A+Xn

[loof]

Goedenavond,

Neem een bepaald bereik B, dat loopt van 0 tot b.

is het aantoonbaar dat de hoeveelheid priemgetallen die in een bepaalde meetkundige rij gevonden wordt, niet noemenswaardig afhankelijk is van A maar voornamelijk van X. Althans, zolang A1 en A2 dicht bij elkaar in de buurt liggen. Of is dit helemaal niet het geval?

Een voorbeeld:

is het aantal priemgetallen dat gevonden wordt onder een bepaalde b bij '3+4n' noemenswaardig anders dan het aantal priemgetallen dat gevonden wordt door 1+4n?

[Drieske]

Er is daar al veel over geschreven. Paar voorbeeldjes:

• http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem#The_prime_number_theorem_for_arithmetic_progressions
• http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0408/0408319v1.pdf (wat informeler wel)
• http://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc4476/m2/1/high_res_d/thesis.pdf

Die laatste is het meest gedetailleerd (maar ook al wat zwaarder).

[loof]

Dank voor de links. Vreemd genoeg (maar ik ken mezelf al wel langer dan vandaag) wordt ik voornamelijk wijzer van de 'wat informelere' link. Daarin zie ik specifieke informatie over de rij 3+4n en 1+4n, en dat deze gevonden hoeveelheden inderdaad vrijwel gelijk blijven. 3+4n/1+4n nadert naar 1. Maar is dit ook bewezen?

In het eerste artikel lees ik:

empirically the primes congruent to 3 are more numerous and are nearly always ahead in this "prime number race"; the first reversal occurs at x = 26,861.[19]:1–2 However Littlewood showed in 1914[19]:2 that there are infinitely many sign changes for the function

\pi_{4,1}(x) - \pi_{4,3}(x), \,

so the lead in the race switches back and forth infinitely many times.

Het bewijs dat hiervoor gebruikt is zou denk ik ook bruikbaar zijn om te laten zien dat ze altijd dicht bij elkaar blijven liggen, het enige wat dan nog omschreven moet worden is het maximale verschil tussen de twee, en daar kwam ik volgens mij ook al wat over tegen.

Het 3e artikel is voor mij echt Abrakadabra met de hoofdletter A. Maar ik ben zeer bereid me daar ook in te verdiepen, als hetgeen waar ik naar opzoek ben daar daadwerkelijk in staat. Zoals ik al zei ben ik niet van slechte wil, maar heb ik er wel weinig vertrouwen in dat ik een dergelijke bewijs uit een artikel als artikel 3 kan filteren. Een kleine 'opweghelping' zou ik dan ook zeer waarderen.

E.e.a. stemt me positief en schept de indruk dat het haalbaar is de in #1 genoemde stelling te bewijzen/omschrijven, maar het daadwerkelijk doen is natuurlijk nog wel een hele stap.

[Drieske]

Dank voor de links. Vreemd genoeg (maar ik ken mezelf al wel langer dan vandaag) wordt ik voornamelijk wijzer van de 'wat informelere' link. Daarin zie ik specifieke informatie over de rij 3+4n en 1+4n, en dat deze gevonden hoeveelheden inderdaad vrijwel gelijk blijven. 3+4n/1+4n nadert naar 1. Maar is dit ook bewezen?

Dat is bewezen ja. Bijvoorbeeld in die derde paper wordt dat bewezen. Als je even "alles voverslaat" en meteen naar pagina 17 (puntje 4) gaat, zie je daar de stelling. In het bijzonder is voor jou belangrijk dat dat getal

\(\pi_{k, l}(x)\)

in de limiet onafhankelijk is van l.

Het 3e artikel is voor mij echt Abrakadabra met de hoofdletter A. Maar ik ben zeer bereid me daar ook in te verdiepen, als hetgeen waar ik naar opzoek ben daar daadwerkelijk in staat. Zoals ik al zei ben ik niet van slechte wil, maar heb ik er wel weinig vertrouwen in dat ik een dergelijke bewijs uit een artikel als artikel 3 kan filteren. Een kleine 'opweghelping' zou ik dan ook zeer waarderen.

Het is zeker veel zwaardere kost dan dat ander artikel. Dat ander artikel is ook meer zaken aannemelijk maken dan exact maken. Er wordt immers niets bewezen . Ik heb niet het hele artikel doorgenomen, maar ik ben wel zeker dat er meer in gedaan wordt dan jij nodig hebt (het is immers een thesis). Maar je kan beginnen met de stelling op pagina 17 te bestuderen en kijken wat je extra nodig hebt. Maar voor de duidelijkheid: zonder wiskundige achtergrond is dat waarschijnlijk te moeilijk.

Overigens, merk op dat met die stelling geldt voor alle k en l met ggd(k, l) = 1. Dus bijvoorbeeld ook het aantal priemgetallen onder een zekere x van de vorm 8k + 1 of 8k + 5 is (ongeveer) hetzelfde (en in de limiet hetzelfde).