Kelvindruppelaar

[Bartjes]

Even zien:

\( U_1(t) = \frac{U_1(0)}{2} . \left ( e^{ \alpha . t } \, + \, e^{ \beta . t } \right ) \, + \, \frac{U_2'(0)}{2} . \left ( e^{ \beta . t } \, - \, e^{ \alpha . t } \right ) \)

,

\( U_2'(t) = \frac{U_1(0)}{2} . \left ( e^{ \beta . t} \, - \, e^{ \alpha . t } \right ) \, + \, \frac{U_2'(0)}{2} . \left ( e^{ \alpha . t } \, + \, e^{ \beta . t } \right ) \)

,

met:

\( \alpha = \frac{-\mbox{d} - \mbox{R}^{-1}}{\mbox{C}} = \frac{- \mbox{R} . \mbox{d} - 1}{\mbox{R} . \mbox{C}} \)

,

\( \beta = \frac{\mbox{d} - \mbox{R}^{-1}}{\mbox{C}} = \frac{ \mbox{R} . \mbox{d} - 1}{\mbox{R} . \mbox{C}} \)

.

Bovenstaande geldt wanneer we géén rekening houden met de valtijd van de druppeltjes. In het volledig symmetrische geval ( U₁(t) = U₂'(t) = U(t) ) komt er dan:

\( U(t) = \frac{U(0)}{2} . \left ( e^{ \alpha . t } \, + \, e^{ \beta . t } \right ) \, + \, \frac{U(0)}{2} . \left ( e^{ \beta . t } \, - \, e^{ \alpha . t } \right ) \)

.

Dus:

\( U(t) = U(0) . e^{ \beta . t } \)

,

met:

\( \beta = \frac{\mbox{d} - \mbox{R}^{-1}}{\mbox{C}} = \frac{ \mbox{R} . \mbox{d} - 1}{\mbox{R} . \mbox{C}} \)

.

[Bartjes]

En wanneer we wel rekening houden met de valtijd van de druppeltjes:

In het volledig symmetrische geval waarin U₁(t) = U₂'(t) vanwege U₁(0) = U₂'(0), hebben we dan inderdaad maar met één vergelijking te doen. Namelijk:

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} U(t)}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . U(t-S) \, - \, \mbox{R}^{-1} . U(t) \)

.

Een oplossing U(t) = U(0).e^γt voldoet daaraan alleen wanneer:

\( \mbox{C} . \frac{\mbox{d} \left (U(0) . e^{\gamma t} \right )}{\mbox{d} t} = \mbox{d} \, . \left (U(0) . e^{\gamma (t - S)} \right ) \, - \, \mbox{R}^{-1} . \left (U(0) . e^{\gamma t} \right ) \)

\( \gamma . \mbox{C} . U(0) . e^{\gamma t} = \mbox{d} \, . U(0) . e^{\gamma t} . e^{- \gamma S} \, - \, \mbox{R}^{-1} . U(0) . e^{\gamma t} \)

\( \gamma . \mbox{C} = \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, \mbox{R}^{-1} \)

\( \gamma . \mbox{R} \mbox{C} = \mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, 1\)

\( \gamma = \frac{\mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, 1}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

[Bartjes]

Ja, zoiets moet het zijn.

Kelvin berekent de potentiaal links en rechts, als functie van de tijd. Met wat gepuzzel komt het eenvoudigste geval neer op het volgende. Als de opstelling geheel symmetrisch is en perfect geisoleerd, dan is het potentiaalverschil tussen links en rechts ΔV = V_o e ^{t / T}, met T = C/D = 2 C_M/D, en D een constante die volgens dit bericht gelijk is aan 2πε r_a f, waarin f de druppelfrequentie is.

(C_M = ½ C, want C_M uit dit bericht is de vervangingswaarde van twee Leidse flessen met capaciteit C in serie, in de opstelling van Kelvin.)

Bijvoorbeeld T = 8 s in een situatie met f = 5 Hz, r_a = 1 mm en C_M = 1 pF, wat qua grootteorde aan de hoge kant is, gezien de video van Walter Lewin waar de tussentijd van de vonken 20 s is.

In het volledig symmetrische geval is C in mijn formules de capaciteit ten opzichte van aarde van de twee galvanisch gescheiden delen van de druppelaar die worden opgeladen. Kelvin heeft daar Leidse flessen aan gehangen zodat de capaciteiten van die delen van de druppelaar kunnen worden verwaarloosd ten opzichte van die van de Leidse flessen. Omdat wij geen Leidse flessen (of moderne condensatoren) toepassen, moeten wij in plaats van de capaciteit van de Leidse flessen de capaciteit van de twee op te laden delen van de druppelaar ten opzichte van aarde nemen.

Is het nu zo dat je er vanuit gaat dat de capaciteit van de vonkbrug zo groot is, dat we de capaciteiten van de overige delen van de druppelaar t.o.v. aarde mogen verwaarlozen?

[jkien]

Is het nu zo dat je er vanuit gaat dat de capaciteit van de vonkbrug zo groot is, dat we de capaciteiten van de overige delen van de druppelaar t.o.v. aarde mogen verwaarlozen?

Bij Lewin's opstelling veronderstelde ik inderdaad dat de twee bolletjes van de vonkbrug de grootste capaciteit van het systeem waren, vanwege de nabijheid van de tegenpool. Daardoor kwam ik in dit bericht op C_M = 1 pF. Maar ik geef toe dat dat geen juiste gedachte was. De capaciteit van een voorwerp met diameter D naar aarde is van de grootteorde van 2πεD. Bij Lewin zijn de blikken en emmers ruim 10x groter, qua diameter, dan de bolletjes van de vonkbrug. Dan zou C_M = 10 pF een betere schatting zijn.

Pech dat dat de berekende tijdconstante groter maakt.

Lewin 678 keer bekeken

[Bartjes]

Pech dat dat de berekende tijdconstante groter maakt.

“A problem worthy of attack, proves its worth by fighting back!” – Paul Erdos

[Bartjes]

\( \gamma = \frac{\mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, 1}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

OK - daar gaan we:

\( \gamma = \frac{\mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, 1}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

\( \mbox{R} \mbox{C} . \gamma = \mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \, - \, 1 \)

\( \mbox{R} \mbox{C} . \gamma \, + \, 1 = \mbox{R} \mbox{d} \, . e^{- \gamma S} \)

\( \frac{ \mbox{C}}{ \mbox{d} } . \gamma \, + \, \frac{1}{ \mbox{R} \mbox{d} } = e^{- \gamma S} \,\,\,\, (^*) \)

.

Laat nu:

\( z = \gamma S \, + \, \frac{S }{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

Zodat:

\( \gamma S = z \, - \, \frac{S}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

\( \gamma = \frac{z}{S} \, - \, \frac{1}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

En:

\( - \gamma S = - z \, + \, \frac{S}{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

Invullen in (*) geeft:

\( \frac{ \mbox{C}}{ \mbox{d} } . \left ( \frac{z}{S} \, - \, \frac{1}{ \mbox{RC} } \right ) \, + \, \frac{1}{ \mbox{R} \mbox{d} } = e^{ - z } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \)

\( \left ( \frac{ \mbox{C}}{ S \mbox{d} } . z \, - \, \frac{1}{ \mbox{R} \mbox{d} } \right ) \, + \, \frac{1}{ \mbox{R} \mbox{d} } = e^{ - z } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \)

\( \frac{ \mbox{C}}{ S \mbox{d} } . z = e^{ - z } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \)

\( z . e^z = \frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \)

.

Aangezien het rechter lid positief is kunnen we de eenwaardige "principal branch" W₀ van de Lambert W-functie toepassen:

\( z = \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \right ) \)

.

Oftewel:

\( \gamma S \, + \, \frac{S }{ \mbox{R} \mbox{C} } = \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \right ) \)

\( \gamma S = \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \right ) \, - \, \frac{S }{ \mbox{RC} } \)

\( \gamma = \frac{1}{S} . \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } . e^{ \frac{S}{ \text{RC} } \right ) \, - \, \frac{1 }{ \mbox{R} \mbox{C} } \)

.

[Bartjes]

@ jkien.

Gaat het met bovengevonden formule nog steeds fout?

Wil je de berekening, meting of bepaling van de S, d, R en C die je gebruikt, hier nog eens stap voor stap laten zien? Dan kunnen we dat nog eens napluizen.

[jkien]

S = √(2h/g) d.w.z. de valtijd van een vrije val. Luchtwrijving verwaarloosd, en valtijdverlenging door afstoting bij hoge spanningen verwaarloosd.

d = D = 2πε r f, r = straal van een druppel, f = druppelfrequentie. (dit bericht)

R = weerstand, waardoor lading van de capaciteit C weglekt naar aarde. In het model is R niet nader bepaald. Ideaal is R = oneindig.

C = som van de capaciteiten van de blikjes A en C naar aarde, ongeveer 10 pF. (dit bericht)

[Bartjes]

Mooi - laten we om te beginnen R eens oneindig groot stellen (perfect geïsoleerde opstelling). De uitkomst mag er zo niet ver naast zitten. Mijn formule wordt dan:

\( \gamma = \frac{1}{S} . \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } \right ) \)

.

Hieronder kan je W₀ berekenen:

http://www.had2know....calculator.html

[Bartjes]

Mocht er weer een onmogelijke waarde uitkomen, dan kunnen we het eens met onderstaande benadering van d proberen.

In de holle busjes gaan waterstralen die er opgebroken in druppeltjes weer uitkomen. Op die manier wordt de lading in de afzonderlijke druppeltjes gevangen. Maar het is niet zo'n gek idee aan te nemen dat die gevangen lading juist de lading is die een vergelijkbaar stukje coaxkabel door zijn capaciteit zou hebben. Zie dit plaatje:

bepaling-d 673 keer bekeken

En deze link voor de capaciteit:

http://faculty.polytechnic.org/physics/3%20A.P.%20PHYSICS%202009-2010/04._capacitors/2._pdf's/capac_of_coax_cable.pdf

We hebben dus:

\( \frac{-Q}{U} = \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \mbox{L} \)

\( Q = - \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \mbox{L} . U \)

\( \mbox{N} . q = - \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \mbox{L} . U \)

\( q = - \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . U \)

\( \mbox{f} . q = - \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . \mbox{f} . U \)

\( I = - \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . \mbox{f} . U \)

.

Dus:

\( \mbox{d} = \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . \mbox{f} \)

.

[Bartjes]

\( \mbox{d} = \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . \mbox{f} \)

.

Deze formule kan nog vereenvoudigd worden. Laat T de tijd zijn die een van de waterstraal loskomend druppeltje erover doet om ter hoogte van de onderrand van de ring te geraken. Dan heeft dat druppeltje dus een afstand L afgelegd. Voor de gemiddelde snelheid v_rvan het druppeltje in de ring geldt dus:

\( v_r = \frac{\mbox{L}}{\mbox{T}} \)

\( v_r = \mbox{L} . \mbox{T}^{-1} \)

.

Gedurende de tijd T komen er in de ring precies N druppeltjes van de waterstraal los. Dus:

\( \mbox{N} = \mbox{f} . \mbox{T} \)

\( \mbox{T}^{-1} . \mbox{N} = \mbox{f} \)

\( \mbox{T}^{-1} = \mbox{N}^{-1} . \mbox{f} \)

.

Zodat:

\( v_r = \mbox{L} . \mbox{N}^{-1} . \mbox{f} \)

\( v_r = \frac{\mbox{L}}{\mbox{N}} . \mbox{f} \)

.

Invullen in onze formule voor d geeft:

\( \mbox{d} = \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . v_r \)

.

[Bartjes]

S = √(2h/g) d.w.z. de valtijd van een vrije val. Luchtwrijving verwaarloosd, en valtijdverlenging door afstoting bij hoge spanningen verwaarloosd.

Het water in de waterstraal komt al met een behoorlijke snelheid de ring binnen. De bovenstaande formule voor S is dus niet van toepassing.

[Bartjes]

Mooi - laten we om te beginnen R eens oneindig groot stellen (perfect geïsoleerde opstelling). De uitkomst mag er zo niet ver naast zitten. Mijn formule wordt dan:

\( \gamma = \frac{1}{S} . \mbox{W_0} \left (\frac{ S \mbox{d} }{ \mbox{C} } \right ) \)

.

Hieronder kan je W₀ berekenen:

http://www.had2know....calculator.html

\( \mbox{d} = \frac{2 \pi \varepsilon_0 }{ \ln ( \frac{\text{b}}{\text{a}} ) } . v_r \)

.

Wat we dan nodig hebben zijn a, b, v_r, S en C. Deze waarden zijn aan de hand van de video te schatten. Een eerste grove berekening geeft mij een resultaat voor γ dat best zou kunnen kloppen.

Jammer dat we niet zelf aan het apparaat kunnen meten...

[Bartjes]

Ik was sowieso wel van plan om de opstelling (of het vereenvoudigde model) zelf te bouwen.

Dat zou heel interessant zijn, te meer daar we nu vergelijkingen hebben opgesteld die je zou kunnen toetsen.

Ik vind het overigens toch een beetje maf dat er nog zo´n grote onbekendheid bestaat over de precieze werking van een apparaat dat al zo oud is

http://www.fmf.uni-l.../dropcharge.pdf

http://www.rle.mit.e...6-202-1973..pdf

http://www.olimpas.l...o_2012_t2_a.pdf

http://www.olimpas.l...pho_2012_t2.pdf

http://ipho.phy.ntnu...lutions_ENG.pdf

http://archive.iypt....s%20dropper.pdf

http://www.forscherl...ingenerator.pdf

Ik heb nog eens gezocht. Maar of deze links met de in dit topic gegeven afleiding overeenstemmen heb ik nog niet nagekeken.

[Bartjes]

Zou een vallende regendruppel zijn lading behouden, net als een druppel in de Kelvindruppelaar? Een druppel ontstaat op grote hoogte in de atmosfeer waar de potentiaal t.o.v. aarde misschien een miljoen volt is. Als de lading behouden blijft zou zijn potentiaal t.o.v. aarde aan het einde van de val nog steeds een miljoen volt zijn. Zou het meetbaar zijn met een elektroscoop die buiten in de regen staat?

Zie hier voor een meetopstelling:

http://www.nature.co...ican0897-84.pdf