Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

De oplossing van onderstaande zuiver wiskundige (want dimensieloze) differentiaalvergelijking (*) die als beginpunt (u,z) = (0,0) heeft, die met een positieve afgeleide dz/du start en als positieve constante c bevat schrijven we als z = boog(u;c) :

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*) \)

De boogfunctie z = boog(u;c) heeft een top voor dz/du = 0. Dus:

\( 0 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z_{top})^2 \,\, - \,\, 1 \)

\( ( c^2 \, + \, 1 ) . (1 - z_{top})^2 \,\, = \,\, 1\)

\( (1 - z_{top})^2 \,\, = \,\, \frac{1}{ c^2 \, + \, 1 } \)

\( 1 - z_{top} \,\, = \,\, \frac{1}{ \sqrt{c^2 \, + \, 1} } \)

\( z_{top} \, = \, 1 \, - \, \frac{ 1 }{\sqrt{c^2 \, + \, 1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ( \mu ) \)

.

De grafiek van de boogfunctie begint bij (u,z) = (0,0) met een positieve afgeleide (dz/du)_u=0. Uit (*) zien we dat dan moet gelden: c = (dz/du)_u=0.

De grafiek loopt dus schuin naar boven en daardoor neemt de helling dz/du af. Voor de boven berekende waarde z_top (en een daarbij horende nog nader te bepalen waarde u_top ) wordt het helling nul en heeft z de grootst mogelijke waarde. Daarna daalt z weer en wordt de helling dz/du steeds negatiever.

Omdat dz/du voor gegeven z tussen 0 en z_top steeds twee exact tegengestelde waarden heeft (positief vóór en negatief ná de top), is de grafiek (boven de u-as) symmetrisch rond een symmetrielijn door u_top. De twee nulpunten van de grafiek zijn daarom u=0 en u=2.u_top .

Het berekenen van u_top is wat meer werk, daar kom ik nog op terug.

[Bartjes]

\( \left ( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right )^2 \, = \, \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 \,\,\,\, (^*)\)

Dus voor de opgaande flank:

\( \frac{\mbox{d} z}{\mbox{d} u} \right \, = \, \sqrt{ \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 } \)

\( \frac{\mbox{d} z}{ \sqrt{ \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \, = \, 1 . \mbox{d} u \)

\( \int_0^{z_{top}} \frac{\mbox{d} z}{ \sqrt{ \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \, = \, \int_0^{u_{top}} 1 \,\, \mbox{d} u \)

\( u_{top} \, = \, \int_0^{z_{top}} \frac{\mbox{d} z}{ \sqrt{ \left ( c^2 \, + \, 1 \right ) . (1 - z)^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \)

\( u_{top} \, = \, \int_0^{z_{top}} \frac{\mbox{d} z}{ \sqrt{ \left ( \sqrt{c^2 \, + \, 1} \, . \, (1 - z) \right )^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \)

\( u_{top} \, = \, \frac{-1}{ \sqrt{c^2 + 1}} . \int_0^{z_{top}} \frac{1}{ \sqrt{ \left ( \sqrt{c^2 \, + \, 1} \, . \, (1 - z) \right )^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \,\, . \, \, -\sqrt{c^2 + 1}} \,\,\,\, \mbox{d} z \)

Laat nu:

\( s = \sqrt{c^2 \, + \, 1} \, . \, (1 - z) \)

.

Dan vinden we (daarbij gebruik makend van de reeds afgeleide formule voor z_top) dat:

\( u_{top} \, = \, \frac{-1}{ \sqrt{c^2 + 1}} . \int_{ \sqrt{c^2 \, + \, 1} }^{1} \,\,\, \frac{1}{ \sqrt{ s^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \,\,\, \mbox{d} s \)

\( u_{top} \, = \, \frac{1}{ \sqrt{c^2 + 1} } \, . \, \int_{ 1 }^{ \sqrt{c^2 + 1} } \frac{\mbox{d} s}{ \sqrt{ s^2 \,\, - \,\, 1 } } \right \)

\( u_{top} \, = \, \frac{1}{ \sqrt{c^2 + 1} } \, . \, \left [ \ln \left ( \sqrt{s^2 - 1} + s \right ) \right ]_{1}^{ \sqrt{c^2 + 1}} \)

\( u_{top} \, = \, \frac{1}{ \sqrt{c^2 + 1} } \, . \, \left \{ \ln \left ( \sqrt{ \left ( \sqrt{c^2 + 1} \right )^2 - 1} + \sqrt{c^2 + 1}} \right ) \,\, - \,\, \ln \left ( \sqrt{1^2 - 1} + 1 \right ) \right \} \)

\( u_{top} \, = \, \frac{1}{ \sqrt{c^2 + 1} } \, . \, \left \{ \ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right ) \,\, - \,\, \ln(1) \right \} \)

\( u_{top} \, = \, \frac{\ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} } \,\,\,\,\,\,\,\, ( \nu ) \)

.

Strikt genomen is bovenstaande afleiding niet in de haak omdat we zo precies aan de top door nul delen. Dit is als volgt te repareren. We gaan ervan uit dat z_top groter dan nul is, anders is er sowieso geen eigenlijke top. Laat nu:

\( z_{top}^* = 1 - \frac{1 + \varepsilon}{\sqrt{c^2 + 1}} \)

.

Het positieve getalletje ε moet daarbij zo klein zijn gekozen dat

\( z_{top}^* \)

nog wel positief is. Onder

\( u_{top}^* \)

verstaan we dan de bij

\( z_{top}^* \)

horende waarde aan de opgaande flank van de grafiek zodanig dat

\( z_{top}^* = \mbox{boog}(u_{top}^*;c) \)

. Heel de afleiding kan nu zonder delingen door nul worden herhaald, met als resultaat:

\( u_{top}^* \, = \, \frac{\ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} } \, - \, \frac{\ln \left (\sqrt{(1 + \varepsilon)^2 - 1} + (1 + \varepsilon) \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} }\)

.

Voor

\( \varepsilon \downarrow 0 \)

vinden we dus opnieuw formule

\( ( \nu ) \)

.

[Bartjes]

\( y = \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \,\,\,\, (\iota) \)

.

Plaatjes van de boogfunctie hebben we inmiddels ook:

http://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/185238-plaatjes-gezocht-van-oplossingen-dv/page__view__findpost__p__967065

Daarmee is mijn geïdealiseerde model voltooid. De grote vraag is nu waarom de ketting in de praktijk veel minder ver omhoog komt...

[Wien Ee]

Als ik het goed begrijp heb je de "kettinglijn" afgeleid, en de tophoogte van deze boog. Helaas kan ik de afleiding niet tot in detail begrijpen, waardoor mij ook niet helder is wat je resultaat is voor de tophoogte.

Voor deze "kettinglijn": Waarop ben je uitgekomen? Is de top van "kettinglijn" uit te drukken in de maatvoering van het experiment? Dat wil zeggen: kan je de tophoogte uitdrukken, in de hoogte van de pot tot de grond en de beginhoek van de ketting?

En volgende vraag: is er een verschil? en hoeveel dan?, met de waarden waar we eerder op uitkwamen in het vereenvoudigde model zonder kettinglijn. Uit eerdere berekening daarvan volgde:

ketting6 754 keer bekeken

t = d + (1 - 0,5 * π) * R

Is ongeveer: t = d - 0,57 * R

en voor de snelheid v:

v = ( 2 * d * g) ^0,5

[Bartjes]

Voor de boogfunctie z = boog(u;c) heb ik gevonden:

\( u_{top} \, = \, \frac{\ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} } \,\,\,\,\,\,\,\, ( \nu ) \)

De twee nulpunten van de grafiek zijn u=0 en u=2.u_top .

\( z_{top} \, = \, 1 \, - \, \frac{ 1 }{\sqrt{c^2 \, + \, 1}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ( \mu ) \)

Plaatjes van de boogfunctie z = boog(u;c) voor een aantal waarden van c vind je hier:

http://www.wetenscha...post__p__967065

Het verband tussen het kettingtraject en de boogfunctie wordt gegeven door:

\( y = \mbox{d} \, . \, \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \,\,\,\, (\iota) \)

.

Anders geschreven:

\( \frac{y}{ \mbox{d} } = \mbox{boog} \left ( \frac{x}{\mbox{d}} \, ; \, ( y' )_{x=0} \,\right ) \)

.

Lees je in de plaatjes van de boogfunctie z = boog(u;c) op de "u-as" voor u=1 dat x=d en op de "z-as" voor z=1 dat y=d, dan heb je het kettingtraject.

Uitgedrukt in formules (met

\( c = ( y' )_{x=0} \)

) :

\( x_{top} \, = \, \mbox{d} \, . \, \frac{\ln \left ( c + \sqrt{c^2 + 1} \right )}{ \sqrt{c^2 + 1} } \)

.

De twee nulpunten van het kettingtraject zijn x=0 en x=2.x_top .

\( y_{top} \, = \, \mbox{d} \, . \, \left ( 1 \, - \, \frac{ 1 }{\sqrt{c^2 \, + \, 1}} \right ) \)

.

De starthelling

\( ( y' )_{x=0} \)

is in dit model een gegeven, er zijn oplossingen voor allerlei starthellingen mogelijk en daarom kan die starthelling in mijn model, zoals het nu is, niet worden uitgerekend. Ook in de praktijk kan men zelf een startrichting instellen door de ketting bij bakje A in een bepaalde richting te geleiden. Over wat er gebeurt wanneer de startrichting niet wordt opgelegd, doet mijn model geen uitspraken.

Het verschil tussen de theoretische en de praktische topwaarde zit 'm volgens mij niet in de wiskundige finesses van mijn huidige model, want dat verschil tussen de theoretische en de praktische topwaarde is er in dit model niet bepaald kleiner op geworden. Wat nu? De berekening van de kracht F_A zit me nog niet helemaal lekker, die kracht heeft bovendien een grote invloed op de topwaarde. Daar ga ik nog eens naar kijken.

Verband met het model van Confusie:

Wat bij mij x_top heet dat heet bij jou R, en wat bij mij y_top heet dat heet bij jou t.

Voor een bijna verticale startrichting zie je aan de plaatjes van de boogfunctie al wat er gebeurt: het kettingtraject wordt zeer smal en de top benadert de hoogte d. Bedenk echter wel dat er voor een precies verticale startrichting geen stationaire oplossing is.

[Marko]

De tegenwerpingen van Marko snijden geen hout, daarom ben ik het moe om erop te antwoorden. Als bewijs zal ik - omdat je erom vraagt - alsnog op zijn laatste tegenwerpingen antwoorden zodat je kan zien wat ik bedoel:

Ze snijden wel hout, maar jij hebt gewoon geen zin om erop in te gaan. Steevast doe je alles af met het toverwoord "fluctuaties" en daar word ik dan weer moe van. Mijn tegenwerpingen zijn tweeërlij: Je hebt een fenomenologische beschrijving van een bepaalde baan, maar het is allerminst gezegd dat die baan een gerecthvaardigde voorstelling is; zo neem je aan dat bepaalde punten gefixeerd zijn terwijl deze dat in werkelijkheid niet zijn. Een relevant verschil: stel dat je 2 speelkaarten tegen elkaar aan balanceert, zo dus: /\

Doe je dat op een oppervlak met veel wrijving dan blijven ze staan zoals je staan, de hoogte blijft dan zoals die is. Doe je hetzelfde op een glad oppervlak, waarbij de contactpunten van de kaarten dus niet gefixeerd zijn, dan is de eindtoestand __

Hetzelfde geldt voor een ketting die een boogje maakt. Als er niets is om die boog in stand te houden, komt het boogje er ook uit te zien als __

De tweede tegenwerping is het feit dat je model niet overeenkomt met de waarnemingen. Zo voorspel je dat een grotere valhoogte tot een grotere radius moet leiden, maar dat is nergens te zien.

De praktische hoogte is veel lager dan de ideaal-theoretische. Het zou goed kunnen dat de fluctuaties daar een rol in spelen.

Waarom zou dat zo zijn? Dissiperen die fluctuaties energie?

Een wet van de laagste zwaarte-energie ken ik niet.

Ik ook niet, en die heb ik ook nergens genoemd. Wel heb ik gesteld dat een toestand waarin de gehele ketting zich op een zo klein mogelijke hoogte bevindt (en dus, over de rand van de bak glijdt) overeenkomt met de laagste zwaarte-energie. Een ketting die eerst een stuk omhoog gaat en dan weer naar beneden doet dat niet. En zoals je zou verwachten dat een bal die je vanaf een hoogte h loslaat naar beneden valt, zo zou je dat ook voor een ketting verwachten.

Of anders gesteld: In het begin na loslaten van de ketting loopt deze over de rand. Het uiteinde van de ketting versnelt en daarmee trekken de naar beneden bewegende schakels de erboven liggende schakels naar beneden. Op de schakel die precies over de rand loopt werkt een naar beneden gerichte kracht. Daardoor zou de ketting nog harder in de rand moeten worden getrokken, maar in plaats daarvan zie je hem enthousiast naar boven bewegen. Waarom is dat?

Heb ik al weerlegd.

Dat heb je niet gedaan, want je begon over kettingen die niet tegen zichzelf aan konden botsen, en daar ging het niet over. Mijn opmerking ging over het feit dat een voorwerp prima een boog met radius 0 kan volgen zonder oneindige krachten te moeten ondergaan. Het argument dat er wel een boogje moet zijn omdat er anders oneindige krachten zouden optreden kan dus an sich niet geldig zijn.

Maar om toch even op de ketting terug te komen. Een oneindig dunne ketting zal prima hetzelfde traject terug naar beneden kunnen volgen als omhoog. En als jij mag aannemen dat een ketting oneindig flexibel is en 0 rek vertoont, mag ik aannemen dat de ketting oneindig dun is.

Mijn verklaring geldt niet voor een touw omdat een touw een interne weerstand tegen buiging biedt, mijn afleidingen zijn daarop niet van toepassing.

Als er een interne weerstand is zou je toch juist verwachten dat er een boog met een grote radius moet ontstaan? En verder: er zijn natuurlijk ook slappe touwen.

Voor zwaardere kettingen zou het verschijnsel volgens mij inderdaad ook moeten bestaan. Dat we daarvan nog geen links gezien hebben bewijst niets.

We hebben niet gezien dat het niet bestaat; op die manier bestaat Bigfoot ook. Maar goed: bij deze een videovan een wat zwaardere ketting, die een redelijke snelheid haalt. Maar ik zie ze niet vliegen.

In bepaalde (uit te rekenen) omstandigheden zal er volgens mij inderdaad een risico bestaan dat een ketting naar boven van een katrol af vliegt.

Ik ben benieuwd, dat meen ik oprecht. Ik zou graag begrijpen onder welke omstandigheden zoiets zou kunnen plaatsvinden en zien of dat te testen valt.

Een plotselinge verandering van richting in de bewegende ketting vereist een kromtestraal van nul en dus een oneindige versnelling.

Een kromtestraal van 0 betekent niet per definitie een oneindige versnelling.

Laat Marko zijn voorstelling maar eens doorrekenen en hier posten,

Als er commentaar komt reageren met "dan moet je het zelf maar doen." Lekker.

[Bartjes]

Het verschil tussen de theoretische en de praktische topwaarde zit 'm volgens mij niet in de wiskundige finesses van mijn huidige model, want dat verschil tussen de theoretische en de praktische topwaarde is er in dit model niet bepaald kleiner op geworden. Wat nu? De berekening van de kracht F_A zit me nog niet helemaal lekker, die kracht heeft bovendien een grote invloed op de topwaarde. Daar ga ik nog eens naar kijken.

De volgende benadering lijkt mij interessant:

Bij bakje A waar de ketting omhoog wordt getrokken beweegt de ketting niet alleen omhoog, maar ook opzij uit. Deze snelheden zijn van de zelfde orde van grootte omdat de verticaal beschikbaar komende lengte aan ketting horizontaal gevonden moet worden. Circa de helft van de energie voor het in beweging zetten van de ketting gaat dus op aan onproductieve horizontale fluctuaties. Daarom loont het de moeite om voor het gebeuren in bakje A een rendement η in te voeren, en te zien wat dat voor de formules en grafieken betekent.

Ik kom daar later op terug. Wellicht kan ook Confusie bekijken wat een dergelijk rendement voor zijn model voor gevolgen zou hebben. Mijn hoop is dat we zo op een realistischer hoogte uitkomen.

[In physics I trust]

Voor je doorstormt, vind ik het toch eerlijk dat je antwoordt op Marko. Hij heeft ook de moeite gedaan om jouw argumenten te bespreken. Het is een discussieforum, dus niet de bedoeling iets op te bouwen zonder opmerkingen in acht te nemen.

[Bartjes]

Voor je doorstormt, vind ik het toch eerlijk dat je antwoordt op Marko. Hij heeft ook de moeite gedaan om jouw argumenten te bespreken. Het is een discussieforum, dus niet de bedoeling iets op te bouwen zonder opmerkingen in acht te nemen.

OK – omdat je het vraagt.

Ze snijden wel hout, maar jij hebt gewoon geen zin om erop in te gaan. Steevast doe je alles af met het toverwoord "fluctuaties" en daar word ik dan weer moe van.

Ik breng de fluctuaties alleen ter sprake wanneer die mogelijkerwijs een rol spelen. Verder heb ik inmiddels een model opgebouwd waarin die roemruchte fluctuaties niet eens verwerkt zijn. Uit dat model volgt dat het boogje verklaard kan worden zonder de door jou veronderstelde opwaartse kracht. In de wetenschap nemen we geen onbekende krachten aan om verschijnselen te verklaren die zonder zulke krachten ook al verklaard kunnen worden.

Mijn tegenwerpingen zijn tweeërlij: Je hebt een fenomenologische beschrijving van een bepaalde baan, maar het is allerminst gezegd dat die baan een gerecthvaardigde voorstelling is; zo neem je aan dat bepaalde punten gefixeerd zijn terwijl deze dat in werkelijkheid niet zijn. Een relevant verschil: stel dat je 2 speelkaarten tegen elkaar aan balanceert, zo dus: /\

Doe je dat op een oppervlak met veel wrijving dan blijven ze staan zoals je staan, de hoogte blijft dan zoals die is. Doe je hetzelfde op een glad oppervlak, waarbij de contactpunten van de kaarten dus niet gefixeerd zijn, dan is de eindtoestand __

Hetzelfde geldt voor een ketting die een boogje maakt. Als er niets is om die boog in stand te houden, komt het boogje er ook uit te zien als __

Het boogje is geen ding maar een proces: de schakels bewegen zich langs een zekere route, en dat ziet er dan van een afstandje uit als een boogje. Het boogje staat nergens op, net zomin als de stralen van een fontein ergens op staan. De gebruikte vergelijking is dus niet van toepassing.

De tweede tegenwerping is het feit dat je model niet overeenkomt met de waarnemingen. Zo voorspel je dat een grotere valhoogte tot een grotere radius moet leiden, maar dat is nergens te zien.

De tophoogte en nulpunten (er is in mijn model geen cirkelboog en dus ook geen radius) zijn afhankelijk van zowel d als c (starthelling). Bij een slecht gedefinieerde starthelling mag mijn model strikt genomen niet gebruikt worden. Verder moeten we nog even afwachten wat de gevolgen van mijn voorgenomen correctie op F_A zijn. Het zou echter kunnen zijn dat de breedte van de berekende boog inderdaad te groot blijft vergeleken met praktisch gevonden waarden. Dat zij dan zo, een sterk geïdealiseerd model zal nooit perfect kloppen. Ik claim dat ook niet, en ik vind dat voor een betrekkelijk eenvoudig model ook een onredelijke eis.

Waarom zou dat zo zijn? Dissiperen die fluctuaties energie?

Die fluctuaties slurpen inderdaad energie op die anders aan het omhoog trekken van de ketting had kunnen worden besteed. Aan de uitwerking van dat aspect van het verhaal werk ik nog.

Ik ook niet, en die heb ik ook nergens genoemd. Wel heb ik gesteld dat een toestand waarin de gehele ketting zich op een zo klein mogelijke hoogte bevindt (en dus, over de rand van de bak glijdt) overeenkomt met de laagste zwaarte-energie. Een ketting die eerst een stuk omhoog gaat en dan weer naar beneden doet dat niet. En zoals je zou verwachten dat een bal die je vanaf een hoogte h loslaat naar beneden valt, zo zou je dat ook voor een ketting verwachten.

Hier maak je een denkfout. Een bewegende ketting die een boogje doorloopt is geen relatief star object zoals een bal die valt wanneer je hem loslaat. De afzonderlijke schakels zijn wel relatief starre objecten, en hun baan wordt bepaald door de daarop werkende krachten (d.w.z. de zwaartekracht en de spankrachten van aangrenzende schakels). Ik heb dat netjes na gerekend, en daar komt dan een boogje uit. De schakels van de ketting zouden zonder meer naar beneden vallen als er geen spankrachten in de ketting waren. Die spankrachten zijn er echter wel. Verder bestaat het boogje uit een steeds wisselend deel van de ketting, en mag het ook daarom al niet als een afzonderlijk object beschouwd worden. De afzonderlijke schakels maken overigens voor zover de spankrachten dat toelaten wel een valbeweging. Bovendien heb je nog te maken met een starthelling, die in je voorbeeld van de bal ook ontbreekt.

Of anders gesteld: In het begin na loslaten van de ketting loopt deze over de rand. Het uiteinde van de ketting versnelt en daarmee trekken de naar beneden bewegende schakels de erboven liggende schakels naar beneden. Op de schakel die precies over de rand loopt werkt een naar beneden gerichte kracht. Daardoor zou de ketting nog harder in de rand moeten worden getrokken, maar in plaats daarvan zie je hem enthousiast naar boven bewegen. Waarom is dat?

Je beschouwt het bewegende deel van de ketting (of meer bepaald het boogje van de ketting) als het object waarop de krachten werken. Dat is fout - de krachten werken op de schakels van de ketting. Naarmate de ketting meer snelheid krijgt, zullen de schakels aan de rand van het bakje makkelijker "uit de bocht vliegen". Het bochtje dat de ketting direct aansluitend om de rand maakt correspondeert voor ieder snelheid van de ketting met een bepaalde versnelling. Die versnelling vereist een zekere (te berekenen) centripetaalkracht. Op het moment dat het gewicht en de spankracht van de ketting die kracht niet meer kunnen leveren vliegen de schakels rond de rand van het bakje "uit de bocht". Het boogje wordt dan groter waardoor de centripetaalversnelling afneemt en er tijdelijk een nieuw evenwicht optreedt. Dat zoeken van een steeds nieuw evenwicht gaat zo door totdat de snelheid van de ketting niet langer meer toeneemt.

Dat heb je niet gedaan, want je begon over kettingen die niet tegen zichzelf aan konden botsen, en daar ging het niet over. Mijn opmerking ging over het feit dat een voorwerp prima een boog met radius 0 kan volgen zonder oneindige krachten te moeten ondergaan. Het argument dat er wel een boogje moet zijn omdat er anders oneindige krachten zouden optreden kan dus an sich niet geldig zijn.

Ik heb even je voorbeeld erbij gehaald:

Een voorwerp dat je omhoog gooit, komt ook weer omlaag. Een voorwerp dat je recht omhoog gooit, komt ook weer recht omlaag. Die maakt dus een "boogje" met straal 0, toch is daar geen oneindige kracht aan te pas gekomen. Hoe harder je gooit, hoe hoger het voorwerp komt, maar de boog blijft een straal 0 houden.

Dit is een voorbeeld dat precies de essentie van Newtons kralenketting mist. De kralen in het boogje hebben een snelheid v, en met die snelheid v bestaat er voor de beschikbare krachten steeds een bijpassende minimumstraal voor de bochten die genomen kunnen worden. Maar een loodrecht omhoog geworpen voorwerp remt daarentegen vóór de top keurig af tot een tot nul naderende snelheid waardoor het bochtje met straal nul zonder problemen genomen kan worden. Het probleem van de oneindige centripetale versnelling en de daarvoor benodigde centripetale krachten speelt dan immers niet meer. Een loodrecht omhoog geworpen voorwerp vormt dus opnieuw geen goed tegenvoorbeeld.

Maar om toch even op de ketting terug te komen. Een oneindig dunne ketting zal prima hetzelfde traject terug naar beneden kunnen volgen als omhoog. En als jij mag aannemen dat een ketting oneindig flexibel is en 0 rek vertoont, mag ik aannemen dat de ketting oneindig dun is.

Je mag van mij best aannemen dat de ketting oneindig dun is, dat doe ik in het belang van mijn geïdealiseerde model ook. Als je wat rondneust in de natuurkunde zul je zien dat dergelijke idealiseringen veel voorkomen, en vaak nuttige modellen opleveren. Dat er door een zelfde punt schakels naar boven en naar beneden passeren is echter een stap te ver. Dan zijn de snelheid, impuls, spankracht, massadichtheid e.d. ter plaatse niet langer gedefinieerd.

Wat eventueel wel zou kunnen is een opgaande en neerdalende flank van de ketting met daartussen een oneindig kleine afstand en een oneindig klein boogje aan de top. (Zulke oneindig kleine afstanden zijn in de diverse vormen van niet-standaard analyse inmiddels beschikbaar) Maar dan heb je opnieuw geen goed tegenvoorbeeld.

Als er een interne weerstand is zou je toch juist verwachten dat er een boog met een grote radius moet ontstaan? En verder: er zijn natuurlijk ook slappe touwen.

Ik heb geen vertrouwen in mijn fysische intuïtie wanneer deze niet door berekeningen en modellen gesteund wordt. Over stugge touwen doe ik daarom geen uitspraken. Op touwen die zich vrijwel als kettingen gedragen is mijn model wel van toepassing.

We hebben niet gezien dat het niet bestaat; op die manier bestaat Bigfoot ook. Maar goed: bij deze een videovan een wat zwaardere ketting, die een redelijke snelheid haalt. Maar ik zie ze niet vliegen.

Ik ben benieuwd, dat meen ik oprecht. Ik zou graag begrijpen onder welke omstandigheden zoiets zou kunnen plaatsvinden en zien of dat te testen valt.

Wat de video betreft: de starthelling is daar negatief, en dan ontstaat er geen boogje. Verder wil ik de omstandigheden waaronder een ketting naar boven van een katrol vliegt best afleiden, als daarmee ons meningsverschil beslist kan worden. Laat maar weten of je het optreden van een dergelijk verschijnsel als een cruciaal experiment beschouwt.

Een kromtestraal van 0 betekent niet per definitie een oneindige versnelling.

In het speciale geval van een loodrecht opgeworpen voorwerp niet, maar dat heeft aan de top dan ook een snelheid nul. Dat voorbeeld wijkt dus op een essentieel punt af van Newtons kralenketting, en vormt derhalve geen goed tegenvoorbeeld.

Als er commentaar komt reageren met "dan moet je het zelf maar doen." Lekker.

Je commentaar bestaat afgezien van niet toepasselijke tegenvoorbeelden (zie hierboven), uit onconventionele natuurkunde. Die onconventionele natuurkunde wordt gekenmerkt door het veronderstelde bestaan van een (vooralsnog onbekende) opwaartse kracht die het boogje omhoog zou moeten houden; door de onderstelling van de mogelijkheid van het met een zekere snelheid doorlopen van een boogje met kromtestraal nul, en door de veronderstelling dat een ketting die een stationair traject doorloopt net als een star voorwerp van de zelfde vorm (als één geheel!) een valbeweging zou moeten maken. Stuk voor stuk onaannemelijke veronderstellingen. Als kritiek op de conventionele aanpak zoals ik die in mijn model gebruik zijn dergelijke veronderstellingen dan ook onbruikbaar. Je zult dan eerst moeten aantonen dat je onconventionele natuurkunde iets voorstelt.

[Marko]

Ik breng de fluctuaties alleen ter sprake wanneer die mogelijkerwijs een rol spelen.

Dat is nogal kort door de bocht. Je brengt die fluctuaties op allerlei momenten ter sprake, waarbij je er kennelijk dus vanuit bent gegaan dat die een rol spelen, maar vertelt nooit hoe die dan een rol zouden moeten spelen. En dat is wel van belang. Het hoeft niet eens gedetailleerd, maar als je een discrepantie toekent aan om het even welk fenomeen moet je op zijn minst aannemelijk maken dat dat gerechtvaardigd is.

Verder heb ik inmiddels een model opgebouwd waarin die roemruchte fluctuaties niet eens verwerkt zijn.

Gelukkig niet, want zoals ik al eerder aangaf: met "fluctuaties" verklaar je niets.

Uit dat model volgt dat het boogje verklaard kan worden zonder de door jou veronderstelde opwaartse kracht.

Ik veronderstel helemaal geen opwaartse kracht. Hou op met mij woorden in de mond te leggen.

In de wetenschap nemen we geen onbekende krachten aan om verschijnselen te verklaren die zonder zulke krachten ook al verklaard kunnen worden.

Het probleem is dat het verschijnsel dat je verklaart niet optreedt in allerlei gevallen waarin het volgens jouw model wél zou moeten optreden.

Het boogje is geen ding maar een proces: de schakels bewegen zich langs een zekere route, en dat ziet er dan van een afstandje uit als een boogje. Het boogje staat nergens op, net zomin als de stralen van een fontein ergens op staan. De gebruikte vergelijking is dus niet van toepassing.

Maar elk schakeltje is wel een ding, en op die dingen werkt de zwaartekracht. En waar er bij waterstraal van een fontein steeds vanaf de onderkant tegen de waterdruppels aan wordt geduwd, wordt er bij de kralenketting alleen maar getrokken.

De tophoogte en nulpunten (er is in mijn model geen cirkelboog en dus ook geen radius)

Iets hoeft geen cirkel te zijn om een radius te hebben.

Hier maak je een denkfout. Een bewegende ketting die een boogje doorloopt is geen relatief star object zoals een bal die valt wanneer je hem loslaat.

Dat doet er allemaal niet zo veel toe. Op ieder tijdstip t kun je de totale energie van de ketting schrijven als een som van de hoogte-energieën van de schakels en hun kinetische energieën. Tussen het loslaten van de ketting en het bereiken van de (min of meer) stationaire toestand neemt de hoogte van de boogtop toe; er bevinden zich dan dus meer schakels in de lucht en ook nog eens op een grotere hoogte. De totale zwaarte-energie (potentiële energie dus) neemt in dat proces toe, waar komt die energie vandaan?

Je beschouwt het bewegende deel van de ketting (of meer bepaald het boogje van de ketting) als het object waarop de krachten werken. Dat is fout - de krachten werken op de schakels van de ketting

In het stuk waar je hier op reageert heb ik het ook over een schakel. Als op die schakel krachten werken die hem verder de rand in zouden trekken, hoe kunnen dan op de volgende schakel krachten werken die die schakel om hoog trekken, zelfs zo veel verder omhoog (dan zijn voorganger) dat deze schakel bóven de rand uitkomt?

Dit is een voorbeeld dat precies de essentie van Newtons kralenketting mist. De kralen in het boogje hebben een snelheid v, en met die snelheid v bestaat er voor de beschikbare krachten steeds een bijpassende minimumstraal voor de bochten die genomen kunnen worden.

Dat is inderdaad de essentie, goed dat je dat nu onder woorden brengt - want eerder was het een impliciete aanname die eigenlijk een beetje weggemoffeld werd. De redenering dat er een boogje moet zijn gaat enkel op in het geval/onder de aanname dat de kralen een constante absolute snelheid hebben. Dat is een essentiële aanname. Maar wanneer hebben de kralen een constante absolute snelheid? Alleen als er enkel een kracht loodrecht op de kralen werkt. (In alle andere gevallen is er immers sprake van arbeid en dus een verandering van kinetische energie, en dus van v) Is dat hier (bij de daadwerkelijke ketting dus, niet bij het model) het geval?

Zoals het in de video wordt gesteld, en zoals je het hier ook beweert, is het noodzakelijk dat de kralen continu die snelheid hebben. Maar ik zie daar de noodzaak niet van in. De kralen in de ketting kunnen in hun weg omhoog prima afremmen, zelfs tot een snelheid 0, en daarna weer versnellen. Dat er touwtjes tussen de kralen zitten maakt dat niet onmogelijk. Waar is de voor de redenering noodzakelijke aanname van constante absolute snelheid op gestoeld?

Als je wat rondneust in de natuurkunde zul je zien dat dergelijke idealiseringen veel voorkomen, en vaak nuttige modellen opleveren.

Je meent het...

Dat er door een zelfde punt schakels naar boven en naar beneden passeren is echter een stap te ver. Dan zijn de snelheid, impuls, spankracht, massadichtheid e.d. ter plaatse niet langer gedefinieerd.

Dat hoeft ook helemaal niet. Impuls is gekoppeld aan een voorwerp, een schakel van de ketting bijvoorbeeld. Een impuls is niet gedefinieerd voor een plaatscoördinaat.

Wat eventueel wel zou kunnen is een opgaande en neerdalende flank van de ketting met daartussen een oneindig kleine afstand en een oneindig klein boogje aan de top. (Zulke oneindig kleine afstanden zijn in de diverse vormen van niet-standaard analyse inmiddels beschikbaar) Maar dan heb je opnieuw geen goed tegenvoorbeeld.

Want?

Ik heb geen vertrouwen in mijn fysische intuïtie wanneer deze niet door berekeningen en modellen gesteund wordt. Over stugge touwen doe ik daarom geen uitspraken.

Ho eens even, nu draai je de boel om. Je deed wel een uitspraak over stugge touwen, want je stelde dat je model er niet voor gold, vanwege "interne weerstand tegen buiging". Als je niet wil vertrouwen op houtje-"touwtje" redeneringen maar enkel op vergelijkingen, dan is dat je goed recht, maar geef dan aan waar en hoe ongeveer die weerstand in je vergelijkingen terecht zou komen. Dat kan zonder die vergelijkingen verder uit te werken, want als je opschrijft waar die term vanaf hangt (kan een eerste orde benadering zijn) en het teken ervan in de DV, ben je er in wezen ook.

Als je vergelijkingen laten zien dat mijn intuïtie dat iets dat moeilijker buigt eerder geneigd zou moeten zijn een grotere boog te vormen fout is, dan zie ik dat graag. Voor de goede orde, ik sluit dat niet uit.

Wat de video betreft: de starthelling is daar negatief, en dan ontstaat er geen boogje.

Dat zie ik zo niet in de video; het deel van de ketting dat je ziet beweegt inderdaad naar beneden, maar wat er daarvoor met die ketting gebeurt is niet duidelijk; mijn indruk was dat de ketting vanaf een lager gelegen punt kwam en over het punt dat je in de video ziet heenglijdt; zoals ook de kralenketting over de rand van een beker glijdt.

Verder wil ik de omstandigheden waaronder een ketting naar boven van een katrol vliegt best afleiden, als daarmee ons meningsverschil beslist kan worden. Laat maar weten of je het optreden van een dergelijk verschijnsel als een cruciaal experiment beschouwt.

Voor een ketting vind ik het niet zo relevant, maar als je een indicatie hebt wanneer een touw van een katrol af zou gaan vliegen ben ik daar wel benieuwd naar. Kijk, mocht eruit komen dat je daar snelheden van 300 m/s voor nodig hebt en een hoogte van 2 km of zo, dan wordt het lastig. Maar stel dat er wat getallen uitkomen die enigzins praktisch realiseerbaar zijn, dan zou het een interessant experiment zijn.

Je commentaar bestaat afgezien van niet toepasselijke tegenvoorbeelden (zie hierboven), uit onconventionele natuurkunde. Die onconventionele natuurkunde wordt gekenmerkt door het veronderstelde bestaan van een (vooralsnog onbekende) opwaartse kracht die het boogje omhoog zou moeten houden; door de onderstelling van de mogelijkheid van het met een zekere snelheid doorlopen van een boogje met kromtestraal nul, en door de veronderstelling dat een ketting die een stationair traject doorloopt net als een star voorwerp van de zelfde vorm (als één geheel!) een valbeweging zou moeten maken. Stuk voor stuk onaannemelijke veronderstellingen. Als kritiek op de conventionele aanpak zoals ik die in mijn model gebruik zijn dergelijke veronderstellingen dan ook onbruikbaar. Je zult dan eerst moeten aantonen dat je onconventionele natuurkunde iets voorstelt.

Voor de goede orde: ik kwam niet aanzetten met een ad hoc opwaartse kracht, maar gaf aan dat op iets wat omhoog beweegt een omhoog gerichte kracht moet werken, en stelde vervolgens simpelweg de vraag waar die kracht dan vandaankwam. That's it. Lijkt me niets onconventioneels aan. Daar zou je ook simpelweg op kunnen antwoorden met het benoemen van de termen in de vergelijking die met die kracht overeenkomen.

Ik stelde ook nergens dat de ketting met "een zekere snelheid" een bocht maakt met kromtestraal 0, maar stelde dat de bewering "er moet een boogje zijn, want..." te kort door de bocht (no pun intended) was. Ook daar is niets onconventioneels aan. Dat er onder bepaalde voorwaarden noodzakelijkerwijs wél een boogje is, is een ander verhaal, maar dat verhaal betekent in eerste instantie niets meer dan dat je zult moeten aantonen dat er aan die voorwaarden is voldaan.

Tenslotte, ik stelde ook niet dat een ketting dezelfde valbeweging moet maken als een stilstaand voorwerp met dezelfde vorm (of welke vorm dan ook), maar stelde dat de ketting als geheel onderhevig is aan zwaartekracht. Ook niet echt onconventioneel.

Je trekt mijn opmerkingen uit zijn verband en gaat ze vervolgens belachelijk zitten maken. De welbekende stromannen-"discussie"-techniek. Het lijkt me voor de ontwikkeling van je model weinig productief wanneer je tot dat soort praktijken je toevlucht neemt.

[Bartjes]

De groetjes mensen, veel plezier verder met dit topic.

[317070]

Dat doet er allemaal niet zo veel toe. Op ieder tijdstip t kun je de totale energie van de ketting schrijven als een som van de hoogte-energieën van de schakels en hun kinetische energieën. Tussen het loslaten van de ketting en het bereiken van de (min of meer) stationaire toestand neemt de hoogte van de boogtop toe; er bevinden zich dan dus meer schakels in de lucht en ook nog eens op een grotere hoogte. De totale zwaarte-energie (potentiële energie dus) neemt in dat proces toe, waar komt die energie vandaan?

Eerst heb je een kilo kralen op een meter hoogte, daarna liggen ze op de grond. Wat eenvoudige wiskunde toont volgens mij aan dat kralen die een hoogte

\(h\)

uit de beker naar beneden vallen, een boog kunnen onderhouden die tot

\(h/\sqrt{2}\)

hoog gaat, zonder energiebehoud te schenden. (dat is een grof maximum, met het koord oneindig traag recht naar boven en recht naar beneden).

Echter, wat moeilijk is, is waarom de boog zich bouwt? Waarom is voor kralen een grote boog energetisch voordeliger dan een kleinere boog, want dat is net het tegenovergestelde van wat uit die eenvoudige wiskunde volgt.

Spijtig genoeg heb ik op die laatste vraag nog geen antwoord zien voorbijkomen in dit topic.

Je trekt mijn opmerkingen uit zijn verband en gaat ze vervolgens belachelijk zitten maken. De welbekende stromannen-"discussie"-techniek. Het lijkt me voor de ontwikkeling van je model weinig productief wanneer je tot dat soort praktijken je toevlucht neemt.

Je bent er je van bewust dat dergelijke uitspraken ook stromannen zijn?

Er zijn altijd 2 redenen voor het verkeerd weergeven van uitspraken. De ander doet het expres, of je uitleg was niet duidelijk genoeg. Er is maar 1 van die 2 waar je zelf iets aan kunt doen.

[Marko]

Eerst heb je een kilo kralen op een meter hoogte, daarna liggen ze op de grond. Wat eenvoudige wiskunde toont volgens mij aan dat kralen die een hoogte

\(h\)

uit de beker naar beneden vallen, een boog kunnen onderhouden die tot

\(h/\sqrt{2}\)

hoog gaat, zonder energiebehoud te schenden. (dat is een grof maximum, met het koord oneindig traag recht naar boven en recht naar beneden).

Inderdaad, tot zover geen enkel "probleem".

Echter, wat moeilijk is, is waarom de boog zich bouwt? Waarom is voor kralen een grote boog energetisch voordeliger dan een kleinere boog, want dat is net het tegenovergestelde van wat uit die eenvoudige wiskunde volgt.

Dat is inderdaad het dilemma. In eerste aanleg lijkt zowel de totale kinetische energie van de ketting als de totale zwaarte c.q. hoogte-energie van de ketting toe te nemen. Dat de een toeneemt ten koste van de ander kan ik prima volgen, maar allebei?

Je bent er je van bewust dat dergelijke uitspraken ook stromannen zijn?

Als dat zo is, dan was dat niet bewust. Maar inderdaad, het kan zijn dat de uitleg gewoon niet duidelijk genoeg was.

[317070]

Dat is inderdaad het dilemma. In eerste aanleg lijkt zowel de totale kinetische energie van de ketting als de totale zwaarte c.q. hoogte-energie van de ketting toe te nemen. Dat de een toeneemt ten koste van de ander kan ik prima volgen, maar allebei?

Waarom niet, er komt plots veel energie bij, die energie gaat zich altijd verdelen over alle vormen, hier hoogte-energie en kinetische energie. Dat effect is niet abnormaal en zie je ook bij touw op een haspel bij een modern weefgetouw dat heel snel afgewonden moet worden (zoals dit: https://www.youtube....h?v=Gqb1d2hDJ1I)

Het ding is dat bij een (kralen)ketting de energie heel erg in de hoogte zit... zou het kunnen aan het gewicht per lopende meter liggen? Daardoor ligt de inertie hoger, waardoor het misschien voordeliger is om meer energie in de hoogte te steken? (heel erg vage redenering, ik weet het...)

[Denkertje70]

Ik ben al een tijdje deze topic aan het volgen en vraagde mij van het begin aan al af, zou de kraalketting geen extra energie kunnen halen uit het verschil in zwaartekrachtversnelling die inwerkt op beide delen van de kraalketting. Vermist het gedeelte van de de kraalketting die neerwaarts beweegt steeds langer is dan het gedeelte van de kraalketting die opwaarts beweeg, is de gemiddelde zwaartekrachtversnelling iets hoger op de neerwaarts bewegend gedeelte van de kraalketting dan het opwaarts bewegend gedeelte van de kraalketting, wat een extra energie zou kunnen opleveren, de inpuls van de kraalketting blijft steeds gelijk, maar het gedeelte van de kraalketting die opwaarts gaat wordt minder snel afgeremt door de zwaartekracht dan het gedeelte dat neerwaarts versneld die op zich resulteerd in een opwaarts beweging van de lus omdat de ketting eerst opwaarts gaat vooralleer ze neerwaarst gaat vanuit de beker.

Het verschil van die zwaartekrachtversnelling is aanwezig maar zeer klein, ik weet dus niet of dit wel plausible is, ben dus zelf zeer skeptisch. Ik zit momenteel in een verbouwing en heb niet de tijd en de mogelijkheid om dit na te rekenen.

HV