Bewijs harmonische reeks via mathematische inductie

[Asmahan]

Hallo iedereen ...

Voor het examen wiskunde moet ik de divergentie van de harmonische reeks kunnen aantonen via mathematische inductie, (een ander bewijs mogen we niet hanteren). Ik weet echt niet hoe hieraan te beginnen. Iemand die me kan helpen ? Eeuwige dank!

Asmahan

[Safe]

Wat zou jouw bewijs zijn (eventueel zonder inductie)?

[Asmahan]

Wat zou jouw bewijs zijn (eventueel zonder inductie)?

Als volgt : lim s_n

s₂= 1 + (1/2)

s₄ = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4)

> 1 + (1/2) + (1/4) + (1/4)

> 1 + (1/2) . 2

s₈ = 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4) + (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8)

> 1 + (1/2) + (1/4) + (1/4) + (1/8) + (1/8) + (1/8) + (1/8)

> 1 + (1/2) . 3

Veralgemeend krijg je dus : s_2^k> 1 + (1/2) . k , naarmate je meer partiële sommen toevoegd zal je reeks dus altijd ( + (1/2) . k ) groter zijn dan 1 en dus divergeren

[Safe]

Mooi, probeer nu dit volgens inductie te doen ...

[Th.B]

Inductiehypothese: (voor k > 1)

s_2^k> 1 + k/2

Toon aan voor k = 2 of k = 3 ofzo... en dan voor k = m laten zien dan het voor m+1 ook geldt, voor iedere m.

[Asmahan]

Mooi, probeer nu dit volgens inductie te doen ...

Startend van : s_2^k> 1 + (1/2) . k ?