reeks priemgetallen convergeert naar e/4

[John57]

l.s.,

wat ik gevonden heb is een reeks met daarin alleen priemgetallen die volgens mij convergeert naar 1/4 e.

Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?

M.v.g.,

John57

Opmerking moderator

Voor de overzichtelijkheid is dit bericht afgesplitst naar een nieuw onderwerp

[Marko]

Het zou handig zijn als je de reeks geeft, en aangeeft op welke manier deze convergeert.

[317070]

Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?

Zo zijn er heel erg veel reeksen, neem bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_zeta_function#Specific_values

[tempelier]

l.s.,

wat ik gevonden heb is een reeks met daarin alleen priemgetallen die volgens mij convergeert naar 1/4 e.

Is er iemand die al ooit eerder zo'n reeks heeft gevonden?

M.v.g.,

John57

Opmerking moderator

Voor de overzichtelijkheid is dit bericht afgesplitst naar een nieuw onderwerp

Hoe zitten die priemen daarin verwerkt, ze botweg optellen convergeert niet.

De reciproken optellen convergeert ook niet.

Wat wel convergeert is de laatste te laten alterneren, bedoel je misschien die reeks?

[John57]

Het is een beetje lastig maar hier onder staat de reeks. Overgenomen uit een exelsheet.

Uiteraard hoort de inverse genomen te worden. +1-1/3+1/5-1/7-1/13 enz.. De reeks is asymetirsch.

Kunnen jullie hier iets mee?

Welke formule beschrijft deze reeks? Volgens mij is dit 1/4e.



1

-3

5

-7



-13

17



23

-29



-37





47

-53





67



73

-79



-89





103





-113

127





-139



-151

157





-173



-181





197







227



233

-239



-251

257



269













-311



-317





347

-349









379

-383





401





-421



-433





449





-463

467









-503

[Marko]

Welke formule de reeks beschrijft kun je waarschijnlijk beter zelf vertellen. Jij weet als enige waar de minnetjes en de plusjes vandaan komen.

Verder:

e/4 is gelijk aan 0.6796

De reeks die je hier geeft is, tot aan het priemgetal 503, gelijk aan 0.6897

Een verschil dus van 0.01, terwijl de verandering van je reeks kleiner dan 0.002 zal zijn. Kan me niet zo goed voorstellen hoe dat nog naar e/4 moet convergeren.

[317070]

Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?

Iemand die het antwoord weet?

[Bartjes]

Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?

Iemand die het antwoord weet?

Even voor de duidelijkheid: bedoel je deze reeks?

\( \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{s_i}{p_i} \)

met s_i het i-de teken (oftewel ±1) en p_i het i-de priemgetal.

[Marko]

Dat is zeker een interessante vraag. Ik vermoed van wel. Dit is in tegenspraak met mijn uitspraak in bericht #6 maar die had betrekking op een reeks die schijnbaar willekeurig afwisselende plussen en minnen had.

Waarom ik vermoed dat het in zijn algeemheid wel kan (houtje-touwtje uitleg):

Gezien de som van de reciproken niet convergeert kan ik dus willekeurig grote getallen construeren door een willekeurig gedeelte uit de reeks op te tellen. Ik kan dus net zo lang optellen totdat de som groter is dan het getal waar ik naar op zoek ben. De daaropvolgende reciproken trek ik net zo lang af totdat ik een waarde vind die kleiner is dan het gezochte getal. Daarna ga ik weer optellen, enzovoort.

Op deze manier convergeert het enorm langzaam, maar het convergeert wel.

Klopt deze redeneertrant een beetje? (met andere woorden, rammelt het maar is een en ander met wat wiskundig duct-tape op te lossen? Of rammelt het aan alle kanten?)

[Bartjes]

@ Marko

Dat had ik ook net bedacht. Het lijkt mij dat het klopt. Essentieel is dat de oorspronkelijke reeks (met positieve omgekeerden) naar plus oneindig moet divergeren. Dat geldt dan ook voor de reeks die je krijgt door een eindig aantal termen uit het begin van de reeks weg te laten. Met de termen die je overhoudt kan je dus door het afwisselend kiezen van plussen of minnen met de partiële som steeds net boven of net onder het te benaderen getal uitkomen. Omdat je er niet meer dan de absolute grootte van de laatst toegepaste term naast kan zitten convergeert de zo geconstrueerde reeks inderdaad naar het te benaderen getal.

[Drieske]

Klopt deze redeneertrant een beetje?

Die klopt volledig (en je redenering uitschrijven is je bewijs + constructie). Het is ook een manier die vaak wordt gebruikt om te zeggen dat je bij een oneindige som plaatsen niet zomaar van plaats moogt wisselen.

Dat werkt dus voor werkelijk elke (oneindige) reeks getallen die je maar kunt bedenken.

[tempelier]

Ergens klopt er iets niet of beter er is iets niet vermeld denk ik.

Immers de gevonden waarden zouden als het ware om een zekere band om het te vinden getal kunnen heen springen en de randen van de band steeds dichter naderen.

Dat is natuurlijk zeer onwaarschijnlijk maar er moet wel naar gekeken worden.

[Bartjes]

@ tempelier

Omdat je er niet meer dan de absolute grootte van de laatst toegepaste term naast kan zitten convergeert de zo geconstrueerde reeks inderdaad naar het te benaderen getal.

[tempelier]

@ tempelier

Dat geldt voor een alternerende reeks, maar daar wordt dacht ik niet van uit gegaan.

Ik begreep dat men uit ging van de som van de reciproken van de priemen reeks want er wordt vermeld dat de reeks niet convergeert.

[Bartjes]

Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?

Hier zijn we op voort aan het borduren.