Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Michel Uphoff]

De vraag is en blijft, voor mij althans: waar komt die kracht vandaan?

Ik dacht dat we daar met #21, #25 en #41 al uit waren?

Als er geen sprake is van elastische rek, zou ieder deeltje van de ketting onmiddellijk dezelfde snelheid hebben (even de oneindige versnelling van het eerstvolgende kogeltje in rust buiten beschouwing gelaten). Dan is het 180 graden keren van de impulsvector de enige wijziging, die voor wel het boogje maar niet voor de rechte klimming zou zorgen.

Uit de foto's blijkt dat de kogeltjes boven in het boogje botsen, ergo de stijgende reeks kogeltjes heeft een grotere snelheid dan de kogeltjes in de top. Vrijkomende elastische potentiële energie, opgeslagen in het stijgende deel van de ketting is dan m.i. de enige logische verklaring.

Berekeningen maken zonder rekening te houden met de (vrij grote) initiële versnelling van de rustende kogeltjes en als resultaat hiervan de tijdelijke opslag van energie door elastische rek heeft volgens mij geen enkele zin, want de situatie is dus hoogst dynamisch.

Als we de ketting vervangen door een stuk elastiek wordt het allemaal wat inzichtelijker.

[Anton_v_U]

Uit de foto's blijkt dat de kogeltjes boven in het boogje botsen, ergo de stijgende reeks kogeltjes heeft een grotere snelheid dan de kogeltjes in de top. Vrijkomende elastische potentiële energie, opgeslagen in het stijgende deel van de ketting is dan m.i. de enige logische verklaring.

In de rek van de ketting wordt geen energie opgeslagen voor zover die rek er uit bestaat dat kogeltjes langs de steeltjes bewegen. Er is immers geen veerkracht. Een (klein?) deel van de energie wordt in warmte omgezet door wrijving.

[Michel Uphoff]

Waarom zou er geen veerkracht zijn? Metaal heeft een welbekende elastische rek waarin je veel energie op kan slaan. Anders zouden metaalveren niet bestaan.

Denk eens aan de vernietigende kracht van een geknapte sleepkabel.

Een andere verklaring voor het fenomeen is er m.i. niet.

[Anton_v_U]

Waarom zou er geen veerkracht zijn?

Kun je testen: pak zo'n ketting, rek hem een stukje uit en kijk of hij terug veert. Misschien heb ik niet het goede type ketting voor ogen, maar als ik het goed heb kun je zo'n ding iets van 50% uitrekken t.o.v. de kortste toestand zonder dat hij terug veert. Ik vermoed dat de verklaring van het fenomeen eerder ligt in de afwezigheid van veerkracht. De lengteverandering bestaat (in tegenstelling tot metaalveren) niet uit de vervorming van het materiaal.

[Bartjes]

Volgens mij is er alleen daar waar de kogeltjes in beweging gezet worden (bij IV) een resulterende opwaartse kracht, en dat is de spankracht in de ketting. Verder is er tussen I en II een neerwaartse resulterende kracht die ervoor wordt gebruikt om de impuls van de schakeltjes weer om te keren. Dat er een boogje naar beneden moet zijn is ook duidelijk omdat een niet vloeiende beweging van de ketting een oneindige kracht zou vergen, die uiteraard niet beschikbaar is. Het enige dat er aan dit simpele model nog ontbreekt is een verklaring en formule voor de grootte van het boogje.

Daar wil ik het voorlopig even bij laten, en meer heb ik er op het moment ook niet over te melden. Mogelijk loop ik hier dan vast, en in dat geval laat ik het hierbij. Mocht ik met dit simpele model toch nog verder komen dan laat ik het wel weten.

[Anton_v_U]

Dat er een boogje naar beneden moet zijn is ook duidelijk omdat een niet vloeiende beweging van de ketting een oneindige kracht zou vergen, die uiteraard niet beschikbaar is.

Een slap touw waarvan je een uiteinde omhoog gooit beweegt niet vloeiend en toch zijn de krachten niet oneindig.

Is het niet simpeler: je kunt zo'n ketting niet vouwen dus de scherpste bocht is een boogje.

[Michel Uphoff]

@anton_v_u: maar als ik het goed heb kun je zo'n ding iets van 50% uitrekken

Je verwart het schuiven van de bolletje over de steeltjes met elastische rek van het metaal.

Neem een stil liggend bolletje (a) in gedachten, plotseling geeft het laatste bewegende bolletje (b) een grote ruk. Bij een flink aantal meters gevallen ketting is de snelheid van de ketting laten we eens zeggen 10 meter per seconde. Eerst wordt het steeltje meegesleurd, en tot aan bolletje a staat de ketting nu strak. Bolletje a ondergaat nu een enorme versnelling (er is maar een minieme weg om tot 10 m/s te versnellen). Nu treedt er in het steeltje en het bolletje elastische vervorming op. Dat moet wel, anders zou de ketting breken.

Bij alle volgende bolletjes en steeltjes gebeurt hetzelfde. De ketting staat niet alleen strak, maar is ook elastisch gerekt.

#21: Ik denk hierbij aan een analogie met een rubberen sleepkabel (alle wrijving buiten beschouwing gelaten): De sleepwagen begint te rijden en de gesleepte auto komt langzaam op gang en blijft in beginsel achter. Ondertussen wordt er energie in de almaar langer wordende sleepkabel opgeslagen. Na enige tijd heeft de gesleepte auto dezelfde snelheid als de sleepwagen. Op een gewone sleepkabel zou nu geen trekkracht meer staan. Maar de sleepwagen heeft de energie geleverd om de gesleepte auto dezelfde snelheid te geven plus de in de elastische kabel opgeslagen potentiële energie, en die energie moet nog vrijkomen. De elastische kabel blijft dus de gesleepte auto versnellen, en de sleepwagen een kracht ondervinden en dientengevolge versnellende energie leveren. De gesleepte auto haalt de sleepwagen dus in en knalt er tegenaan.

Dit geldt voor iedere combinatie bolletje-steeltje-bolletje, zij het dat niet alleen het steeltje wat rek ondergaat, de bolletjes zullen zeker ook elastisch vervormen tot een rugbyballetje.

De enige mogelijke conclusie is dan dat in de stijgende ketting potentiële energie is opgeslagen, en dat die vrij moet komen. Net als bij de sleepwagen zal bolletje a een wat grotere snelheid krijgen dan bolletje b zodra deze energie vrij komt. Dat zien we bovenin de boog ook gebeuren, daar halen de stijgende kogeltjes de dalende in en hopen de kogeltjes even op, het zichtbare bewijs dat het stijgende kettingdeel sneller ging dan het dalende deel.

Omdat het stijgende deel initieel sneller gaat dan het dalende deel is er maar een weg, omhoog, en pas na de botsingen bovenin houdt het stijgen op.

[jkien]

Een alternatieve energievorm is golfenergie: Silpion van de video's in reddit (zie #7) meent dat een 'whip effect' de verklaring is. Ik vat zijn redenering zo op: de bocht waar de kogeltjes zich losmaken van het oppervlak is een staande golf die zich afzet op het oppervlak, enigszins vergelijkbaar met de lopende golf in de tip van een zweep die op zeker moment tegen een oppervlak knalt. Wegens actie = reactie leidt het whip effect ertoe dat golfenergie wordt omgezet in kinetische energie van de kogeltjes: die worden verticaal omhoog gelanceerd. Op die manier is er geen elastische energie in de ketting nodig.

Een interessant gedachtenexperiment is om de pot langzaam op en neer te bewegen. Wie gelooft in een afzet op het oppervlak verwacht dat de boog meebeweegt met de pot; wie daar niet in gelooft verwacht misschien dat de boog een vaste plek in de ruimte behoudt.

Als iemand belangstelling heeft voor een goedkope lange kogeltjesketting (6 euro voor 20 m): google naar de zoekwoorden "Ebay Necklace Chains Ball Chain Link Metal Unfinished Chain 4-20m 2.4mm". De levering kan 3 weken duren, dus niet iets voor ongeduldige mensen. Hoe goed hij werkt weet ik niet,

[Bartjes]

Als iemand belangstelling heeft voor een goedkope lange kogeltjesketting (6 euro voor 20 m): google naar de zoekwoorden "Ebay Necklace Chains Ball Chain Link Metal Unfinished Chain 4-20m 2.4mm". De levering kan 3 weken duren, dus niet iets voor ongeduldige mensen. Hoe goed hij werkt weet ik niet,

Het zou inderdaad wel handig zijn wanneer een experimenteel ingestelde gebruiker de verscheidene hier gelanceerde theorieën zou willen toetsen.

[Michel Uphoff]

Op die manier is er geen elastische energie in de ketting nodig.

Whip effect of niet, die energie kan niet genegeerd worden. We kunnen een indruk krijgen van de optredende krachten met wat ruwe aannames.

Belangrijkste en meest onbekende aanname is de afstand die het laatste stilliggende kogeltje aflegt voordat het de volledige snelheid van de ketting heeft. Dat kan variëren naargelang de hoek van aangrijpen van de kracht varieert. Soms zal het kogeltje (staafje ligt bijvoorbeeld horizontaal) eerst een behoorlijk hoekmoment krijgen voor het uit de pot getrokken wordt (mogelijk zit hier de verklaring voor de golfbewegingen) en soms zal het staafje al bovenin zitten waardoor de af te leggen weg extreem kort, en de versnelling enorm is. Laat ik eens gokken op een kwart millimeter af te leggen weg gemiddeld.

Diameter kogeltje: 3 mm

Wanddikte: 0,3 mm

Lengte staafje: 3 mm, met twee knobbels van 1 mm rond

Diameter staafje 0,5 mm

Materiaal: Staal

Snelheid ketting: 10 m/s

Afgelegde weg voor volledige snelheid 0,25 mm

Hieruit volgt dan:

Massa staafje ongeveer 12 milligram

Massa kogeltje ongeveer 54 milligram

Tijd om te versnellen tot 10 m/s is bij een afgelegde weg van 0,25 mm ongeveer 0,025 milliseconde, dat is een versnelling van maar liefst 400 km per seconde!

M= 0,000066 kg, A= 400.000 m/s > F = 26 N

De asjes kunnen bij een treksterkte van 50 kg/mm ongeveer 100 N aan, dus wordt de ketting met een kwart van de maximale treksterkte sterk belast en zal zeker een behoorlijke elastische rek kennen. Een zeer lange ketting vallend van grote hoogte zal dan ook breken bij het kogeltje dat uit de pot getrokken wordt.

Of deze waarden een beetje realistisch zijn weet ik niet, het is een educated guess. Als ze kloppen is de potentiële energie door rek nog veel forser dan ik vermoedde.

Fascinerend probleempje. Inderdaad verleidelijk om een flink eind bolletjesketting te kopen en er eens uitgebreid mee te experimenteren.

[jkien]

Welke vergelijking beschrijft de stabiele boogvorm zonder fluctuaties? De middelpuntzoekende kracht moet gelijk zijn aan de normale component van de zwaartekracht: m v² / r = m g cos β .

Daarbij geldt: m is de massa van een klein stukje ketting met lengte ds, dus m = λds, v is de constante kettingsnelheid, r is de kromtestraal, β is de hoek tussen de normaal en de verticaal.

De kromming van een functie y(x) is 1/r = |y"| / (1+ y'²)^3/2 (wiki)

Voor β geldt: cos β = 1 / √(1 + tan²β ) = 1 / √(1 + y'²)

. ** Fout: bovenstaande vergelijking geldt niet voor β maar voor 90°-β. Het vervolg is ongeldig. **

Dus |y"| = k (1 + y'²), waarbij k = g/v²

Voor een bergvormige y(x) is y" negatief, dus y" = -k (1 + y'²)

en de oplossing is y-y₀ = log(cos(k(x-x₀))/k, waarbij (x₀, y₀) de top voorstelt. [1]

De vorm van de log(cos(kx))/k curve vertoont overeenkomsten met de vliegende ketting: een ronde (bijna cirkelvormige) top, en verticale flanken. De curve heeft een verticale asymptoot aan weerszijden van de top. De afstand tussen de asymptoten is π / k .

logcos_curve 789 keer bekeken

log(cos(x)) met ingeschreven cirkel

[Wien Ee]

ketting3 788 keer bekeken

Ketting met een dichtheid λ [kg/m]

Ik vind het wel een mooi probleem, dus ik meng me ook in de strijd. Aan de ene kant is er de vraag wat er feitelijk plaatsvindt in de ketting met bolletjes. Verder de vraag of er gerekend kan worden aan een geïdealiseerd model. Dat laatste heb ik geprobeerd. Ik kom uit op:

h = d

Wat erg afwijkt van wat in de videobeelden te zien is.

Afleiding:

In IV ondervindt de ketting een kracht vanwege de versnelling van de ketting:

F_A = 0,5 * λ * v²

Tussen VI en I ondervindt de ketting zwaarte kracht:

F_h = λ * h * g

De centrifugaalkrachten tussen I en II resulteren in krachten in I en II die de ketting omhoog houden:

F_I = λ * v²

F_II = λ * v²

En tussen II en III ondervindt de ketting zwaarte kracht:

F_H = λ * H * g

De invloed van zwaartekracht tussen I en II heb ik weggelaten.

Deze vergelijkingen uitwerkend kom ik uit op

H = 2h

en dus h = d

p.s.: ik wil een euro bijdragen voor als iemand een bolletjesketting gaat kopen om de theorieën eens aan de praktijk te toetsen.

[Bartjes]

Beste mensen,

Inmiddels heb ik bij een kringloopzaak voor een grijpstuiver wat elegante kralenkettingen aangeschaft. De eerste experimenten wijzen uit dat het nog niet zo eenvoudig is daarmee het effect tevoorschijn te roepen. Ik zal ze allemaal aan elkaar bevestigen om te zien of het dan beter gaat...

@ jkien. Waar is de spankracht in je afleiding?

@ confusie. Je komt tot andere waarden dan ik. Omdat je afleiding helaas nogal schetsmatig is, kan ik niet zien waar die verschillen vandaan komen.

[Bartjes]

Mijn eerste testresultaten:

- Bij een ketting van een meter of zeven begin je iets te zien.

- Het is belangrijk de ketting losjes in een jampot, bierpul o.i.d. neer te leggen zodat de ketting niet in de knoop raakt.

- De jampot of bierpul met ketting moet hoog gehouden worden, een tafel is te laag.

- Het helpt om de ketting met een flinke ruk naar beneden in beweging te zetten.

- Het gaat allemaal te snel om met het ongewapende oog precieze waarnemingen te doen.

[Wien Ee]

@ confusie. Je komt tot andere waarden dan ik. Omdat je afleiding helaas nogal schetsmatig is, kan ik niet zien waar die verschillen vandaan komen.

kogeltjesketting-1 789 keer bekeken

In het geïdealiseerdeI model, zoals ik het zie, houdt de middelpuntvliedende kracht de ketting omhoog.

Middelpuntvliedende kracht volgens de definitie: F_c = m * v² / R

De kogelketting heeft een massa per meter: λ , in [kg / m]

De middelpuntvliedende spanning is dan: q = λ * v² / R , in [N / m]

Ter vereenvoudiging van de berekening beschouw ik de situatie waarin de ketting niet verder stijgt of daalt. De som van de krachten in verticale richting is dan nul.

F_I + F_II = de som van de spanning in verticale richting = 2 λ * v², (zie de p.s.)

Vanuit symmetrie overwegingen ga ik er van uit dat: F_I = F_II

Dan: F_I= F_II= λ * v²

In mijn berekening kom ik erop uit dat de radius R geen invloed heeft op de kracht waarmee de ketting omhoog wordt gehouden. Dat is een mooie voorspelling die praktisch getest kan worden. Bovendien dacht ik zo, als de radius geen invloed heeft op krachten F_I en F_II, dan heeft de vorm van de boog, of dit nu een parabool of cirkel is, vermoedelijk ook geen invloed op krachten F_I en F_II

P.s.: de berekening van de som van de spanningen in verticale richting lijkt erg op de afleiding van de ketelformule. Ik heb het gecontroleerd door het ook nog eens uit te rekenen door de spanningen te integreren langs het cirkelelement. Komt op hetzelfde uit. Als je wil laat ik het zien.

P.p.s: in mijn vorige post had ik de vergelijking voor v nog niet gegeven, die uit het geïdealiseerde model kan worden afgeleid:

v = ( 2 * d * g) ^0,5