Vraag over de wet van grote aantallen.

[Xmanor]

Deze wet stelt namelijk dat een groot aantal kansexperimenten weergeeft hoe de kansverhoudingen liggen.

Dus als je tien miljoen keer met een dobbelsteen gooit zul je in de resultaten zien dat de hij ongeveer even vaak op alle zijden valt. Uit experimenten blijkt dit te kloppen en er zijn ook formules voor(die ik overigens niet snap)

Maar dan komt dus mijn vraag. Stel je hebt een dobbelsteen met drie vlakken waarmee een kansexperiment wordt uitgevoerd. De kans dat hij op een bepaald vlak valt is 33%. Van tevoren gesteld dat hij twee keer op hetzelfde vlak zal vallen is 0,33*0,33. De kans dat dit zich over een groot aantal experimenten blijft herhalen is klein omdat de kans op alleen maar een bepaald vlak telkens verkleint met 66% wat de kans op een ander vlak veel groter maakt. Maar Duizend keer achter elkaar op een bepaald vlak gooien is toch een mogelijk resultaat?. Echter, zal na zo'n experiment blijken dat de kans op een bepaald vlak 33% is, maar hoezo valt de kans op alleen maar hetzelfde vlak dan weg?

De wet van grote aantallen stelt, naar mijn interpretatie, dat de kans op een bepaald resultaat(alleen maar een bepaald vlak) na een x aantal experimenten 0% is.

[hanzwan]

De wet van de grote aantallen gaat zoals de wet zelf zegt, over grote aantallen. Hoewel duizend keer dan inderdaad misschien veel lijkt is dit nog steeds niet 'het grote aantal' waarover de wet spreekt. Het grote aantal moet je meer als een limiet zien, als je tot het einde der dagen door blijft gaan met het gooien met die dobbelsteen dan zal dit soort extreme gedrag zich langzaam teniet doen en komt de werkelijke kansverdeling naar boven.

Intuitief kan je beredeneren dat de kans van 1000 keer achter elkaar hetzelfde vlakje enorm klein is ( 3* 0.33^1000, 3* omdat we niet perse 1 vakje aanwijzen) en daarmee misschien kleiner is dan het winnen van de loterij. Dus dat er zoiets extreems gebeurt na 1000 keer proberen is te verwaarlozen. Voor een situatie als het gooien van een dobbelsteen is duizend dus misschien wel al een redelijke hoeveelheid. Het kan echter inderdaad voorkomen dat je duizend keer 'extreme pech' hebt en het niet op de werkelijke verdeling lijkt, dit spreekt de wet van de grote aantallen dan niet tegen omdat deze alleen maar beweert dat uiteindelijk, in het limiet, de werkelijke verdeling naar boven komt. Dit hoeft niet perse al na 1000, een miljoen of honderd miljard keer te zijn.

[EvilBro]

... De kans dat dit zich over een groot aantal experimenten blijft herhalen is klein omdat de kans op alleen maar een bepaald vlak telkens verkleint met 66% wat de kans op een ander vlak veel groter maakt.

Hierbij lijk je te suggereren dat er een soort geheugenfunctionaliteit plaatsvindt. Dit is niet zo. Bij elke worp is de kans op elk vlak even groot. Het verleden speelt daar geen enkele rol in.

De uitspraak die de wet van grote aantal doet is een uitspraak over de gehele set. Er wordt geen uitspraak gedaan over individuele worpen. Bekijk eens alle mogelijke uitkomsten van vier keer tossen (kop of munt):

KKKK

KKKM KKMK KMKK MKKK

KKMM KMKM MKKM KMMK MKMK MMKK

KMMM MKMM MMKM MMMK

MMMM

Er zijn 6 mogelijkheden op 2x kop en 2x munt. De kans hierop is dus hoger (want alle uitkomsten hebben dezelfde waarschijnlijkheid) dan op een van de andere mogelijkheden. Dit is waar de wet over gaat.

De wet zegt niks over de volgende worp als je al MKK gegooit hebt. Er zijn dan gewoon maar twee mogelijkheden: MKKM of MKKK, beide met gelijke kans.

Maar Duizend keer achter elkaar op een bepaald vlak gooien is toch een mogelijk resultaat?

Klopt. De kans dat je echter 1000x achter elkaar een vlak gooit is erg klein. Als je het vaak genoeg probeert dan zal het vroeg of laat een keer gebeuren (zoiets als yathzee gooien).

De wet van grote aantallen stelt, naar mijn interpretatie, dat de kans op een bepaald resultaat(alleen maar een bepaald vlak) na een x aantal experimenten 0% is.

Die interpretatie is verkeerd.

[Xmanor]

Dus dan legt de wet alleen uit waarom de resultaten van een groot aantal experimenten naar een bepaald balans streven.

[EvilBro]

"Streven" is niet het juiste woord. Er is geen vooropgezet doel.