Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Wien Ee]

kogeltjesketting-3 852 keer bekeken

De resultante van de middelpuntvliedende spanningen in verticale richting noem ik F_RC

Het gewicht van de ketting in de boog had ik in eerdere berekeningen weggelaten. Die vereenvoudiging was niet terecht, het gewicht van de boog is niet klein, daarom zal ik het gewicht van de boog nu wel meenemen. De resultante van het gewicht van de boog noem ik F_RG

kogeltjesketting-4 850 keer bekeken

Eerder berekend: F_RC = 2 * λ * v²

Het gewicht van de ketting in de boog is: F_RG = λ * π * R * g

Ter vereenvoudiging van de berekening beschouw ik de situatie waarin de ketting niet verder stijgt of daalt. De som van de krachten in verticale richting is dan nul.

F_I + F_II = F_RC- F_RG = 2 λ * v²- λ * π * R * g

Vanuit symmetrie overwegingen ga ik er van uit dat: F_I = F_II

Dan:

F_I = F_II = λ * v²- 0,5 * λ * π * R * g

Het stukje ketting dat uit de pot wordt getrokken tot aan de boog vrijgemaakt:

kogeltjesketting-5 849 keer bekeken

F_h is het gewicht van dat stukje ketting.

F_h = λ * h * g

De kracht nodig om de ketting uit de pot te trekken is eerder berekend:

F_A = 0,5 * λ * v²

De ketting stijgt nog daalt. De som van de krachten in verticale richting is dan nul.

F_I = F_h+ F_A

De vergelijking ingevuld:

λ * v²- 0,5 * λ * π * R * g = λ * h * g + 0,5 * λ * v²

Ofwel:

v² = 2 * h * g + π * R * g , (1)

Het stuk ketting vanaf de boog tot aan de grond:

kogeltjesketting-6 853 keer bekeken

F_H is het gewicht van de ketting die tot aan de grond hangt.

F_H = λ * H * g

De ketting stijgt nog daalt. De som van de krachten in verticale richting is dan nul.

F_II = F_H

De vergelijking ingevuld:

λ * v²- 0,5 * λ * π * R * g = λ * H * g

Ofwel:

v² = H * g + 0,5 * π * R * g , (2)

Uit vergelijkingen (1) en (2) volgt:

H = 2h + 0,5 R, (3)

ketting4 851 keer bekeken

De afstand van de pot tot de vloer is, d.

d = H - h

Gebruikmakend van de vergelijking (3) is dan voor h te schrijven:

h = d - 0,5 * R

De hoogte h is moeilijk meetbaar. De maximale hoogte die de ketting uit de pot komt is veel beter meetbaar. De hoogte die de ketting uit de pot komt, heb ik t genoemd.

t = h + R

Dus:

t = d + 0,5 * R

Uit mijn berekeningen volgt, waarmee deze berekening praktisch te valideren is:

• de ketting komt hoger uit de pot als de afstand tot de grond groter is.
• de ketting komt hoger uit de pot als de radius groter is.

[Michel Uphoff]

de ketting komt hoger uit de pot als de radius groter is.

Als ik het filmpje uit een vorig bericht klik bekijk, lijkt dat nog de vraag.

[Bartjes]

@ confusie.

Ik ben het niet stap voor stap nagelopen, maar het ziet er netjes uit. Alleen het verdwijnen van de π in de afleiding is vreemd.

[Wien Ee]

Je hebt gelijk.

Uit vergelijkingen (1) en (2) volgt:

H = 2h + 0,5 * π * R, (3)

Wat doorwerkt in de andere vergelijkingen. Die dan worden:

h = d - 0,5 * π * R

En:

t = d - 0,5 * π * R + R

Ofwel:

t = d + (1 - 0,5 * π) * R

Is ongeveer:

t = d - 0,57 * R

Als er geen wrijving zou zijn, dan zou de ketting tot ver boven de pot uit moeten komen. Nog veel hoger dan het filmpje laat zien, volgens mijn berekening.

Mijn eerdere verwachting, dat de ketting hoger uit de pot komt, als de radius groter is, gaat niet meer op.

Uit mijn verbeterde berekeningen volgt nu:

• de ketting komt hoger uit de pot als de afstand tot de grond groter is.
• de ketting komt minder hoog uit de pot als de radius groter is.

[Bartjes]

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \alpha) \)

.

\( S(x) \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \lambda . \mbox{g} \, + \, \lambda \, . \, v^2 \,\,\,\, ( \beta ) \)

.

Combinatie van (α) en (β) geeft:

\( \lambda . \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \lambda . \mbox{g} \, + \, \lambda \, . \, v^2 \)

\( \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . v^2 \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \mbox{g} \, + \, v^2 \)

\( \mbox{g} . y(x) \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } . \mbox{g} \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . v^2 \)

\( y(x) \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } \, + \, \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \)

\( y(x) - \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \, = \, \frac{ 1 + y'^2 }{ y'' } \)

\( \left ( y(x) - \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \right ) . \, y'' \, = \, 1 + y'^2 \)

\( \left ( y(x) - \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \right ) . \, y'' \, - \, y'^2 \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \gamma ) \)

[Bartjes]

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \alpha) \)

.

Bij III (bakje B) hebben we y = -d en S(x) = 0. Zodat:

\( 0 \, = \, \lambda . \mbox{g} . (- \mbox{d}) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \)

\( 0 \, = \, - \mbox{g} . \mbox{d} \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . v^2 \)

\( \mbox{g} . \mbox{d} \, = \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . v^2 \)

\( \mbox{d} \, = \, \frac{ v^2 }{ 2 . \mbox{g} } \,\,\,\, ( \delta ) \)

.

[Bartjes]

\( \left ( y(x) - \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \right ) . \, y'' \, - \, y'^2 \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \gamma ) \)

\( \mbox{d} \, = \, \frac{ v^2 }{ 2 . \mbox{g} } \,\,\,\, ( \delta ) \)

.

Combinatie van (γ) en (δ) levert:

\( ( y(x) - \mbox{d} ) . \, y'' \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \varepsilon ) \)

.

En nu gaat het mij toch echt boven de pet. Welke wiskundeknobbel heeft hier de oplossing van? Is dit een bekende differentiaalvergelijking?

(WolframAlpha geeft een raar resultaat.)

[Michel Uphoff]

@Confusie: t = d - 0,57 * R

In woorden: De lengte van het stijgende deel is bij grotere hoogten vrijwel gelijk aan de hoogte van het dalende deel. R is immers op alle filmpjes minder dan ruwweg 10 centimeter, en die 5,7 cm verschil maakt op 10 meter hoogte weinig uit.

Dat zou dus betekenen dat in een wrijvingsloze situatie de massa van het stijgende deel maar een heel klein beetje minder is dan de massa van het dalende deel van de ketting, en omdat het een (bijna) starre ketting is, is ook de snelheid van het stijgende deel vrijwel gelijk aan de snelheid van het dalende deel.

Bij elkaar is dit zeer onwaarschijnlijk, want dan kan de versnelling van de totale ketting alleen maar veroorzaakt worden door het minieme massaverschil tussen het stijgende en dalende deel. Dat massaverschil is heel veel te klein om de waargenomen versnelling van de ketting te verklaren. De massaverhouding tussen 0,57R en 10 meter stijgende en 10 meter dalende ketting is ongeveer 1:3500, daar komt een onmogelijk lage versnelling uitrollen).

Tevens zou dit moeten leiden tot de volgende waarneming: Omdat R volgens de filmpjes vrijwel continue is, neemt naar verhouding de massa van het stukje van 0,57R lengte tot de hele bewegende ketting af naarmate de ketting langer is en de te versnellen massa dus toeneemt. Ergo de versnelling zou moeten afnemen bij toenemende bewegende kettinglengte c.q. -massa.

[Bartjes]

@ Michel Uphoff. In de stationaire situatie heb je alleen in de bakjes en bij het boogje versnellingen.

[Michel Uphoff]

Wat bedoel je met stationaire situatie?

De ketting versnelt natuurlijk wel, want de beginsnelheid is 0 en de eindsnelheid > 0. Die energie moet ergens vandaan komen. Als het stijgende deel vrijwel gelijke massa en snelheid heeft als het dalende deel heft dat elkaar nagenoeg op, en kan de ketting als geheel nauwelijks versnellen.

Die energie kan alleen uit het massaverschil tussen het dalende deel en het stijgende deel voortkomen.

[Bartjes]

Wat bedoel je met stationaire situatie?

De situatie waarbij het bewegende deel van de ketting overal een gelijke snelheid v heeft, afgezien van het versnellen en afremmen bij de bakjes.

De ketting versnelt natuurlijk wel, want de beginsnelheid is 0 en de eindsnelheid > 0. Die energie moet ergens vandaan komen. Als het stijgende deel vrijwel gelijke massa en snelheid heeft als het dalende deel heft dat elkaar nagenoeg op, en kan de ketting als geheel nauwelijks versnellen.

Die energie kan alleen uit het massaverschil tussen het dalende deel en het stijgende deel voortkomen.

De energie wordt inderdaad geleverd door de afname van potentiële energie van de schakels van de ketting die vanuit het bovenste bakje via een omweg omhoog in het benedenste bakje belanden. In een eerder berichtje heb ik al een dergelijke berekening gemaakt:

http://www.wetenscha...post__p__965568

Daar vond ik:

\( h = H - \frac{\mbox{v}^2}{2 \mbox{g}} \)

Misschien kun je daar iets mee?

[Bartjes]

http://www.javaview....ices/odeSolver/

Op bovenstaande site heb ik onderstaande plaatje geschoten:

plaatje 853 keer bekeken

Dat is een oplossing van deze DV (voor d=4):

\( ( y(x) - \mbox{d} ) . \, y'' \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \varepsilon ) \)

.

Voor een baan van de ketting ziet dat er heel aardig uit.

[Wien Ee]

t = d - 0,57 * R

In woorden: De lengte van het stijgende deel is bij grotere hoogten vrijwel gelijk aan de hoogte van het dalende deel. ...

Dat volgt toch niet uit de vergelijking?

ketting5 848 keer bekeken

Met het "stijgende deel", bedoel je neem ik aan de hoogte t.

Met het "dalende deel", bedoel je neem ik aan de afstand d + t.

De verhouding "stijgend deel" / "dalend deel" is dan:

t / (d +t)

De vergelijking die ik had afgeleid hierin ingevuld, geeft:

(d - 0,57 * R) / (d + d - 0,57 * R)

Dat is:

(d - 0,57 * R) / (2 * d - 0,57 * R)

Als R in verhouding zo klein is, dat die kan worden verwaarloosd, dan:

d / (2 * d) = 1/2

Het dalend deel is dan 2 maal zo lang als het stijgend deel.

[Michel Uphoff]

Het dalend deel is dan 2 maal zo lang als het stijgend deel.

Je hebt gelijk, ik keek verkeerd. Het lijkt dus nogal op de Atwood machine.

Dan zou de versnelling altijd gelijk zijn aan ruwweg 3,3 m/s bij grotere lengtes (verwaarlozing van dat kleine stukje ,57R en wrijving). Dat lijkt realistischer.

In de praktijk blijkt echter volgens voorgaande berichten dat de stijging ongeveer 1/10 bedraagt van de valhoogte. Dat is nogal een verschil om geheel aan wrijving toe te wijzen.

Met een lange ketting en wat markers op vaste afstanden en een filmopname zou het redelijk eenvoudig te verifiëren moeten zijn.

[Bartjes]

Dan zou de versnelling altijd gelijk zijn aan ruwweg 3,3 m/s bij grotere lengtes (verwaarlozing van dat kleine stukje ,57R en wrijving).

Even voor de duidelijkheid: ga je er vanuit dat de snelheid v van de ketting voortdurend toeneemt?