reeks priemgetallen convergeert naar e/4

[317070]

Die klopt volledig (en je redenering uitschrijven is je bewijs + constructie). Het is ook een manier die vaak wordt gebruikt om te zeggen dat je bij een oneindige som plaatsen niet zomaar van plaats moogt wisselen.

Euhm, ik mis toch nog een stukje in het bewijs.

Het is zoals tempelier zegt, hoe weet je dat de priemgetallen niet 'rondspringen' rond een getal?

Neem bijvoorbeeld in plaats van reciproken van priemgetallen, de reeks met enkel getallen 1/2. Die divergeert ook, maar toch kan ik willekeurige getallen niet arbitrair benaderen door met het teken te spelen. Er ontbreekt dus iets in de redenering van Marko, want anders was ze ook op deze reeks van toepassing.

[loof]

Misschien een interessantere vraag: zou je ieder reëel getal willekeurig dicht kunnen benaderen, met een reeks van reciproke priemgetallen waarbij je het teken kan kiezen?

Iemand die het antwoord weet?

neem even de volgende gedachtegang:

het eerste decimaal wordt bepaald door de priemgetallen tussen 1-10. het tweede decimaal wordt bepaald door de priemgetallen tussen 11-100. het derde decimaal wordt bepaald door de priemgetallen tussen 101-1000. Het aantal priemgetallen neemt bij dit soort stappen alleen maar toe, dat is wiskundig bewezen. (priemgetaltelfunctie?)

Hoe verder het decimaal dus van de komma verwijderd is, des de meer mogelijkheden komen er beschikbaar om het gewenste resultaat te krijgen. Neem het 3e decimaal. Als uitkomst van de som zijn er maar 10 verschillende antwoorden. als input van de som zijn er een stuk of 150(?) priemgetallen. waarvan je dus zelf mag bepalen hoeveel je er gebruikt, en hoe je ze meeneemt (+of-). Het lijkt me toch dat elk gewenst antwoord dan wel gehaald kan worden. Zeker wanneer je meeneemt dat priemgetallen altijd vrij 'gelijkmatig' verdeeld zullen zijn.

de kunst zit hem in het vinden van een een formule voor '' i'' in de formule zoals die door Bartjes is omschreven. Zolang je vrij spel hebt in het kiezen van de priemgetalen, denk ik dat elk antwoord wel te vinden zal zijn.  

-------------------------------------------------

Eigenlijk is het nog duidelijker. Bij de uitkomst van de som voor een bepaalde decimaal is alleen het eerste getal van belang. van zowel de uitkomst, als van de input. Het aantal verschillende waarden als input groeit, het aantal verschillende waarden als antwoord blijft gelijk.

Voor het derde decimaal zijn dus de priemgetallen 101-1000 van belang. stel nu dat de eerste twee decimalen ertoe hebben geleid dat het 3e decimaal nog met 3 verlaagd moet worden. de vraag is dan. Is er een priemgetal waarmee je 3 krijgt? het antwoord is ja. En hoe weet je dat zo zeker?

Neem nu een zelfde reeks als in de openingspost. de waarden 0,21 staan al vast door de priemgetallen 1-100 in de reeks te hebben verwerkt. uiteindelijk heeft dit geleid tot 0,2173867, het antwoord waar we naar opzoek zijn is 0,2145. Dus gaan we het derde decimaal met 3 proberen te verlagen. Hiervoor moeten we dus een priemgetal vinden dat als reciproeek 0,003xxxxxxx heeft. dit is het geval voor alle priemgetallen tussen 250 en 333.

---------------------------

conclusie is dus dat crux hem zit in dat hoe verder het decimaal dat je wilt 'bijschaven' van de komma vandaan is, hoe meer mogelijkheden je hier toe hebt. voor het derde decimaal is deze mogelijkheid dus (aangetoond) aanwezig, voor het tweede decemiaal geldt dit denk ik ook nog wel. Voor het eerste decimaal is het eenvoudig te controleren door te bedenken dat je de antwoorden 0,5; 0,33333; 0,2; en 0,1428 tot je beschikking hebt.

[tempelier]

#17

De methode van Marko is er eentje waarin alle priemen precies eenmaal worden meegenomen.

(zo was het ook gevraagd dacht ik)

Jij stelt voor er een aantal te skippen als het uitkomt.

Dat geeft natuurlijk meer armslag maar je toont niet aan dat het voldoende is.

Ook zie je wat over het hoofd, na de derde decimaal komt uiteraard nog een vierde dat kan zijn invloed hebben op de gesommeerde derde decimaal.

Gevoelsmatig lijkt het me het wel juist wat je beweert, maar een echt bewijs is het niet.

[317070]

neem even de volgende gedachtegang:

Mja, maar dat is het probleem niet. Het is inderdaad erg aannemelijk dat de stelling klopt, het probleem is het te bewijzen. "vrij gelijkmatig verdeeld" is niet echt goed voor een bewijs

Ook mis je een paar problemen. In je methode houd je geen rekening met het feit dat:

1) als je het getal 100000000000000,3456 wil benaderen, dan ga je met je eerste decimaal alle priemgetallen tot 10^100 al nodig hebben. Hoe ga je die 0,3456 daar nog aan toevoegen?

2) je mag helemaal geen priemgetallen overslaan, je moet ze ofwel optellen of aftrekken.

Dit zijn een paar problemen waar je misschien eerst nog eens over moet nadenken.

[Bartjes]

Laten we voor het gemak uitgaan van een te benaderen getal g groter dan 1/2.

Dan kan je beginnen met zoveel omgekeerden van opeenvolgende priemgetallen op te tellen dat hun som net groter dan g is. Op dat punt is de absolute afwijking tussen de partiële som en g dan niet groter dan de laatste toegevoegde term T₀.

Dan voegen we nog meer daarop volgende omgekeerden van priemgetallen toe maar nu met een min-teken, en wel zoveel dat de totale partiële som net kleiner is dan g. Noem de absolute waarde van de zo laatst toegevoegde term T₁. Daarbij blijft de absolute afwijking niet groter dan T₀, en bij het toevoegen van de laatste term is de absolute afwijking zelfs niet groter dan T₁.

Dan voegen we nog weer meer daarop volgende omgekeerden van priemgetallen toe maar nu weer met een plus-teken, en wel zoveel dat de totale partiële som net groter is dan g. Noem de waarde van de zo laatst toegevoegde term T₂. Daarbij blijft de absolute afwijking niet groter dan T₁ en bij het toevoegen van de laatste term is de absolute afwijking zelfs niet groter dan T₂.

En zo gaat dat verder tot in het oneindige met afwisselende rijtjes positieve en negatieve omgekeerden van opeenvolgende priemgetallen waarbij de maximaal mogelijke absolute waarde van het verschil tussen de zo gevonden partiële sommen en g naar nul nadert.

(Dit is nog steeds geen waterdicht bewijs, maar het scheelt niet veel meer.)

[317070]

En zo gaat dat verder tot in het oneindige met afwisselende rijtjes positieve en negatieve omgekeerden van opeenvolgende priemgetallen waarbij de maximaal mogelijke absolute waarde van het verschil tussen de zo gevonden partiële sommen en g naar nul nadert.

Waarom naderen ze naar nul? Je hebt aangetoond dat je steeds dichter benadert, maar dat is helaas niet voldoende.

De clue is volgens mij dat de rij van reciproke priemgetallen convergeert naar 0. Iedere keer nadert je 'overshoot'(=absolute afwijking) die strikt kleiner is dan het laatste reciproke priemgetal dus ook naar nul.

[Bartjes]

De clue is volgens mij dat de rij van reciproke priemgetallen convergeert naar 0. Iedere keer nadert je 'overshoot'(=absolute afwijking) die strikt kleiner is dan het laatste reciproke priemgetal dus ook naar nul.

Maar dat spreekt toch voor zich?

Het enige waar je nog enige twijfel over zou kunnen hebben is of de vermelde grenzen voor de maximaal mogelijke afwijking wel helemaal kloppen.

[John57]

Ik heb er nog even aan moeten werken maar het is klaar.

In de bijlage heb ik een reeks met alleen priemgetallen er in. Bekijk ook eens de methode waarmee ik deze reeks heb gegenereerd. Als uitgangspunt heb ik de reeks van Leibnitz genomen voor pi/4.

Als je de uitkomst van de reeks comprimeert door de gaten op te vullen door aanschuiven en opnieuw invoert dan krijg je de reeks zoals ik die in het eerste bericht heb aangegeven maar dan met een ander convergentiesnelhied.

De andere reeks is een soort van inverse maar toch convergeert deze anders.

Verder werk ik nu aan een reeks met als uitgangspunt de Riemannreeks. Het wordt vast heel leuk om deze twee met elkaar te vergelijken.

Tot zover maar weer.

John57

[tempelier]

Waarom naderen ze naar nul? Je hebt aangetoond dat je steeds dichter benadert, maar dat is helaas niet voldoende.

De clue is volgens mij dat de rij van reciproke priemgetallen convergeert naar 0. Iedere keer nadert je 'overshoot'(=absolute afwijking) die strikt kleiner is dan het laatste reciproke priemgetal dus ook naar nul.

Ik denk ook dat het zo zit.

De begin reeks moet bepaald-divergent zijn, maar de termen moeten monotoom dalen naar nul.

Dat betekent dat het dus ook met de reeks van de stambreuken werkt lijkt me zo.

PS.

Formeel is er echter een triviale uitzondering:

dat is als na een x aantal stappen het getal gewoon bereikt is.

[Bartjes]

@ John57.

Een oneindige reeks is pas gedefinieerd als je hebt duidelijk gemaakt hoe alle termen gevonden kunnen worden, niet alleen het beginstuk.

Ik denk ook dat het zo zit.

De begin reeks moet bepaald-divergent zijn, maar de termen moeten monotoom dalen naar nul.

Dat betekent dat het dus ook met de reeks van de stambreuken werkt lijkt me zo.

Dat denk ik ook. Iedere naar plus-oneindig divergerende reeks van positieve termen waarvan de termen monotoon naar nul naderen, kan je door het negatief maken van zekere termen omzetten in een convergerende reeks. Het getal waarnaar zo'n reeks convergeert kan je ook nog eens vrij kiezen.

PS.

Formeel is er echter een triviale uitzondering:

dat is als na een x aantal stappen het getal gewoon bereikt is.

Het bewijs moet uitgaan van grenzen die aan het verschil tussen het te benaderen getal en de partiële som gesteld zijn. Voor de opeenvolgende rijtjes positieve en negatieve termen kan je eisen dat er steeds zoveel termen moeten worden toegevoegd dat je het te benaderen getal net bent gepasseerd. Of sommige partiële sommen exact gelijk zijn aan het te benaderen getal is niet relevant.

Om het bewijs formeel helemaal rond te krijgen zou je gebruik kunnen maken van natuurlijke inductie op de opeenvolging van rijtjes positieve en negatieve termen. Zo bewijs je dat het voor het begin aangetoonde patroon zich inderdaad tot in het oneindige voort zet.

[tempelier]

Je kunt inderdaad gewoon door gaan ook als is de waarde bereikt wordt.

Maar dat heeft voor mij wel iets onnatuurlijks.

[317070]

De begin reeks moet bepaald-divergent zijn, maar de termen moeten monotoom dalen naar nul.

Monotoon hoeft zelfs niet, dat de termen in de limiet naar nul gaan is voldoende.

@ John57. Een oneindige reeks is pas gedefinieerd als je hebt duidelijk gemaakt hoe alle termen gevonden kunnen worden, niet alleen het beginstuk.

Priemgetallen van de vorm (4n+1) krijgen een +1, (4n+3) krijgen een -1.

[Bartjes]

Monotoon hoeft zelfs niet, dat de termen in de limiet naar nul gaan is voldoende.

Zou kunnen, maar dat vraagt dan een ander bewijs.

[317070]

Zou kunnen, maar dat vraagt dan een ander bewijs.

Constructie: je telt getallen op tot je strikt groter bent, en dan trek je af tot je strikt kleiner bent.

Bewijs van constructie:

1) Vermits de positieve reeks divergeert, komt er na ieder punt waar je strikt groter bent, een punt waarop je weer strikt kleiner bent.

2) Op het moment dat je net weer omkeert van teken, is de afwijking kleiner dan of gelijk aan de reciproke van het laatste priemgetal. De afwijking blijft kleiner dan of gelijk aan de reciproke van het laatste priemgetal totdat het teken weer omkeert.

3) de reciproke rij van priemgetallen convergeert naar 0

4) uit 2 en 3 volgt dat de afwijking convergeert naar 0, vermits ze kleiner is dan de reciproke van priemgetallen.

5) als de afwijking convergeert naar nul, wordt een getal willekeurig dicht benaderd.

De stelling dat je door het teken te kiezen in een rij, de overeenkomende reeks een willekeurig getal kunt laten benaderen, klopt voor alle rijen die convergeren naar nul waarvan de reeks van absolute waarden divergeert.

[Bartjes]

@ 317070

Ik dacht dat je onderstaande stelling:

Iedere naar plus-oneindig divergerende reeks van positieve termen waarvan de termen monotoon naar nul naderen, kan je door het negatief maken van zekere termen omzetten in een convergerende reeks. Het getal waarnaar zo'n reeks convergeert kan je ook nog eens vrij kiezen.

wilde verruimen tot:

Iedere naar plus-oneindig divergerende reeks van positieve termen waarvan de termen naar nul naderen, kan je door het negatief maken van zekere termen omzetten in een convergerende reeks. Het getal waarnaar zo'n reeks convergeert kan je ook nog eens vrij kiezen.

Of - naar ik nu zie - nog algemener. Maar laten we het even op bovenstaande houden. Hoe zou je dat dan bewijzen zonder bijvoorbeeld naar priemgetallen te verwijzen?