Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Michel Uphoff]

Het lijkt mij dat zolang de ketting de grond niet geraakt heeft de snelheid van de ketting toe moet blijven nemen, en dat deze stabiliseert als de ketting de grond raakt. Dan is ook de hoogste positie van het boogje bereikt en wel stabiel even ver boven de pot als de pot boven de grond staat. Als de vergelijking van Confusie van toepassing is.

Na het raken van de grond gaat de vergelijking met de Atwood machine niet meer op. Maar nu ik er over doordenk, gaat die vergelijking waarschijnlijk ook mank in het voorgaande stadium waarin de boog steeds hoger rijst.

Lastiger te doorgronden dan het lijkt.

Ik ga het eens proberen grondig te testen en meten, zal een voorstel maken en dan kunnen jullie op die proefopstelling en voorgenomen metingen schieten.

[Bartjes]

Combinatie van (γ) en (δ) levert:

\( ( y(x) - \mbox{d} ) . \, y'' \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \varepsilon ) \)

.

En nu gaat het mij toch echt boven de pet. Welke wiskundeknobbel heeft hier de oplossing van? Is dit een bekende differentiaalvergelijking?

(WolframAlpha geeft een raar resultaat.)

Maar het bloed kruipt waar het niet gaan kan...

Laat (voor d ≠ 0):

\( \mbox{g}(x) = \mbox{d} . \mbox{f} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \)

.

Zodat:

\( \mbox{g}'(x) = \mbox{d} . \mbox{f}' \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) . \frac{1}{\mbox{d}} \)

\( \mbox{g}'(x) = \mbox{f}' \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \)

.

\( \mbox{g}''(x) = \mbox{f}'' \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) . \frac{1}{\mbox{d}} \)

.

En laat y = g(x) een oplossing voor de differentiaalvergelijking (ε) zijn.

Dan geldt:

\( ( \mbox{g}(x) - \mbox{d} ) . \, \mbox{g}''(x) \, - \, \mbox{g}'^{\,2}(x) \, - \, 1\, = \, 0 \)

\( \left ( \mbox{d} . \mbox{f} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) - \mbox{d} \right ) . \, \mbox{f}'' \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) . \frac{1}{\mbox{d}} \, - \, \mbox{f}'^{\,2} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \, - \, 1\, = \, 0 \)

\( \left ( \mbox{f} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) - 1 \right ) . \, \mbox{f}'' \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \, - \, \mbox{f}'^{\,2} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \, - \, 1\, = \, 0 \)

.

Omdat deze vergelijking voor alle waarden van x opgaat, geldt eveneens:

\( ( \mbox{f}(x) - 1 ) . \, \mbox{f}''(x) \, - \, \mbox{f}'^{\,2} (x) \, - \, 1\, = \, 0 \)

.

Conclusie: Alle oplossingen y = g(x) van differentiaalvergelijking (ε) kunnen worden geschreven als

\( y = \mbox{d} . \mbox{f} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \right ) \)

waarin y = f(x) een oplossing van onderstaande (zuiver wiskundige) differentiaalvergelijking (ζ) is.

\( ( y(x) - 1 ) . \, y''(x) \, - \, y'^{\,2} (x) \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, (\zeta) \)

.

Voor de differentiaalvergelijking (ζ) geeft WolframAlpha de oplossingen:

http://www.wolframal...9%5E2+-+1+%3D+0

Edit: Klopt die oplossing van WolframAlpha wel?

[Michel Uphoff]

Stel, ik zorg voor 50 meter elastisch koord zoals dit:

elastisch-koord-3mm 720 keer bekeken

Dat spul kan 100% rekken voor de mantel verdere rek verhindert.

Voor de metingen bepaal en doe ik het volgende:

Meet afstand tussen de streepjes in rust.

Bepaal de massa van het koord per lengte-eenheid.

Zet in een grafiekje het percentage rek onder verschillende krachten uit.

Zet om de 5 meter een marker op het koord (een strikje of zo).

Vervolgens laat ik het koord vallen van 3, 12 en 25 meter hoogte (binnenkort in Kroatië geen probleem, waarschijnlijk kan ik ook 50 meter laten vallen), en leg de resultaten op video vast.

Ik denk dan aan laten vallen uit een lage en hoge gladde pot, maar ook gewoon vanaf een plat vlak.

Verticaal zet ik een meetlat zodat de werkelijke stijghoogte kan worden vastgesteld.

Tevens maakt ik voldoende foto's met een zo kort mogelijke sluitertijd, waarmee hopelijk de afstand tussen de streepjes op verschillende punten (net uit de pot, van het hele boogje en als het lukt ook andere stukken van het stijgende en dalende koord) kan worden vastgesteld.

Dan lijkt het mij dat er genoeg informatie te verkrijgen moet zijn over:

- de snelheid en versnelling van het koord bij verschillende hoogtes en tijdstippen

- de optredende trekkrachten op cruciale punten

- verhouding tussen hoogte pot boven de grond en hoogte boogje

- verschillen in versnelling en krachten bij vrij vallend koord en koord dat al de grond raakt

Wrijving lijkt mij de grote onbekende blijven, en mogelijk is die bij zo'n stuk elastiek vrij groot.

Zou dit zo voldoende informatie opleveren? Zijn er andere suggesties, verbeteringen?

[Bartjes]

Het belangrijkste is dat je scherpe opnames kunt maken. Een kralenketting met bijpassende mok heb ik zelf ook al gescoord, maar met het blote oog alleen kan ik net zien dat er inderdaad een boogje optreedt. Voor de verdere details gaat het hele proces veel te snel.

Edit: Hoe buigzaam is dat koord? Een kralenketting kan je losjes in een beker neerlaten, ik vraag mij af of dat met het koord van je afbeelding ook gaat.

[Michel Uphoff]

Vandaar dat ik het buiten in de volle zon wil doen, zodat ik sluitertijden van 1/4000 kan halen. Bij 10 m/s is er dan nog 2,5 mm bewegingsonscherpte, maar waarschijnlijk is dat voldoende om de streepjes nog te kunnen zien.

[317070]

Zou dit zo voldoende informatie opleveren? Zijn er andere suggesties, verbeteringen?

Ik vermoed dat het bij touw niet gaat werken. Ik ben er altijd van uitgegaan dat het een kralenketting moet zijn, om een niet-gladde kracht-afstand grafiek te hebben. Met touw gaat het volgens mij dus niet lukken.

[Michel Uphoff]

Zal dit weekend eens kijken of ik wat glad en niet al te licht koord op de kop kan tikken.

Jij vermoedt dat het schuiven van de kogeltjes over de asjes en de botsingen tussen de kogeltjes het lanceermechanisme opleveren?

[jkien]

t = d - 0,57 * R

Uit mijn verbeterde berekeningen volgt nu:

• de ketting komt hoger uit de pot als de afstand tot de grond groter is.
• de ketting komt minder hoog uit de pot als de radius groter is.

Ik blijf het een wonderlijk idee vinden dat het middelpuntvliedende effect een opwaartse kracht oplevert die de boog optilt, maar je model geeft inderdaad aan dat er evenwicht mogelijk is. Alleen is het niet duidelijk welk evenwicht stabiel is. Het model geeft een evenwicht voor elke tophoogte t < d. Het stabiele evenwicht is de oplossing met de laagste energie. De energie van de ketting is E_tot = E_p + E_k = ½λ [(h²+H² + ½πR²)g + (h+H+πR)v²] = ½λ [(h²+(h+d)² + ½πR²)g + (2h+d+πR)v²] waarbij R = 2(d-h)/π. Stel dat de energie minimaal is bij h = h_min, dan zou elke andere 'evenwichts'oplossing uiteindelijk in elkaar zakken tot de h_min oplossing.

Je model is trouwens ook toepasbaar op water dat door een hevel stroomt, als de wrijving in de hevel verwaarloosbaar is, want het model bevat geen lancering met afzet, alleen trekkracht.

[317070]

Jij vermoedt dat het schuiven van de kogeltjes over de asjes en de botsingen tussen de kogeltjes het lanceermechanisme opleveren?

Yep. Het touw vertraagt in de top, de kogeltjes botsen of willen op een bepaald moment niet meer voldoende samendrukken, het wordt naar boven geduwd.

Heb het hier net even met parachutekoord geprobeerd, maar kreeg er niets nuttigs uit. Het bleef gewoon liggen op de rand van mijn glas, hoe hoog ik het ook hield.

Ik zou eerder zoiets zoeken: http://beslist.de-speelgoedwinkel.nl/?zilveren-kerst-slingers-met-kralen-speelgoedwinkel-10035974.html&page=list-details

[Bartjes]

In mijn afleidingen merkte ik steeds dat er nog een gegeven ontbrak om een volledig beeld van de stationaire situatie te krijgen. Onderstaande video deed bij mij het kwartje vallen:

http://www.youtube.c...h?v=1Y-lD_P3VN8

We hebben niet alleen d en de startpositie nodig, maar ook de startrichting! Ik heb zelf ook nog even met mijn eigen kralenketting geëxperimenteerd. Resultaat: met een duidelijk gegeven startrichting krijg je een prachtig boogje. In het geval van een (nagenoeg) loodrechte startrichting echter zijn de fluctuaties overheersend.

[jkien]

Yep. Het touw vertraagt in de top, de kogeltjes botsen of willen op een bepaald moment niet meer voldoende samendrukken, het wordt naar boven geduwd.

Is dat zo? Een ketting is anders dan losse kogeltjes. In een stationnaire oplossing is de snelheid langs de hele ketting gelijk. In de top worden de kogeltjes maximaal uit elkaar getrokken, de spankracht is er het grootst.

[Bartjes]

We hebben de differentiaalvergelijking:

\( ( y(x) - \mbox{d} ) . \, y'' \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \varepsilon ) \)

Daarvoor zoeken we een oplossing die start in de oorsprong O en eindigt op y = -d.

In het opgaande traject OT (van bakje A naar de top) neemt x dan gedurig toe van 0 tot x_top ; neemt y gedurig toe van 0 tot y_top ; en neemt y' gedurig af van y'₀ tot 0.

In het neergaande traject NT (van de top naar bakje B) neemt x dan gedurig verder toe van x_top tot x_eind ; neemt y gedurig af van y_top tot -d ; en neemt y' gedurig verder af van 0 tot y'_eind .

Op het traject OT laten x, y en y' zich derhalve al naar het uitkomt als onafhankelijke of afhankelijke variabele beschouwen. En ook op het traject NT laten x, y en y' zich al naar het uitkomt als onafhankelijke of afhankelijke variabele beschouwen.

Zowel voor het traject OT als voor het traject NT kunnen we dan uit (ε) afleiden dat:

\( ( y - \mbox{d} ) . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} x} \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \)

\( ( y - \mbox{d} ) . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} y} . \frac{\mbox{d} y}{\mbox{d} x} \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1\, = \, 0 \)

\( ( y - \mbox{d} ) . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} y} . y' \, - \, y'^{\,2} \, - \, 1 \, = \, 0 \)

\( ( y - \mbox{d} ) . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} y} . y' \, = \, y'^{\,2} \, + \, 1 \)

\( y' . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} y} \, = \, \frac{y'^{\,2} \, + \, 1}{ y - \mbox{d} } \)

\( \frac{y'}{ y'^{\,2} \, + \, 1 } . \, \frac{\mbox{d} y'}{\mbox{d} y} \, = \, \frac{1}{ y - \mbox{d}} \)

\( \frac{y'}{ y'^{\,2} \, + \, 1 } . \mbox{d} y' \, = \, - \frac{1}{ \mbox{d} - y } . \mbox{d} y \)

\( \int \frac{y'}{ y'^{\,2} \, + \, 1 } \,\, \mbox{d} y' \, = \, \int - \frac{1}{ \mbox{d} - y } \,\, \mbox{d} y \)

\( \ln ( \sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} ) + \mbox{C}_1 = \ln(\mbox{d} - y) + \mbox{C}_2 \)

\( \ln ( \sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} ) - \ln(\mbox{d} - y) \, = \, \mbox{C}_3 \)

\( \ln \left ( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} }{\mbox{d} - y} \right ) \, = \, \mbox{C}_3 \)

\( \frac{ \sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} }{\mbox{d} - y} \, = \, \mbox{C}_4 \)

.

Derhalve hebben we voor OT gevonden dat:

\( \frac{ \sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} }{\mbox{d} - y} \, = \, \mbox{C}_{OT} \)

.

En voor NT dat:

\( \frac{ \sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1} }{\mbox{d} - y} \, = \, \mbox{C}_{NT} \)

.

Voor y' = 0 zitten we aan de top (x_top,y_top) van het traject waar OT in NT overgaat. Daar vinden we:

\( \frac{1}{\mbox{d} - y_{top}} \, = \, \mbox{C_{OT}} \)

,

\( \frac{1}{\mbox{d} - y_{top}} \, = \, \mbox{C}_{NT} \)

.

Dus zijn de twee constanten C_OT en C_NT gelijk, en geldt voor het hele traject van bakje A naar bakje B dat:

\( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - y} \, = \, \mbox{C} \)

.

Voor het startpunt (x,y) = (0,0) hebben we y' = y'₀ . Zodat:

\( \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - 0} \, = \, \mbox{C} \)

\( \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \, = \, \mbox{C} \)

.

Voor het hele traject geldt derhalve:

\( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - y} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \,\,\,\, (\eta)\)

.

[317070]

Is dat zo? Een ketting is anders dan losse kogeltjes. In een stationnaire oplossing is de snelheid langs de hele ketting gelijk. In de top worden de kogeltjes maximaal uit elkaar getrokken, de spankracht is er het grootst.

[Michel Uphoff]

@ 317070: Met touw gaat het volgens mij dus niet lukken.

Zojuist de proef op de som genomen. Van 7,5 meter hoogte 30 meter touw uit een pan laten vallen.

Wel een boogje (volgens verwachting), maar geen spoor van 'rechte klimming'.

Omdat het touw nogal licht en redelijk stug was heb ik er later een gewicht van een kilo aan geknoopt in de hoop dat de sterkere versnelling mogelijk een stijging van het boogje op zou leveren (linker fotootje), maar ook dat gebeurde niet:

Boogje 721 keer bekeken

Het vermoeden dat dit effect alleen optreedt bij bolletjeskettingen of soortgelijke kettingen waarbij er sprake is van vrije beweging en botsingen, een schoksgewijs verloop, lijkt dus bevestigd.

Nu de achterliggende theorie en formules nog..

[Bartjes]

Voor het hele traject geldt derhalve:

\( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - y} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \,\,\,\, (\eta)\)

.

We passen (voor d ≠ 0) de volgende substituties toe:

\( z = \frac{y}{\mbox{d}} \,\,\, \& \,\,\, u = \frac{x}{\mbox{d}} \)

.

Zodat:

\( y = \mbox{d} .z \,\,\, \& \,\,\, x = \mbox{d} . u \)

.

En verder:

\( y' = \frac{\mbox{d} y}{\mbox{d} x} \)

\( y' = \frac{\mbox{d} y}{\mbox{d} u} \, . \, \frac{\mbox{d} u}{\mbox{d} x} \)

\( y' = \mbox{d} . \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \, . \, \frac{1}{\mbox{d}} \)

\( y' = \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \)

.

De differentiaalvergelijking (η) laat zich nu schrijven als:

\( \frac{ \sqrt{ \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, + \, 1}}{\mbox{d} \, - \, \mbox{d} . z} \, = \, \frac{\sqrt{ \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0}^2 \, + \, 1}}{\mbox{d}} \)

\( \frac{ \sqrt{ \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, + \, 1}}{1 - z} \, = \, \sqrt{ \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0}^2 \, + \, 1} \)

\( \sqrt{ \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, + \, 1} \, = \, \sqrt{ \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0}^2 \, + \, 1} \,\,\, . \,\, (1 - z) \)

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, + \, 1 \, = \, \left ( \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0}^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \)

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0}^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (\theta) \)

De bovenstaande differentiaalvergelijking is analytisch wel op te lossen. Ik ben daar vandaag een heel eind mee gevorderd, maar helaas wordt dat een enorme formulebrei waar hier niemand op zit te wachten. Daarom geef ik de oplossing een naampje en ga daar mee verder. De oplossing van onderstaande zuiver wiskundige (want dimensieloze) differentiaalvergelijking (*) die als beginpunt (u,z) = (0,0) heeft, die met een positieve afgeleide dz/du start en als positieve constante c bevat schrijven we als z = boog(u;c) :

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*) \)

Daar zijn numeriek voor karakteristieke waarden van c vast nog wel mooie plaatjes van te maken.

Stel verder dat de boogfunctie (als plaatje) gegeven is. Dan levert dat als oplossing van (θ) en vervolgens van (η) :

\( z = \mbox{boog} \left ( u \, ; \, \left (\frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )_{u=0} \,\right ) \)

\( \frac{y}{\mbox{d}} = \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \)

\( y = \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \,\,\,\, (\iota) \)

.