Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . y(x) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \alpha) \)

.

Invullen van formule (ι) geeft:

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \kappa ) \)

.

[Bartjes]

Zojuist de proef op de som genomen. Van 7,5 meter hoogte 30 meter touw uit een pan laten vallen.

Wel een boogje (volgens verwachting), maar geen spoor van 'rechte klimming'.

Rechte klimming volgt ook niet uit mijn formules. Je kan de startrichting in zekere mate beïnvloeden door de beker schuin te houden of een hoge beker met smalle opening te gebruiken. De experimenten met mijn kralenketting werkte het beste wanneer ik een hoge en smalle beker gebruikte, vermoedelijk omdat dan de fluctuaties gedempt worden.

Omdat het touw nogal licht en redelijk stug was heb ik er later een gewicht van een kilo aan geknoopt in de hoop dat de sterkere versnelling mogelijk een stijging van het boogje op zou leveren (linker fotootje), maar ook dat gebeurde niet:

[attachment=13776:Boogje.jpg]

Het vermoeden dat dit effect alleen optreedt bij bolletjeskettingen of soortgelijke kettingen waarbij er sprake is van vrije beweging en botsingen, een schoksgewijs verloop, lijkt dus bevestigd.

Voor de stationaire baan zijn "vrije beweging en botsingen, een schoksgewijs verloop" enkel hinderlijk, theoretisch kan de boog immers al verklaard worden vanuit een ideaal kettingmodel.

Nu de achterliggende theorie en formules nog..

Die heb ik al:

\( \mbox{d} \, = \, \frac{ v^2 }{ 2 . \mbox{g} } \,\,\,\, ( \delta )\)

\( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - y} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \,\,\,\, (\eta)\)

(Hieruit is y_top ook te berekenen.)

De oplossing van de hieronderstaande zuiver wiskundige (want dimensieloze) differentiaalvergelijking (*) die als beginpunt (u,z) = (0,0) heeft, die met een positieve afgeleide dz/du start en als positieve constante c bevat schrijven we als z = boog(u;c) :

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*) \)

\( y = \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \,\,\,\, (\iota) \)

\( S(x) \, = \, \lambda . \mbox{g} . \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \, + \, {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \,\,\,\, ( \kappa ) \)

Het enige dat er nog aan ontbreekt is een mooi plaatje van de boogfunctie, en een onderbouwde schatting van in de praktijk optredende verliezen.

Overigens gelden de tot nu toe ontwikkelde modellen enkel voor "koorden" van een oneindige soepelheid, dus zeker niet voor een stug touw. De resultaten die je daarmee vindt zullen daarom waarschijnlijk afwijken van het kralenkettingenverhaal.

[Michel Uphoff]

Geven jouw formules (ik heb de ontwikkeling ervan niet gevolgd) dus een verklaring voor het stijgen van het boogje?

Heb je ook een verklaring waarom die stijghoogte bij een bolletjesketting zeer aanmerkelijk is, terwijl die bij een touw nul lijkt te blijven?

Kan je een praktische doorrekening doen, bijvoorbeeld met de gegevens die ik in #86 heb gebruikt?

[Bartjes]

Geven jouw formules (ik heb de ontwikkeling ervan niet gevolgd) dus een verklaring voor het stijgen van het boogje?

Ik ben bij mijn afleidingen uitgegaan van een geïdealiseerde ketting, en daarop heb ik de bekende wetten van de dynamica toegepast. De ketting moet volgens Newtons wetten in het stationaire geval dus de gevonden vorm hebben.

We kunnen y_top voor het ideale (verliesvrije) geval vinden uit:

\( \frac{\sqrt{y'^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d} - y} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \,\,\,\, (\eta) \)

Aan de top geldt immers y'= 0, zodat:

\( \frac{\sqrt{0^2 \, + \, 1}}{\mbox{d} - y_{top}} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \)

\( \frac{1}{\mbox{d} - y_{top}} \, = \, \frac{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}}{\mbox{d}} \)

\( \mbox{d} - y_{top} \, = \, \frac{\mbox{d}}{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}} \)

\( y_{top} - \mbox{d} \, = \, \frac{ - \mbox{d}}{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}} \)

\( y_{top} \, = \, \mbox{d} \, - \, \frac{ \mbox{d}}{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}} \)

\( y_{top} \, = \, \mbox{d} . \left ( 1 \, - \, \frac{ 1 }{\sqrt{y'_0^{\,2} \, + \, 1}} \right ) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ( \lambda ) \)

.

Hierin is y'₀ de helling van de ketting vlak boven bakje A, dus wanneer de ketting net op snelheid is.

Heb je ook een verklaring waarom die stijghoogte bij een bolletjesketting zeer aanmerkelijk is, terwijl die bij een touw nul lijkt te blijven?

Bij een stug touw treden interne krachten op die zich tegen buiging verzetten, bij een (ideale) ketting heb je zulke krachten niet. Ik kan moeilijk overzien hoe mijn formules eruit zouden komen te zien wanneer ik dergelijke stugheidskrachten in rekening zou brengen. De gemaakte afleidingen zijn op een touw in elk geval niet van toepassing.

Kan je een praktische doorrekening doen, bijvoorbeeld met de gegevens die ik in #86 heb gebruikt?

Praktische berekeningen aan afzonderlijke kogeltjes zijn in mijn model niet mogelijk omdat de kogeltjes oneindig klein zijn verondersteld. Wel kan je de spankracht en snelheid berekenen.

[Bartjes]

De oplossing van de hieronderstaande zuiver wiskundige (want dimensieloze) differentiaalvergelijking (*) die als beginpunt (u,z) = (0,0) heeft, die met een positieve afgeleide dz/du start en als positieve constante c bevat schrijven we als z = boog(u;c) :

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*) \)

Ik heb niet de middelen om het gevraagde plaatje (voor bijvoorbeeld c = 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4 en 8) te maken. Ook op het internet vond ik geen makkelijke tool om dat voor elkaar te krijgen. Wie weet raad?

[Bartjes]

\( \left ( y(x) - \frac{ v^2 }{2 . \mbox{g}} \right ) . \, y'' \, - \, y'^2 \, - \, 1\, = \, 0 \,\,\,\, ( \gamma ) \)

Vergelijk dat eens met de formule in:

http://nl.wikipedia....#Cateno.C3.AFde

Direct boven "Geschiedenis van de kettinglijn". Wellicht kan de boog als de combinatie van een kettinglijn en nog een andere kromme geschreven worden? Maar het is nu te laat om dat uit te zoeken, morgen weer een dag.

[Marko]

Het verschil tussen jouw vergelijking en die van de kettinglijn is de term die al eerder afleidde voor het verband tussen h en v.

Dat lijkt me inderdaad een juiste beschrijving voor de constructie die je tekent (een kettinglijn stelde ik overigens al eerder voor ). Het boogje is een ketting, met het verchil dat de punten waar de ketting gefixeerd is een snelheid meegeven aan de ketting.

De vraag is wel (nog steeds) in hoeverre die beschrijving reëel is voor deze situatie; in de daadwerkelijke situatie is de ketting immers niet gefixeerd.

Hoe dan ook, het kan nuttig zijn om even verder te kijken in deze richting. Op de Engelstalige wiki-pagina staan ook afleidingen voor elastische kettingen en kettingen onder de invloed van een kracht.

[Bartjes]

Volgens mij is het probleem ondergedetermineerd wanneer we de startrichting van de ketting niet vastleggen. Je kan door het gebruik van een schuin gehouden hoge beker deze startrichting sturen. De hoogte die de ketting haalt is daar duidelijk van afhankelijk.

Wanneer je het de ketting "zelf uit laat zoeken" gaan fluctuaties ook een grotere rol spelen. Die fluctuaties brengen sowieso met zich mee dat stationaire berekeningen maar een beperkte geldigheid hebben.

P.S. De analogie met de kettinglijn is toch lastiger te gebruiken dan ik aanvankelijk dacht, de beginvoorwaarden moeten ook blijven kloppen...

[Marko]

Laat asjeblieft die fluctuaties buiten beschouwing. Ze zijn er wel, maar ze treden op rond een bepaalde evenwichtstoestand, en die evenwichtstoestand is heel duidelijk: de maximumhoogte van de ketting ligt hoger dan de rand van de bak waar hij eerst op lag. Dát fenomeen is wat je zou moeten willen beschrijven.

Bovendien is het meest relevante verschil tussen een gefixeerde en een niet-gefixeerde ketting niet, dat er wel of geen fluctuaties kunnen optreden, maar dat de ketting wel of niet zijn hoogte-energie kan minimaliseren door de uiteindes te bewegen.

De startrichting kun je er volgens mij ook beter uitlaten. Die heeft wel invloed, maar voor allerlei startrichtingen is het effect zichtbaar, en de startrichting op zich is geen verklaring voor het fenomeen dat optreedt.

[Bartjes]

Laat asjeblieft die fluctuaties buiten beschouwing. Ze zijn er wel, maar ze treden op rond een bepaalde evenwichtstoestand, en die evenwichtstoestand is heel duidelijk: de maximumhoogte van de ketting ligt hoger dan de rand van de bak waar hij eerst op lag. Dát fenomeen is wat je zou moeten willen beschrijven.

Het is helemaal niet gezegd dat de fluctuaties rond de evenwichtstoestand optreden. De vorm van het kettingtraject wordt door de fluctuaties immers grondig verstoord.

De verklaring waarom de ketting boven de rand van de bak uitkomt is heel eenvoudig: als de ketting eerst naar boven over rand en dan weer naar beneden gaat wordt de impuls van de schakels omgekeerd, dat vereist een bochtje dat des te groter en hoger wordt naarmate de snelheid en daarmee de impuls verandering groter wordt. Hoe dat boogje er (in geïdealiseerde zin) dan precies uit komt te zien probeer ik met mijn afleidingen te achterhalen. Maar dat is in feite niet meer dan de puntjes op de i zetten, de verklaring van het basisverschijnsel is al gegeven.

De startrichting kun je er volgens mij ook beter uitlaten. Die heeft wel invloed, maar voor allerlei startrichtingen is het effect zichtbaar, en de startrichting op zich is geen verklaring voor het fenomeen dat optreedt.

De startrichting is volgens mij een essentieel onderdeel van de verklaring. Als de startrichting 0 is, wordt de hoogte y_top ook 0 (zie formule (λ)). Het is alleen wanneer de ketting - om wat voor reden ook - eerst een stukje omhoog wordt gedwongen dat de sterke impulsverandering optreedt die het ontstaan van het boogje nodig maakt.

[Marko]

Het is helemaal niet gezegd dat de fluctuaties rond de evenwichtstoestand optreden. De vorm van het kettingtraject wordt door de fluctuaties immers grondig verstoord.

Dat is wel gezegd, want dat is wat je in alle video's ziet. De ketting gaat omhoog en omlaag, naar links en rechts en voor en achter, maakt zelfs spiraalvormige bewegingen. Maar al die fluctuaties laten onverlet dat de ketting als geheel een traject aflegt dat ruim boven de rand van de pot loopt. En dat terwijl de toestand met de laagste zwaarte-energie een zou zijn waar de ketting precies over de rand van die pot loopt, en dat ook de toestand is waarin de ketting begint.

De verklaring waarom de ketting boven de rand van de bak uitkomt is heel eenvoudig: als de ketting eerst naar boven over rand en dan weer naar beneden gaat wordt de impuls van de schakels omgekeerd, dat vereist een bochtje dat des te groter en hoger wordt naarmate de snelheid en daarmee de impuls verandering groter wordt. Hoe dat boogje er (in geïdealiseerde zin) dan precies uit komt te zien probeer ik met mijn afleidingen te achterhalen. Maar dat is in feite niet meer dan de puntjes op de i zetten, de verklaring van het basisverschijnsel is al gegeven.

Die verklaring wordt inderdaad gegeven in het filmpje, maar het is eigenlijk bolle onzin. Een voorwerp dat je omhoog gooit, komt ook weer omlaag. Een voorwerp dat je recht omhoog gooit, komt ook weer recht omlaag. Die maakt dus een "boogje" met straal 0, toch is daar geen oneindige kracht aan te pas gekomen. Hoe harder je gooit, hoe hoger het voorwerp komt, maar de boog blijft een straal 0 houden.

En bovendien: Deze verklaring zou moeten gelden voor alle kettingen, touwen en dergelijke. Maar je ziet het effect alleen bij deze rolgordijn-kettinkjes. Als deze verklaring echt steek zou houden zou een touw nooit over een katrol kunnen lopen.

De startrichting is volgens mij een essentieel onderdeel van de verklaring. Als de startrichting 0 is, wordt de hoogte y_top ook 0 (zie formule (λ)). Het is alleen wanneer de ketting - om wat voor reden ook - eerst een stukje omhoog wordt gedwongen dat de sterke impulsverandering optreedt die het ontstaan van het boogje nodig maakt.

In een oneindig flexibele ketting is geen boogje nodig om die impulsverandering mogelijk te maken.

[Bartjes]

Het zou interessant zijn te bekijken hoe het boogje er volgens mijn formules voor een bijna loodrechte startrichting uit komt te zien. Daarom ben ik ook nog op zoek naar plaatjes voor het boogje.

Bij een precies loodrechte startrichting zou de ketting bovenaan op zichzelf botsen, dat is dus principieel onmogelijk. Tenzij men de ketting zou forceren om naast de opgaande flank neerwaarts te bewegen, maar dan hoeft er ook geen plotselinge impulsverandering meer te zijn.

En daar laat ik het bij: mijn verklaring van het verschijnsel is op wat plaatjes na inmiddels voltooid, en ik ben het moe nog langer op de eindeloze - mijns inziens ondeugdelijke en gezochte - tegenwerpingen van Marko te reageren. Aan de lezer om te beoordelen wie het hier bij het rechte eind heeft.

[Marko]

Is wat ik stel dan feitelijk onjuist? Onduidelijk? Niet relevant?

Wat is er dan zo gezocht aan de stelling over het niet-bestaande verband tussen impulsverandering en boogstraal?

Wat is er gezocht aan de constatering dat het fenomeen alleen bij kettinkjes optreedt? Wat je hierboven afleidt is een algemeen model, de voorwaarden (benaderingen) waaronder je het hebt afgeleid:

- De schakels van de ketting zijn oneindig klein.

- De dichtheid λ van de ketting is constant.

- De grootte van de snelheid v van de ketting is voor alle schakels tussen IV en III gelijk.

- De baan van de ketting kan worden beschreven met een tijdonafhankelijke functie y = f(x) .

die gelden net zo goed voor touwen, scheepskettingen en wat voor verwante objecten dan ook. De vraag is dus, als dit model juist is, waarom zie je dit effect dan niet bij al die andere objecten, maar enkel en alleen bij die kralenketting?

Heeft het te maken met de aard van die ketting, namelijk dat de verhouding tussen lineaire dichtheid en buigsterkte veel groter is?

[In physics I trust]

En daar laat ik het bij: mijn verklaring van het verschijnsel is op wat plaatjes na inmiddels voltooid, en ik ben het moe nog langer op de eindeloze - mijns inziens ondeugdelijke en gezochte - tegenwerpingen van Marko te reageren. Aan de lezer om te beoordelen wie het hier bij het rechte eind heeft.

Nou Bartjes, ik vind de tegenwerpingen van Marko heel relevant, en je maakt je er mijns inziens dan ook goedkoop vanaf op deze wijze. Als je de moeite doet om een model af te leiden als hierboven - waar veel tijd in kruipt - dan lijkt het me logisch dat de vraag komt om te zien wat er uit je model voortkomt. Dat je tegenwerping er dan komt dat dat niet te zeggen valt vermits de aannames van je model, kan twee dingen betekenen:

1) je moet nu de nodige aanpassingen maken die overeenstemmen met de beschouwde situatie - je model is dus nog niet klaar

2) er zijn aannames nodig die niet met de realiteit overeenstemmen ofwel te grove vereenvoudigingen zijn - je model is dus niet relevant (en dus nutteloos)

[Bartjes]

Nou Bartjes, ik vind de tegenwerpingen van Marko heel relevant, en je maakt je er mijns inziens dan ook goedkoop vanaf op deze wijze. Als je de moeite doet om een model af te leiden als hierboven - waar veel tijd in kruipt - dan lijkt het me logisch dat de vraag komt om te zien wat er uit je model voortkomt. Dat je tegenwerping er dan komt dat dat niet te zeggen valt vermits de aannames van je model, kan twee dingen betekenen:

1) je moet nu de nodige aanpassingen maken die overeenstemmen met de beschouwde situatie - je model is dus nog niet klaar

2) er zijn aannames nodig die niet met de realiteit overeenstemmen ofwel te grove vereenvoudigingen zijn - je model is dus niet relevant (en dus nutteloos)

Eén aanpassing die in elk geval nog nodig zou zijn betreft het grote verschil tussen de theoretische hoogte die de ketting haalt, en de veel lagere praktische hoogte.

Om die aanpassing te kunnen maken heb ik echter aanvullende gegevens uit de praktijk nodig, zodat ik kan zien dat 'm precies in zit. Het model zoals het nu is verklaart al wel het optreden van het boogje en de globale stationaire vorm.

De tegenwerpingen van Marko snijden geen hout, daarom ben ik het moe om erop te antwoorden. Als bewijs zal ik - omdat je erom vraagt - alsnog op zijn laatste tegenwerpingen antwoorden zodat je kan zien wat ik bedoel:

Dat is wel gezegd, want dat is wat je in alle video's ziet. De ketting gaat omhoog en omlaag, naar links en rechts en voor en achter, maakt zelfs spiraalvormige bewegingen. Maar al die fluctuaties laten onverlet dat de ketting als geheel een traject aflegt dat ruim boven de rand van de pot loopt. En dat terwijl de toestand met de laagste zwaarte-energie een zou zijn waar de ketting precies over de rand van die pot loopt, en dat ook de toestand is waarin de ketting begint.

De praktische hoogte is veel lager dan de ideaal-theoretische. Het zou goed kunnen dat de fluctuaties daar een rol in spelen.

Een wet van de laagste zwaarte-energie ken ik niet. Ik heb mij beperkt tot de bekenden wetten van de klassieke dynamica. Daaruit volgt hoe het boogje eruit moet zien. Zonder een nadere uitleg over de veronderstelde rol van de "toestand van laagste zwaarte-energie" kan ik niets met die tegenwerping.

Die verklaring wordt inderdaad gegeven in het filmpje, maar het is eigenlijk bolle onzin. Een voorwerp dat je omhoog gooit, komt ook weer omlaag. Een voorwerp dat je recht omhoog gooit, komt ook weer recht omlaag. Die maakt dus een "boogje" met straal 0, toch is daar geen oneindige kracht aan te pas gekomen. Hoe harder je gooit, hoe hoger het voorwerp komt, maar de boog blijft een straal 0 houden.

Heb ik al weerlegd.

En bovendien: Deze verklaring zou moeten gelden voor alle kettingen, touwen en dergelijke. Maar je ziet het effect alleen bij deze rolgordijn-kettinkjes. Als deze verklaring echt steek zou houden zou een touw nooit over een katrol kunnen lopen.

Mijn verklaring geldt niet voor een touw omdat een touw een interne weerstand tegen buiging biedt, mijn afleidingen zijn daarop niet van toepassing.

Voor zwaardere kettingen zou het verschijnsel volgens mij inderdaad ook moeten bestaan. Dat we daarvan nog geen links gezien hebben bewijst niets.

In bepaalde (uit te rekenen) omstandigheden zal er volgens mij inderdaad een risico bestaan dat een ketting naar boven van een katrol af vliegt.

In een oneindig flexibele ketting is geen boogje nodig om die impulsverandering mogelijk te maken.

Een plotselinge verandering van richting in de bewegende ketting vereist een kromtestraal van nul en dus een oneindige versnelling. Anders gezegd: de infinitesimale schakel van de ketting die zo'n "haakse bocht" neemt zou ondanks zijn infinitesimale grootte en massa een eindige kracht moeten ondervinden. En de spankracht in de ketting zou daar ter plaatse sprongsgewijze moeten veranderen. Allemaal zeer onaannemelijk, te meer daar er oplossingen bestaan zonder dergelijke discontinuïteiten (namelijk de oplossing met het boogje).

Laat Marko zijn voorstelling maar eens doorrekenen en hier posten, dan kunnen we bekijken of er in die richting iets zinnigs mogelijk is. Je zou kunnen bekijken wat de krachten zijn wanneer de ketting over een minuscuul wieltje op de rand van het bakje loopt. Op grond van mijn model voorspel ik dan dat je dat wieltje steeds minstens een bepaalde minimale grootte (groter dan het vanzelf ontstaande vrije boogje) moet geven om te voorkomen dat de ketting er boven uit stijgt.