Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

F_I + F_II = de som van de spanning in verticale richting = 2 λ * v² , (zie de p.s.)

Heb ik ook.

v = ( 2 * d * g) ^0,5

Dat heb ik eveneens. Het grote verschil tussen onze uiteindelijke formules voor h komt daardoor dat je het gewicht van het boogje verwaarloost. Ik zie niet in waarom die verwaarlozing geoorloofd is.

[jkien]

@ jkien. Waar is de spankracht in je afleiding?

De spankracht heeft geen invloed op de vorm van de stabiele curve. Alleen de snelheid (met name v²/g) heeft invloed. Bijvoorbeeld: een zwaardere ketting met dezelfde snelheid zal dezelfde curve volgen, de grotere spankracht maakt niet uit.

[Bartjes]

De spankracht heeft geen invloed op de vorm van de stabiele curve. Alleen de snelheid (met name v²/g) heeft invloed. Bijvoorbeeld: een zwaardere ketting met dezelfde snelheid zal dezelfde curve volgen, de grotere spankracht maakt niet uit.

Bij een ronddraaiende gesloten cirkelvormige ketting in een toestand van gewichtloosheid is de spankracht de enige kracht. Zou die kracht geen rol spelen, dan was er niet eens een middelpuntzoekende kracht. Daarom speelt die kracht volgens mij bij een kromlijnige beweging een niet te verwaarlozen rol.

[Wien Ee]

Het grote verschil tussen onze uiteindelijke formules voor h komt daardoor dat je het gewicht van het boogje verwaarloost. Ik zie niet in waarom die verwaarlozing geoorloofd is.

De zwaartekracht op de ketting in het boogje, had ik weggelaten, omdat ik niet zo snel zag, hoe die mee te nemen in de vergelijkingen. Met als voordeel een sterke vereenvoudiging. Met als nadeel, je hebt gelijk daarin, een verwaarlozing van een kracht die niet heel klein is.

Maar het verschil tussen onze uiteindelijke formules, komt volgens mij doordat ik een andere kracht had gevonden voor het versnellen van de ketting:

In IV ondervindt de ketting een kracht vanwege de versnelling van de ketting:

F_A = 0,5 * λ * v²

Voor die kracht ben jij uitgekomen op:

F = λ * v² (post 27)

Ik zal mijn vergelijkingen nog eens nalopen, het gewicht van het boogje meenemen, en het hier netjes uitschrijven.

- Het is belangrijk de ketting losjes in een jampot, bierpul o.i.d. neer te leggen zodat de ketting niet in de knoop raakt.

- Het helpt om de ketting met een flinke ruk naar beneden in beweging te zetten.

De snelheid van de ketting doet het effect ontstaan. Alle wrijvingen zijn nadelig. Ik vermoed dat het helpt als je een beetje olie op de schakeltjes van de ketting aanbrengt.

[jkien]

Bij een ronddraaiende gesloten cirkelvormige ketting in een toestand van gewichtloosheid is de spankracht de enige kracht. Zou die kracht geen rol spelen, dan was er niet eens een middelpuntzoekende kracht. Daarom speelt die kracht volgens mij bij een kromlijnige beweging een niet te verwaarlozen rol.

Goed, een grote spankracht S mag niet verwaarloosd worden. Groot betekent hier S ≥ λv². Voor een ronddraaiende gesloten cirkelvormige ketting is de spankracht S = λv².

Een grote constante spankracht S toevoegen aan het model verandert niet zoveel aan de berekening van #86.

De krachtenbalans wordt: m (v²-S/λ) / r = m g cos β .

De berekening en de oplossing blijven dan hetzelfde, behalve een nieuwe waarde voor k, namelijk k = g/(v²-S/λ).

De spankracht S is een leuke toevoeging aan het model omdat de onbekende S nu geschat kan worden op grond van de waargenomen boogbreedte. In #86 volgt uit het model dat de boogbreedte b = π/k is. Dus S = λ (v² - bg/π). Bij de video van Steve Mould [1] schat ik dat b = 0,10 m, v = 5 m/s en λ = 0.03 kg/m. Dus S = 0,7 N. Dat komt in de buurt van het geschatte gewicht van de dalende ketting, 0,5 N.

[Bartjes]

Maar het verschil tussen onze uiteindelijke formules, komt volgens mij doordat ik een andere kracht had gevonden voor het versnellen van de ketting

Ben benieuwd hoe je daarop gekomen bent.

De snelheid van de ketting doet het effect ontstaan. Alle wrijvingen zijn nadelig. Ik vermoed dat het helpt als je een beetje olie op de schakeltjes van de ketting aanbrengt.

Inmiddels kan ik het effect duidelijk demonstreren. Het is heel belangrijk de ketting in het juiste model beker te leggen. Het boogje moet zich vrij kunnen ontwikkelen zonder tegen de rand van de beker aan te slaan. En de hele ketting moet er liefst precies in passen. Een relatief hoge beker werkt beter dan een lage. En het beste leg je de ketting losjes in de beker door de ketting langzaam in de beker neer te laten.

[Bartjes]

@ jkien.

Ik moet je berekening nog eens goed bestuderen, mogelijk levert dat de ontbrekende schakel in het verhaal.

Onderstaande schetsje geeft de situatie van een infinitesimaal stukje ketting weer:

infinitesimaal-stukje-ketting 829 keer bekeken

v = de bewegingssnelheid van de ketting

S = de spankracht in de ketting

dG = het gewicht van het infinitesimale stukje ketting

dF_c = de centripetaalkracht op het infinitesimale stukje ketting

R = de kromtestraal van het infinitesimale stukje ketting

φ = de hoek voor de centripetaalkracht

[Bartjes]

We gaan uit van de volgende versimpelingen:

- De schakels van de ketting zijn oneindig klein.

- De dichtheid λ van de ketting is constant.

- De grootte van de snelheid v van de ketting is voor alle schakels tussen IV en III gelijk.

- De baan van de ketting kan worden beschreven met een tijdonafhankelijke functie y = f(x) .

[Bartjes]

We kunnen de krachten die er op het infinitesimale stukje ketting werken in twee stelsels A en B opsplitsen:

infinitesimaal-stukje-kettingA 829 keer bekeken

infinitesimaal-stukje-ketting-B 829 keer bekeken

Samen moeten de resultanten van deze krachtenstelsels de centripetale kracht dF_c(x) opleveren, de grootte van de snelheid v blijft immers tussen IV en III onveranderd.

Ook is het duidelijk dat de resultante van krachtenstelsel A de zelfde richting heeft als de centripetale kracht, bijgevolg moet dan ook de resultante van krachtenstelsel B de zelfde (of een exact tegengestelde) richting als de centripetale kracht hebben.

[Bartjes]

De tangentiële component van de resultante van krachtenstelsel A is nul.

Daarom moet de tangentiële component van de resultante van krachtenstelsel B ook nul zijn. Oftewel:

\( S'(x) . \mbox{d} x \, - \, \mbox{d} G(x) . \cos( \varphi(x) ) \, = \, 0 \)

\( S'(x) . \mbox{d} x \, - \, \sqrt{ ( \mbox{d} x)^2 + ( \mbox{d} y)^2 } \, . \lambda . \mbox{g} . \cos( \varphi(x) ) \, = \, 0 \)

\( S'(x) \, - \, \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right )^2 } \, . \lambda . \mbox{g} . \cos( \varphi(x) ) \, = \, 0 \)

(*) .

Verder hebben we:

\( \tan \left (\frac{\pi}{2} - \varphi(x) \right ) = \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \)

\( \frac{\pi}{2} - \varphi(x) = \arctan \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right ) \)

\( \varphi(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right ) \)

(**) .

[Wien Ee]

kogeltjesketting-2 824 keer bekeken

De kracht nodig voor het versnellen van de ketting, daar waar de ketting uit de pot wordt getrokken heb ik F_Agenoemd.

Om deze kracht te berekenen had ik een energievergelijking vergelijking opgesteld.

E = F_A * s

Dus de energie per seconde, ( het vermogen) is:

P = F_A * v , (1)

De ketting in de pot lag stil, de snelheid was nul. De snelheid als de ketting recht naar boven gaat is v:

E = 0,5 * m * v²

Om P te kunnen bepalen, voer ik een teken voor het massadebiet in:

φ [kg/s]

Dan is voor de energie per seconde, het vermogen te schrijven:

P = 0,5 * φ * v²

Het massadebiet is uit te drukken in het gewicht van de ketting en de snelheid:

φ = λ * v

Voor P is dus te schrijven:

P = 0,5 * λ * v³ , (2)

Vergelijking (1) en (2) opgelost, geeft:

F_A * v = 0,5 * λ * v³

Dus:

F_A = 0,5 * λ * v²

[Bartjes]

Zeer waarschijnlijk heeft confusie gelijk. Als ik de kracht zorgvuldiger bereken, kom ik op het zelfde resultaat. De aanpassing die ik daarvoor moet maken is dat aan de ketting de tijd wordt gegund om bij IV op snelheid te komen.

Stel dat het een tijdje

\( \tau \)

kost om een schakel van de ketting van rust naar snelheid v te versnellen. Dan vinden we voor de (gemiddelde) versnelling a:

\( a = \frac{v}{\tau} \)

.

Het stukje ketting dat deze versnelling ondervindt heeft een lengte s met:

\( s = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . a . \tau^2 \)

.

Dus de hoeveelheid massa m die wordt versneld is:

\( m = s . \lambda \)

.

Voor de gezochte kracht F_A geldt dan:

\( F_A = m . a \)

\( F_A = ( s . \lambda ) . a \)

\( F_A = \lambda . ( s . a ) \)

\( F_A = \lambda . ( {\scriptstyle \frac{1}{2}} . a . \tau^2 . a ) \)

\( F_A = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . ( \tau . a )^2 \)

\( F_A = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . ( \tau . \frac{v}{\tau} )^2 \)

\( F_A = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \)

.

[Bartjes]

Krachtenstelsel A levert een normale kracht ter grootte van:

\( 2 . S(x) . \sin \left ( \frac{ \mbox{d} \varphi(x) }{ 2 } \right ) \)

.

Krachtenstelsel B levert een normale kracht ter grootte van:

\( \mbox{d} G(x) . \sin ( \varphi(x) ) \)

.

Dus voor de totaal geleverde centripetaalkracht dF_c(x) vinden we:

\( \mbox{d} F_c(x) \, = \, 2 . S(x) . \sin \left ( \frac{ \mbox{d} \varphi(x) }{ 2 } \right ) \, + \, \mbox{d} G(x) . \sin ( \varphi(x) ) \)

.

Voor de in stationaire toestand vereiste centripetaalkracht dF_c(x) geldt:

\( \mbox{d} F_c(x) \, = \frac{ \mbox{d} m \, . \, v^2 }{ R(x) } \)

\( \mbox{d} F_c(x) \, = \frac{ \mbox{d}\varphi(x) \, . \, R(x) \, . \, \lambda \, . \, v^2 }{ R(x) } \)

\( \mbox{d} F_c(x) \, = \mbox{d}\varphi(x) \, . \, \lambda \, . \, v^2 \)

.

Omdat de geleverde centripetaalkracht in stationaire toestand gelijk moet zijn aan de voor een gelijkblijvend traject vereiste centripetaalkracht krijgen we:

\( 2 . S(x) . \sin \left ( \frac{ \mbox{d} \varphi(x) }{ 2 } \right ) \, + \, \mbox{d} G(x) . \sin ( \varphi(x) ) \, = \, \mbox{d}\varphi(x) \, . \, \lambda \, . \, v^2 \)

\( 2 . S(x) . \sin \left ( \frac{ \mbox{d} \varphi(x) }{ 2 } \right ) \, + \, \mbox{d} \varphi(x) . R(x) . \lambda . \mbox{g} . \sin ( \varphi(x) ) \, = \, \mbox{d}\varphi(x) \, . \, \lambda \, . \, v^2 \)

\( S(x) . \frac{ \sin \left ( \frac{ \mbox{d} \varphi(x) }{ 2 } \right )}{ \frac{\mbox{d} \varphi(x)}{2} } \, + \, R(x) . \lambda . \mbox{g} . \sin ( \varphi(x) ) \, = \, \lambda \, . \, v^2 \)

\( S(x) \, + \, R(x) . \lambda . \mbox{g} . \sin ( \varphi(x) ) \, = \, \lambda \, . \, v^2 \)

(***) .

[Bartjes]

Uit (*) en (**) volgt:

\( S'(x) \, - \, \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right )^2 } \, . \lambda . \mbox{g} . \cos \left ( \frac{\pi}{2} - \arctan \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right ) \right ) \, = \, 0 \)

\( S'(x) \, - \, \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right )^2 } \, . \lambda . \mbox{g} . \sin \left ( \arctan \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right ) \right ) \, = \, 0 \)

\( S'(x) \, - \, \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right )^2 } \, . \lambda . \mbox{g} . \frac{ \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } }{ \sqrt{ 1 + \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right )^2 } } \, = \, 0 \)

\( S'(x) \, - \, \lambda . \mbox{g} . \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \, = \, 0 \)

\( \frac{ \mbox{d} S}{ \mbox{d} x} \, - \, \lambda . \mbox{g} . \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \, = \, 0 \)

\( \frac{ \mbox{d} }{ \mbox{d} x} (S \, - \, \lambda . \mbox{g} . y ) \, = \, 0 \)

\( S(x) \, - \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, = \, C \)

.

Laten we y = 0 ter hoogte van IV (bakje A) aannemen, en wel precies daar waar de ketting net op snelheid is gekomen.

Daar is de spankracht S(x) in de ketting juist de eerder (her)berekende kracht F_A. Dus:

\( {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \, - \, \lambda . \mbox{g} . 0 \, = \, C \)

\( {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 = C \)

.

Zodat:

\( S(x) \, - \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \)

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \alpha) \)

.

[Bartjes]

Met behulp van de formule voor de kromtestraal en (**) vinden we:

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, \frac{ ( 1 + y'^2)^{\frac{3}{2}} }{ | y'' | } \, . \, \sin \left ( \frac{\pi}{2} - \arctan \left ( \frac{\mbox{d} y}{ \mbox{d} x } \right ) \right ) \)

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, \frac{ ( 1 + y'^2)^{\frac{3}{2}} }{ | y'' | } \, . \, \sin \left ( \frac{\pi}{2} - \arctan( y' ) \right ) \)

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, \frac{ ( 1 + y'^2)^{\frac{3}{2}} }{ | y'' | } \, . \, \cos \left ( \arctan ( y' ) \right ) \)

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, \frac{ ( 1 + y'^2) . \sqrt{ 1 + y'^2 } }{ | y'' | } \, . \, \frac{1}{ \sqrt{ 1 + y'^2 }} \)

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ | y'' | } \)

.

Het is aannemelijk dat voor een stationaire oplossing y'(x) een dalende functie is, oftewel dat y''(x) negatief is.

Daarom mogen we schrijven:

\( R(x) . \sin(\varphi(x)) \, = \, - \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } \)

.

Invullen in (***) geeft:

\( S(x) \, - \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \lambda . \mbox{g} \, = \, \lambda \, . \, v^2 \)

\( S(x) \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \lambda . \mbox{g} \, + \, \lambda \, . \, v^2 \,\,\,\, ( \beta ) \)

.