dat de vierde dimensie niet bestaat. Wiskundige entiteiten zoals de vierde dimensie bestaan weliswaar niet als visualiseerbare objecten, maar als formele abstracte objecten bestaan ze wel degelijk.

Roze eenhoorns bestaan ook als formele abstracte objecten, dit doet dus weinig terzake, lijkt mij. Beiden 'bestaan' op dezelfde manier.

[Trinmar]

Ik heb een vraag die mogelijk aansluit bij dit topic, daarom stel ik die maar even hier.

Stel dat er een object bestaat dat alle eigenschappen van ons driedimensionale fysieke bestaan deelt maar een vierde dimensie bezit. Kunnen we met een dergelijk object fysiek contact hebben? Per analogie lijkt mij dit niet op te gaan voor een driedimensionaal object ten overstaan van een tweedimensionaal object. Een tweedimensionaal object heeft immers geen hoogte, waardoor een driedimensionaal object er alleen "door heen gaat" op het moment dat dit object "in contact wil komen" met een tweedimensionaal object. Gaat het wel op voor een vierdimensionaal object, omdat het de driedimensionaliteit insluit?

Heeft een dergelijk vierdimensionaal object ook de eigenschap dat het - zeg maar mét zijn driedimensionaliteit - de grenzen van de driemensionaliteit aan zijn laars kan lappen, zodat het object met dichte deuren en ramen plotseling in mijn kamer zichtbaar én aan te raken kan zijn?

[JeffW]

Volgens mij is de vraag of iets dat niet is waar genomen wel of niet bestaat (vierde dimensie, roze eenhoorn) iets dat vooral filosofisch benaderd moet worden: wordt iets pas tot ontstaan gewekt als het wordt waargenomen? Waar het hier volgens mij om gaat is of iets kan bestaan terwijl het (nog) niet is waargenomen. In het geval van een vierde dimensie lijkt dat me evident: het kan. In de snaartheorie wordt zelfs uitgegaan van 11 dimensies. Deze worden alleen erg klein verondersteld. Maar ook grote extra dimensies zijn onderwerp van wetenschappelijke theorieën. Lisa Randall houdt zich hier bijvoorbeeld mee bezig.

Gerelateerd aan dit topic: vindt de uitdeining van ons drie dimensionale heelal plaats in een vierde dimensie of niet? Voor zover ik de genoemde argumenten tegen een vierde dimensie in dit verband begrijp, lees ik hier niet in dat dit is uitgesloten. Hooguit dat het niet nodig is omdat er andere verklaringen zijn. Ook de analogieën met twee dimensionale werelden en platlanders lijken me niet erg sterk. Waarom zou een vierde dimensie voor ons anders te begrijpen zijn dan een derde dimensie voor platlanders? Ik heb eerder al het voorbeeld genoemd van een bol die door platland beweegt. Net zo min als wij hoger dimensies kunnen visualiseren, kunnen platlanders dat ook niet. Ook de wetmatigheden van drie dimensionale objecten kennen zij niet. De kans is dan ook groot dat een slimme platlander roept: we hebben geen extra dimensies nodig om dit te verklaren, want alles wordt verklaard met een set golfvergelijkingen, ook de uitdempende toename en afname van afstanden (waarvan wij vanuit ons drie dimensionaal beeld weten dat het door elastische vervorming loodrecht op het twee dimensionale oppervlak komt).

Wat deze platlander doet is een (wiskundige) beschrijving geven van een waargenomen fenomeen. Dit kan erg nuttig zijn voor praktische toepassingen, maar hiermee is het fenomeen niet verklaard en is niets gezegd over de oorzaak. Waar wij volgens mij naar op zoek (moeten) zijn, zijn verklaringen en oorzaken. In de argumenten tegen een (noodzaak voor een) vierde dimensie lees beschrijvingen van een waarneming, er spreekt niets uit dat verklarend is voor een oorzaak. Hopelijk kan iemand vanuit deze invalshoek een bijdrage leveren.

[HenkB]

Ik heb ooit een een natuurkundekoek gelezen waar de relativiteits theorie  en de lorentz contractie en de tijddillatatie werd behandeld. Hierin werd gesteld dat iedere ruimte dimensie de ondeliggende dimensies loodrecht onder een hoek van 90 graden snijd. 
 
Zo snijd de 2e dimensie de 1e loodrecht onder een hoek van 90 graden. ( kijk naar de oppervlakte van je tafel)
Zo snijd de 3e dimensie de vorige 2 loodrecht onder een hoek van 90 graden. ( kijk naar een kubus, of naar je complete tafelblad )
Zo snijd de 4e ruimtelijke dimensie de vorige 3 loodrecht onder een hoek van 90 graden, alleen is die richting voor ons niet te bevatten.
En dit gaat natuurlijk door naar de 5e en 6e enz..
 
Zo kun je ook zien dat iedere dimensie open is naar de hogere dimensie. een 4 dimensionaal wezen lacht om onze 3 dimensionale gevangenissen, want die zijn  open naar de 4e dimensie. En zo wordt hij weer uitgelachten door een 5 dimensionaal wezen enz...
 
Dit levert ook leuke trucjes op wij kunnen een rechterbladzijde optillen in de 3e dimensie en als linker bladzijde weer neerleggen. zo kan een 4 dimensionaal wezen een linkerschoen optillen in de 4e dimensie omdraaien en als rechterschoen weer neerzetten.
 
 
Gr. Henk