tensor?!huh?

[Anonymous]

hoi wat is eigenlijk een tensor ? wat kan je ermee doen en wat is het veschil tussen tensor in wiksunde en tensor in natuurkunde?

dank je!

[Elmo]

Een tensor is een algemene naam voor een meer-dimensionaal object. Bijvoorbeeld een vector, of een matrix, wordt ook wel als een tensor beschouwd. Mathematisch gezien is een tensor van rang n "gewoon" een n-dimensionaal object. Zie ook hier.

[Anonymous]

hoi wat is eigenlijk een tensor ? wat kan je ermee doen en wat is het veschil tussen tensor in wiksunde en tensor in natuurkunde?

dank je!

Ikzelf vond het bijzonder handig om het als een object te zien wat op andere tensoren "inwerkt".

Eerst definieer je een vectorruimte, met de gewone eigenschappen en objecten V. Dan definieer je een duale ruimte als een ruimte met objecten w, waarbij geldt dat als je V op w laat werken (of andersom, dus dat de ene ruimte de duale van de andere is) er een reeel getal uitkomt. Dit idee kun je ook voor hoger dimensionale objecten uitwerken, en dat is wat een tensor dan eigenlijk wordt: een multilineair object.

[evilbu]

Hallo, ik zou graag wat debatteren ook over tensoren. Dit is een ouwe topic blijkbaar, waar niet recent in gepost is. De moderator heeft mij echter doorverwezen omdat er anders veel te veel tensor topics komen.

In sommige fysica boeken staat een tensor omschreven als een grootheid met een aantal indices. Maar in een cursus theoretische mechanica van mijn unief staat een tensor omschreven als volgt : een multilineaire afbeelding van

W*W...*W*V*V....V naar de reële getallen, waarbij V een vectorruimte is over R, en W de vectorruimte van covectoren (covectoren zijn lineaire afbeeldingen van V naar R)

het aantal keer W zou dan de contravariante orde zijn, en het aantal keer V de covariante orde

Nu begrijp ik goed dat contravariant en covariant iets te maken heeft met de basisveranderingen? Ik neem aan dat de basisveranderingen steeds gebeuren met rechtshandige orthonormale basissen. Maar wat is dan het verschil tussen contravariant en covariant als je het gewoon natuurkundig ziet, en kan iemand de link leggen met het verschil bij de multilineaire afbeeldingen.

Elke opmerking zal ik waarderen...

[Mortimer]

Contravariant en covariant is inderdaad gerelateerd aan de gehanteerde set basisvectoren (overigens niet noodzakelijk orthonormaal). Covariante vectoren (met de index beneden geschreven; ezelsbruggetje co=below) zijn gerelateerd aan een basis die bestaat uit de raakvectoren aan de intersecties van telkens twee 2D vlakken waarbij 1 van de coordinaten constant is. Bij contravariante vectoren zijn de basisvectoren de normaal op diezelfde intersecties.

In een vlak coordinaten systeem (b.v. R³) bestaat het onderscheid niet want dan overlappen de beide bases elkaar.

In andere context zijn er meer betekenissen van de begrippen contra- en covariant. Zie http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant voor meer uitleg.

[Anonymous]

Hallo, ik zou graag wat debatteren ook over tensoren.  Dit is een ouwe topic blijkbaar, waar niet recent in gepost is.  De moderator heeft mij echter doorverwezen omdat er anders veel te veel tensor topics komen.

In sommige fysica boeken staat een tensor omschreven als een grootheid met een aantal indices. Maar in een cursus theoretische mechanica van mijn unief staat een tensor omschreven als volgt : een multilineaire afbeelding van  

W*W...*W*V*V....V naar de reële getallen, waarbij V een vectorruimte is over R, en W de vectorruimte van covectoren (covectoren zijn lineaire afbeeldingen van V naar R)  

het aantal keer W zou dan de contravariante orde zijn, en het aantal keer V de covariante orde  

Nu begrijp ik goed dat contravariant en covariant iets te maken heeft met de basisveranderingen?  Ik neem aan dat de basisveranderingen steeds gebeuren met rechtshandige orthonormale basissen.  Maar wat is dan het verschil tussen contravariant en covariant als je het gewoon natuurkundig ziet, en kan iemand de link leggen met het verschil bij de multilineaire afbeeldingen.

Elke opmerking zal ik waarderen...

Bij een basistransformatie zullen de componenten van een contravariante vector tegengesteld transformeren. Dat is wat je bij een "normale vector"verwacht. Bij een covariante vector transformeren de componenten echter mee. De meest eenvoudige covariante vector is de gradient.

[Mortimer]

Getriggerd door het antwoord van "Gast" zie ik dat ik in mijn eigen antwoord de definities per ongeluk precies heb verwisseld. Mijn excuses.

[peterdevis]

Maar wat is dan het verschil tussen contravariant en covariant als je het gewoon natuurkundig ziet, en kan iemand de link leggen met het verschil bij de multilineaire afbeeldingen.

Op het physicsforum hebben we hierover eens een erg intressante discussie over gehad tussen natuurkundigen en wiskundigen.

In het kort kwam het op het volgende neer:

Natuurkundigen:

Een tensor is een object dat onveranderlijk is tov assentransformaties.

Dit object kan beschreven worden als een combinatie van indices en basissen. Deze basissen kunnen covariant of contravariant of een mengeling van beide zijn.

Wiskundigen:

definieren een tensor als een multilineaire afbeelding:

een multilineaire afbeelding van  

W*W...*W*V*V....V naar de reële getallen, waarbij V een vectorruimte is over R, en W de vectorruimte van covectoren (covectoren zijn lineaire afbeeldingen van V naar R)  

het aantal keer W zou dan de contravariante orde zijn, en het aantal keer V de covariante orde

Het grote verschil is dat bij natuurkundigen A_ab hetzelfde object is als A^abdaar waar wiskundigen stellen dat het twee verschillende objecten zijn daar ze toot andere vectorruimten behoren.

[Anonymous]

Getriggerd door het antwoord van "Gast" zie ik dat ik in mijn eigen antwoord de definities per ongeluk precies heb verwisseld. Mijn excuses.

Hehe, het wordt je vergeven

Maar ik heb zelf ook nog wel wat moeite met het idee van een tensor. Misschien wat een raar vraagje, maar wat ik me afvraag: Bij een transformatie van een vector veranderen de componenten van de vector,en de lengte is invariant.

Tensorcomponenten veranderen natuurlijk ook bij een dergelijke transformatie, maar wat blijft hier nu invariant? Als ik bv de veldvergelijkingen van Einstein heb, dan blijkt dat de ruimte-tijd kromming afhangt van de waarnemer. ( de energie-momentum tensor is immers ook waarnemersafhankelijk; ze bevat snelheidstermen ! ) Hoe moet ik dit interpreteren? Wat blijft hier invariant onder een dergelijke coordinatentransformatie?

Ik hoop dat het een beetje duidelijk is

[Anonymous]

Wacht es, ik heb het al. De contractie tussen de 2 tensoren. De lengte (gekwadrateerd) van een vector is de contractie tussen de contra en covariante vorm, en die blijft invariant. Als ik dus een volledige contravariante tensor heb, dan kun je de invariante lengte van een vector identificeren als de contractie met de covariante tensor en vica versa.

Maar dan zit ik nog steeds met die waarnemersafhankelijkheid van de ruimte-tijd kromming. Klopt dit? :S

[peterdevis]

Tensorcomponenten veranderen natuurlijk ook bij een dergelijke transformatie, maar wat blijft hier nu invariant?

Zoals je zelf stelt zij het de tensorcomponeneten die bij een transformatie veranderen. Alhoewel we bij tensorrekenen enkel deze componenten neerschrijven is het belangrijk om te beseffen dat de tensor zelf samengesteld is uit een combinatie van basisvectoren (de componenten zijn een weergave van deze combinatie). Ook de basisvectoren veranderen bij de transformatie. De tensor als object blijft echter invariant!

[Anonymous]

Tensorcomponenten veranderen natuurlijk ook bij een dergelijke transformatie, maar wat blijft hier nu invariant?

Zoals je zelf stelt zij het de tensorcomponeneten die bij een transformatie veranderen. Alhoewel we bij tensorrekenen enkel deze componenten neerschrijven is het belangrijk om te beseffen dat de tensor zelf samengesteld is uit een combinatie van basisvectoren (de componenten zijn een weergave van deze combinatie). Ook de basisvectoren veranderen bij de transformatie. De tensor als object blijft echter invariant!

Ja, kwartje valt.

Dat had ik ook moeten weten, want heb wel oa dat dictaat van Carroll doorgeploegd ( heb em nog bedankt en nog een mailtje terug gekregen )

Maar dan nog die laatste vraag: is ruimte-tijd kromming nou waarnemersafhankelijk?

[peterdevis]

Maar dan nog die laatste vraag: is ruimte-tijd kromming nou waarnemersafhankelijk?

Ook dit antwoord kun je vinden bij Caroll.

de kromming van de ruimtetijd wordt weergegeven door de Riemann tensor R^rho.gif_{sigma.gif mu.gif upsilon.gif} (of krommingstensor).

De componenten van deze tensor (en dat is wat we meten) zijn waarnemersafhankelijk.

Echter de Ricci scalar R afgeleid van de Riemann tensor geeft ook een maat van kromming aan (en bepaald voor een twee dimensionaal oppervlak de kromming volledig). aangezien dit een scalar is is deze maat van kromming invariant en dus hetzelfde voor elke waarnemer.

[Anonymous]

Maar dan nog die laatste vraag: is ruimte-tijd kromming nou waarnemersafhankelijk?

Ook dit antwoord kun je vinden bij Caroll.

de kromming van de ruimtetijd wordt weergegeven door de Riemann tensor R^rho.gif_{sigma.gif mu.gif upsilon.gif} (of krommingstensor).

De componenten van deze tensor (en dat is wat we meten) zijn waarnemersafhankelijk.

Echter de Ricci scalar R afgeleid van de Riemann tensor geeft ook een maat van kromming aan (en bepaald voor een twee dimensionaal oppervlak de kromming volledig). aangezien dit een scalar is is deze maat van kromming invariant en dus hetzelfde voor elke waarnemer.

Ja. Wiskundig is het triviaal, maar je ziet dat oa bij mij het idee van tensoren toch lastig is te vertalen, als het over natuurkundige zaken gaat.

Iig bedankt !