Eindsnelheid van een vallend kogeltje.

[Djahnson]

Hallo,

Voor Natuurkunde hebben wij een opdracht gekregen die wij moeten maken. Het gaat hier om een vallend kogeltje in Motorolie.

Wij moeten via modelleren het verband tussen de straal en de eindsnelheid zien te vinden.

Na wat onderzoek kwamen wij op een stappenplan:

-Bereken alle krachten op het kogeltje

-Bereken de nettokracht

-Bereken de versnelling

-Bereken de snelheidsverandering in de tijdsstap, en de nieuwe snelheid

-Bereken de plaatsverandering, en de nieuwe afstand

Toen ik dat ging uitwerken ben ik vastgelopen.

Fz=m.g

Fo=V.ρvloeistof.g

Fw=6.Pi.r.v

Fn=Fz-(Fw+Fo)

a=Fn/m

da=??

Weet iemand hoe ik de laatste twee stappen uit kan voeren?

Groeten,

Jan

[Fred F.]

Is er een maximale valhoogte gegeven? Nee? Dan doe jij het veel te ingewikkeld.

In de eindtoestand zijn alle krachten precies in evenwicht. En daaruit volgt dan de eindsnelheid.

[Michel Uphoff]

Over de eindsnelheid gaat ook deze berichtendraad.

In de gegeven formule is het verband tussen oppervlak en eindsnelheid eenvoudig te zien,

[Fred F.]

Die formule is alleen bruikbaar als men de Cd weet.

Voor een kogeltje in motorolie is waarschijnlijk de Wet van Stokes van toepassing. Maar als Reynolds-getal bij de daarmee betrekende eindsnelheid dan groter blijkt dan 0,2 was Wet van Stokes niet van toepassing en moet het figuurtje of formules uit bericht #3 gebruikt worden in combinatie met dat stappenplan.

[Jan van de Velde]

Dan doe jij het veel te ingewikkeld.

In de eindtoestand zijn alle krachten precies in evenwicht. En daaruit volgt dan de eindsnelheid.

@FredF

Wij moeten via modelleren het verband tussen de straal en de eindsnelheid zien te vinden.

het gaat dus niet om een (relatief eenvoudige) formule maar om het proces "modelleren"

[Djahnson]

Het is inderdaad de bedoeling dat wij modelleren onder de knie gaan krijgen. Nu hebben wij al een formule

afgeleid, als volgt:

Bezinkingsnelheid=diameter^2 . (g(rho kogel - rho vloeistof)/18η). (Ik typ dit via een ipad, sorry voor de onduidelijke formule)

Maar deze formule mogen wij niet gebruiken in ons model, daarom doen we dat via krachten.

Mij is bevestigd dat het beginntje wat ik al had gemaakt goed was, dus dit is de manier om mijn model op te stellen.

Echter loop ik nognsteeds vast met de laatste stap, zoals ik in mijn eerste post al zei.

Zou iemand mij daarmee kunnen helpen?

[Marko]

Wat is het verband tussen a en v? Je hebt dat (in woorden) al opgeschreven, maar nog niet in formulevorm.

[Djahnson]

Is dat: dv=a*dt?

Als dat zo is ben ik al een stap verder. Alleen nu nog bij de eindsnelheid komen.

[Marko]

Inderdaad, want a=dv/dt, dus dv = a dt

Vervolgens moet je deze stap nog in formulevorm hebben:

en de nieuwe snelheid

Eventueel kun je hiervoor ook nog vergelijkingen opstellen, al heb je die voor de eindsnelheid niet nodig:

-Bereken de plaatsverandering, en de nieuwe afstand

Je eindsnelheid zal hier overigens niet direct uitrollen. Daarvoor moet je het model laten doorrekenen; na voldoende stapjes dt zal de snelheid nagenoeg niet meer veranderen, dan is dan je eindsnelheid.

[Djahnson]

Dus dan doe ik:

v=v+dv

Dan krijg ik de nieuwe snelheid.

dan:

dy=v*dt

y:=y+dy

Als dat klopt, heb ik nog een vraag

Ik heb namelijk nu 2x een v. Namelijk in de Fwrijvings en dan hier met afstandsverschil. Dat is lastig.Moet ik ze dan opdelen in v1 en v2?

[pgbakker]

Het doel is om het modelleren onder de knie te krijgen begrijp ik.

Welnu modelleren betekent dat je op zoek bent naar een model van een bepaald verschijnsel.

In jouw geval is het verschijnsel een vallend kogeltje in olie. En het zoeken naar een model is bij jouw het opstellen van een wiskundige beschrijving of wiskundig model. Dus als we beschikken over een wiskundig model dat het verschijnsel goed beschrijft dan is het doel bereikt.

Jouw stappenplan is een uitstekend geschikt om dit model te vinden.

In feite start je met de basiswet van de mechanica(tweede wet van Newton): F= m.a = dv/dt

Neem de bewegingsrichting positief in de richting van v(neerwaarts dus).

F is de resulterende kracht in bewegingsrichting: F = m.g - Fd -Fo.

Fd is de weerstand tgv wrijving, volgens Stokes: Fd = 6.pi.mu.R.v

Fo is de opwaartse kracht: rho(vloeistof).4/3.pi.R^3.g

De formule wordt dan m.g - 6.pi.mu.R.v - rho(v).4/3.pi.R^3.g= m.dv/dt

Met m = 4/3.pi.R^3.rho(kogel) dan wordt de formule

dv/dt = {1 - rho(v)/rho(k)}.g - 18.mu.v/(4.rho(k).R^2. (Vergelijking 1)

Nu zijn we klaar met het modelleren, we hebben een wiskundig model in de vorm van een eerste-orde gewone differentiaalvergelijking.

De volgende stap zou kunnen zijn om de DV op te lossen, maar dat heeft niets met modeleren te maken. Immers we hebben een wiskundig model gevonden en dat was het beoogde doel.

Nu de vervolgvraag: wat wordt de eindsnelheid?

Twee manieren:

1. de DV oplossen zodat je v vindt als functie van de tijd. Heb je eenmaal de oplossing dan nagaan hoe v zich gedraagt als t gaat naar oneindig. Dit is een goede aanpak maar wel omslachtig, bovendien heeft het niets met modelleren te maken maar isvslechts het toepassen van wiskunde, hier het oplossen van een 1e orde DV. Nog een aanvullende opmerking bij het oplossen. In het algemeen zijn er twee manieren van oplossen: de analytische methode en de numerieke methode. Analytisch betekent de oplossing kunnen schrijven als combinatie van elementaire functies. Numeriek is een methode waarbij het wiskundige model wordt gediscrediteerd en stapsgewijs mbv een computer wordt opgelost.

2. Kijk nog eens goed naar het wiskundige model.

Bedenk dat als er sprake is van een eindsnelheid dat deze dan niet meer verandert met de tijd , dus als de eindsnelheid bereikt wordt dan geldt dv/dt = 0.

Nu terug naar vergelijking 1 en invullen dv/dt = 0

Dit geeft als eindsnelheid: v = 2.g.R^2.{rho(k) - rho(v)}/(9.mu)

En nu heb je meteen het gevraagde verband tussen eindsnelheid en straal van de kogel.

Commentaar,

Eigenlijk had jij deze formule ook al gevonden(afgezien van een factor 4 maar dat is voor het idee niet zo van belang), maar je mocht hem niet gebruiken omdat je het antwoord via modelleren moest zien te vinden. Ik ben het met deze gedachte niet eens. Je mag de formule vind ik wel gebruiken, juist omdat hij uit de modelvergelijking is afgeleid.

Nogmaals modelleren is de zoektocht naar een wiskundig model en dat proces is helemaal tot zijn recht gekomen hier.

Bij het modelleren is niet de oplostechniek het belangrijkste maar de opstelling van de modelvergelijking. En bij dat opstellen is gaat het er veel meer om dat je je kunt verantwoorden over de gemaakte keuzes. In dit geval zou je je moeten verantwoorden over:

1. Het gebruik van de tweede wet van Newton

2. De modellering van de weerstand met Stokes dwz dat de weerstand evenredig is met de snelheid.

3. Of de opwaartse kracht wel of niet van belang is.

Ik ben benieuwd naar je reactie.

Gr. P.G. Bakker

[Djahnson]

Hallo meneer Bakker

Ik ben het 100% eens met u dat het raar is dat we die formule niet mogen gebruiken, we hebben hem immers zelf afegeleid. Daarom moesten we met krachten gaan werken. Stap 2 van uw vervolgvraag heeft mij erg geholpen, en ik denk dat mijn model nu correct is, alleen wat omslachtig opgeschreven. Maar dat moet geen probleem zijn om dat te veranderen. Ik dank u zeer, u heeft er zo te zien tijd in gestoken, en dat zomaar voor een vreemdeling. Dat vindt ik hartstikke fijn!!

Groeten,

Jan

[Jan van de Velde]

..//..

Commentaar,

Eigenlijk had jij deze formule ook al gevonden(afgezien van een factor 4 maar dat is voor het idee niet zo van belang), maar je mocht hem niet gebruiken omdat je het antwoord via modelleren moest zien te vinden. Ik ben het met deze gedachte niet eens. Je mag de formule vind ik wel gebruiken, juist omdat hij uit de modelvergelijking is afgeleid.

Nogmaals modelleren is de zoektocht naar een wiskundig model en dat proces is helemaal tot zijn recht gekomen hier.

Bij het modelleren is niet de oplostechniek het belangrijkste maar de opstelling van de modelvergelijking.

Ik ben het 100% eens met u dat het raar is dat we die formule niet mogen gebruiken, we hebben hem immers zelf afgeleid.

Ik ben niet Djahnson's docent of zo, maar toch vind ik het niet raar dat die formule niet gebruikt mag worden.

Het is van belang voor leren modelleren om een proces in zo eenvoudig mogelijke stappen op te splitsen, die stappen in een "loop" logisch met elkaar in verband te zetten en door die "loop" in korte opeenvolgende tijdstappen af te draaien, (daarbij een of meerdere veranderende parameters binnen zo'n korte tijdstap onveranderlijk veronderstellend) tóch tot een reële benadering van het werkelijke resultaat te komen (in dit geval een kogeltje dat uiteindelijk met een constante snelheid door de olie zakt).

Er zijn namelijk ook natuurlijke processen zat die slechts numeriek op te lossen zijn. Dan moet je zo'n techniek ook wel eens eerder gezien en gebruikt hebben. Als je dat dan hebt geleerd met aan de hand van een analytisch oplosbaar proces betekent dat slechts dat (de resultaten van) je model en dus de validiteit van je uitgangspunten wiskundig te controleren zijn.

[pgbakker]

Bij het wiskundig beschrijven van fysische processen is een heldere denkstructuur over de aanpak van het probleem heel nuttig. In die zin functioneert het onderscheid tussen conceptfase en oplosfase. In de conceptfase verantwoord je over je keuzes in je model. Dit is het essentiële van het modelleren. Is het model, meestal in de vorm van een set differentiaalvergelijkingen, beschikbaar dan volgt de oplosfase; oplossen is een vak apart en vraagt een grote wiskundige vaardigheid zowel analytisch als ook numeriek. Is de oplosing éénmaal beschikbaar dan ga je terug naar je model en de gemaakte keuzes daarin evalueren, zo is de loop gesloten. Dit is een logische stap, maar vaak niet de gemakkelijkste. Immers, eventuele discrepanties tussen fysische werkelijkheid en modelresultaat kunnen meerdere oorzaken hebben, het kan liggen aan een onvolkomen model, maar ook het (numerieke) oplosproces kan er debet aan zijn, denk hier met name aan convergentieproblemen als de (tijd)stapjes steeds kleiner worden gekozen. Om die reden pleit ik er echter voor om na de conceptfase niet meteen door te stappen en oplosfase

[pgbakker]

Mijn vorige post was nog niet af, ik raakte per abuis de toets 'Plaatsen' aan. Dus hier het vervolg van mijn reactie.

Ik pleit er voor om tussen conceptfase en oplosfase nog een 'beschouwingsfase' te hebben.

In deze fase kijk je nog eens goed naar het verkregen model en probeer je alvast zoveel mogelijk karakteristieke kenmerken van je modeloplossing aan de weet te komen. Dit helpt om straks als je de oplossing hebt geproduceerd deze oplossing op zijn waarde te schatten.

Wat bedoel ik met karakteristieke kenmerken? Ik denk dan met name aan kwalitatieve kenmerken zoals is de oplossing monotoon, wat is het gedrag op oneindig(zowel in ruimte als in tijd), wat is de invloed van parameters in het model, wat gebeurt er als ik mijn modelveronderstellingen vereenvoudig, etc, etc,

Op deze manier kun je, voor dat je echt gaat oplossen, al veel over de eigenschappen van je model aan de weet komen.

Dit beschouwproces is mijns inziens een wezenlijk onderdeel van het modeleren.

Nu dit verhaal toegepast op het vallende kogeltje in de olie.

1. conceptfase: het komen tot het opstellen van vergelijking 1

2. beschouwfase: de constatering dat de eindsnelheid niet met de tijd verandert, dus dv/dt = 0 en dan volgt uit vergelijking 1 de eindsnelheid.

3. oplosfase: vergelijking 1 is een lineaire gewone eerste orde DV en is analytisch oplosbaar.

Noem

A = g.{1-rho(v)/rho(k)},

B = 9.mu.v/(2.rho(k).R^2)

Vgl. 1 wordt dan dv/dt = A - B.v

Oplossing: v = A/B.{1 - exp(-B.t)}

Nu zie je heel mooi dat voor t naar oneindig dat de eindsnelheid wordt v = A/B hetgeen overeenstemt met het resultaat van de beschouwfase

Gr. PGB