Gelijkheidsprobleem

[The Taffer]

Door te experimenteren met benaderingsregels voor

\(\pi\)

en dergelijke, stuit ik op een gelijkheid die meent dat

\(\pi=0\)

Om te beginnen, hoop ik dat jullie het met me eens zijn dat

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\pi\)

, dat

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\pi\)

en dat

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=x\)

.

Als jullie hiermee akkoord gaan, kunnen we verder mijn werkwijze bekijken:

\(\frac{\sin{\left(\frac{180}{x}}\right)}{\cos{\left(\frac{180}{x}}\right)}}=\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow \frac{\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}}{\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}}=\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow \sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}=\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}=x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\cdot \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\cdot \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

Uit mijn 'inleiding' volgt dan:

\(\Leftrightarrow {\pi}^2=x\cdot\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

Door de overblijvende limiet in te geven in mijn GRT, merk ik dat deze 0 is:

\(\Leftrightarrow {\pi}^2=x\cdot 0\)

\(\Leftrightarrow \pi=\sqrt{0}\)

\(\Leftrightarrow \pi=0\)

Uiteraard is dit onwaar; maar dan: waar zit 'm de fout? Mocht ik de limieten niet apart schrijven, omdat de limieten (de limiet in het linker- en die in het rechterlid) in de voorgaande regel niet reëel waren?

Bedankt.

[dirkwb]

\(\Leftrightarrow {\pi}^2=x\cdot\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

[/color]

Als ik hiernaar kijk weet ik niet wat ik zie: als je de limiet neemt wat moet er dan met die losse x gebeuren? Als je de losse x naar links toehaalt en x heel groot laat worden (aan beide kanten dus) dan klopt het.

[The Taffer]

\(\Leftrightarrow {\pi}^2=x\cdot\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

[/color]

Als ik hiernaar kijk weet ik niet wat ik zie: als je de limiet neemt wat moet er dan met die losse x gebeuren? Als je de losse x naar links toehaalt en x heel groot laat worden (aan beide kanten dus) dan klopt het.

Ik vrees dat x elke reële waarde mag en kan aannemen?

Daarenboven denk ik dat de fout veel eerder gemaakt werd: in de 5de regel na "Als jullie hiermee akkoord gaan, kunnen we verder mijn werkwijze bekijken:" staan links en rechts een limiet, die volgens mij irreëel is en daarom niet opgesplitst mag worden.

[Drieske]

Wacht eens heel even... Opdat de gelijkheid waar zou zijn, dan moet die limiet gelijk zijn aan pi²/x, akkoord?

Dat kan niet kloppen hè. Een limiet is steeds een (reëel of complex, maakt niet uit) getal, tenminste als hij bestaat (maar laten we daar maar even van uitgaan. Nu is pi²/x geen getal (want het hangt af van x) en dus kan die gelijkheid niet gelden zoals ze daar staat. Dus niet akkoord.

[The Taffer]

Fair enough.

[Rest verwijderd]

[Drieske]

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=x\)

.

Nog een bijkomende opmerking: om redenen hierboven al vermeld ga ik hier niet mee akkoord. Het linkerlid (de limiet) is een getal (weer ervan uitgaande dat de limiet bestaat), terwijl het rechterlid afhangt van x... Hier zit je eerste fout (waar de rest op steunt).

ik voer pi²/x en x*tan²(180/x) in in m'n rekenmachine, en blijkt dat dit hetzelfde is.

Wat bedoel je met "hetzelfde"? In de limiet voor x naar oneindig of echt als functies? Dat laatste kan namelijk niet.

[The Taffer]

Nog een bijkomende opmerking: om redenen hierboven al vermeld ga ik hier niet mee akkoord. Het linkerlid (de limiet) is een getal (weer ervan uitgaande dat de limiet bestaat), terwijl het rechterlid afhangt van x... Hier zit je eerste fout (waar de rest op steunt).

Ok, maar is het op zich juist of niet? Het is toch zo, en controleer maar, dat hoe groter x, hoe dichter de waarde bij de gekozen x-waarde zal liggen.. Is er een manier om dit correct te noteren?

Wat bedoel je met "hetzelfde"? In de limiet voor x naar oneindig of echt als functies?

Laat dat gedeelte maar vallen..

[Drieske]

Ok, maar is het op zich juist of niet? Het is toch zo, en controleer maar, dat hoe groter x, hoe dichter de waarde bij de gekozen x-waarde zal liggen..

Ja, maar dan bedoel je wel dat de limiet oneindig is hè. Wat je daar schrijft, klopt gewoon niet. En daar zit dus een volgende fout in je uitwerking. Je schrijft:

\(\Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\cdot x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

\(\Leftrightarrow \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\cdot \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}=\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\cos{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\cdot \lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan^2{\left(\frac{180}{x}\right)}\right]}\)

In je rechterlid splits je de limieten. Je gebruikt dus de regel "limiet van product is product van limieten". Maar dat mag je enkel doen als je limieten beiden bestaan (én eindig zijn). Dat is bij jou niet zo (je limiet is oneindig).