Afgeleide - Integraal f(x)

[Functie]

Hallo,

(enter werkt niet in dit venster, sorry...weet iemand waarom?)

Ik heb me de volgende simpele vraag gesteld, die waarschijnlijk voordehandliggend is: gegeven is de functie

\(f(x)\leftrightarrow y=ax^n\)

.

Is het zo dat

\(\frac{dy}{dx}(x-x_0)=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\int_{x_0}^{x}(f(x))dx\right)\)

?

Bedankt.

[In physics I trust]

Zonder het uit te werken:

neen, dat lijkt me niet te kloppen: zowel integraal als afgeleide veranderen niets aan een constante. Links heb je dus een 'a' van de afgeleide; rechts heb je er zowel een van de afgeleide als van de integraal, dus a².

Ik heb trouwens enkele enters ingevoegd, zonder problemen. Welke browser gebruik je?

[Functie]

Klopt dit dan wel:

\(\frac{dy}{dx}(x) - \frac{dy}{dx}(x_0) = \frac{d^2y}{dx^2}\left(\int_{x_0}^{x}{(f(x))dx}\right)\)

?

(Ik kan trouwens opnieuw 'enteren', bedankt )

[In physics I trust]

Mijn argument blijft: de tweede afgeleide rechts, zet de constante a voorop. Die ga je evalueren in de waarde tussen haakjes. Voor zover ik kan zien, gaat de evaluatie van die expressie ook een a bevatten. Daardoor, als je invult, ga je een macht van a bekomen rechts.

Links leid je af, en gaat er dus een 'eenvoudige' a staan, zonder macht. Of zie ik iets over het hoofd?

[Functie]

Ik ga even tegenargumenteren: (verbeter waar nodig)

\(f(x)=ax^n\)

\(\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}f(x-x_0)=n\cdot ax^{n-1} - n\cdot ax_0^{n-1}\)

\(\int_{x_0}^{x}f(x)dx=\left[\frac{a}{n+1}x^{n+1}\right]_{x_0}^{x}=\frac{a}{n+1}x^{n+1}-\frac{a}{n+1}x_0^{n+1}=g(x)\)

\(\frac{dy}{dx}g(x)=ax^{n}-ax_0^{n}\)

\(\frac{d^2y}{dx^2}g(x)=n\cdot ax^{n-1}-n\cdot ax_0^{n-1}=\frac{dy}{dx}f(x-x_0)}\)

Conclusie:

\(\frac{dy}{dx}f(x-x_0)=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\int_{x_0}^{x}f(x)dx\right)\)

Dit klopt toch?

[Drieske]

\(f(x)=ax^n\)

\(\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}f(x-x_0)=n\cdot ax^{n-1} - n\cdot ax_0^{n-1}\)

Euhm, als f(x) = axⁿ dan is f(x - x₀) = a(x - x₀)ⁿen dit afleiden naar x geeft an(x - x₀)^n-1.

PS: je notatie is slecht.

\(\frac{dy}{dx}\)

is y afleiden naar x. Maar jij wilt denk ik f afleiden naar x? Dat is dus

\(\frac{dy}{dx}f\)

maar

\(\frac{df}{dx}\)

.

[Functie]

Euhm, als f(x) = axⁿ dan is f(x - x₀) = a(x - x₀)ⁿen dit afleiden naar x geeft an(x - x₀)^n-1.

PS: je notatie is slecht.

\(\frac{dy}{dx}\)

is y afleiden naar x. Maar jij wilt denk ik f afleiden naar x? Dat is dus

\(\frac{dy}{dx}f\)

maar

\(\frac{df}{dx}\)

.

Ja, daar zit 'em de fout :/

Sorry

[Functie]

Ja, ok...Ik begrijp het, maar wat als je x en x₀eens ziet als twee verschillende functies?

Dan is de afgeleide van de som gelijk aan de som van de afgeleiden:

\(\frac{df}{dx}(x-x_0)=\frac{df}{dx}(x)-\frac{df}{dx}(x_0)=nax^{n-1}-nax_0^{n-1}\)

Of mag dit nu niet omdat ik

\(\frac{df}{dx}\)

noteer? Als dit daarom niet mag, zou het dan wel mogen als het gewoon

\(\frac{d}{dx}\)

zou zijn?

[JorisL]

Het probleem is dat je afgeleide buiten je integraal zit.

Noem de primitieve van f nu even F.

Dan is

\(\int_{x_0}^x f(x^\prime)dx^\prime =F(x)-F(x_0)\)

De afgeleide van de 2de term valt dan meteen weg omdat het een constante is.

[Drieske]

Ja, ok...Ik begrijp het, maar wat als je x en x₀eens ziet als twee verschillende functies?

Functies van wat? Je functie is f hè. En als je afleidt naar x, dan is de afgeleide van x₀ gelijk 0. Je gebruikt wat regeltjes, maar wel zo als ze jou uitkomen. Dat is geen wiskunde .

[Functie]

Neenee, ik begrijp het het probleem was dat ik vergeten was dat het helemaal in het begin om 1 functie f ging...