Bewijs nodig

[The Taffer]

Hallo

Kan iemand me het bewijs geven voor

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\sin{\left(\frac{a}{x}\right)}\right]}=a\)

en/of

\(\lim_{x\to\infty}{\left[x\cdot\tan{\left(\frac{a}{x}\right)}\right]}=a\)

alsjeblieft?

Heel erg bedankt.

[dirkwb]

Hint: wat is de limiet van sin(x)/x als x-> 0?

[The Taffer]

Hint: wat is de limiet van sin(x)/x als x-> 0?

\(\infty\)

?

Nee wacht; je bekomt 0/0 (dacht heel even dat sin(0)=1); dus x voorop zetten... Maar hoe kan je x voorop zetten bij sin(x)? Hoe kan je sin(x) schrijven als een product van x?

[aadkr]

dat is volgens mij niet goed

de limiet van sin(x)/x voor x->0 is 1

je mag hier de regel van L"Hôpital toepassen

[The Taffer]

ok, dit gaat je waarschijnlijk niet zo leuk en handig vinden; maar ik heb die regel nooit gezien :/

[The Taffer]

Hmm okee ik heb 'm net even bestudeerd Hoe kan je daarmee verder?

[aadkr]

volgens mij neem je de eerste afgeleide van de teller, en die deel je door de eerste afgeleide van de noemer.in de breuk die je dan krijgt vul je x=0 in.

[aadkr]

laten we even de reactie van de moderator dirkwb afwachten, dirkwb weet veel meer van de wiskunde als ik.

[mathfreak]

Stel

\(\frac{a}{x}=u\)

en druk nu beide limieten eens uit in u.

[The Taffer]

Stel

\(\frac{a}{x}=u\)

en druk nu beide limieten eens uit in u.

\(\lim_{\frac{a}{u}\to\infty}{\left[\frac{a}{u}\sin{\left(u\right)}\right]}=a\)

en

\(\lim_{\frac{a}{u}\to\infty}{\left[\frac{a}{u}\tan{\left(u\right)}\right]}=a\)

Maar geen idee hoe je dit kan bewijzen

[aadkr]

in die eerste limiet moet je volgens mij die x nog vervangen door a/u

[The Taffer]

Gedaan; wat nu?

[aadkr]

u=a/x alsnu x naderd tot+oneindig waar nadert die u dan toe

[The Taffer]

0

(iets wat ik graag noteer is "+0" of "-0) (een waarde die nul positief, dan wel negatief nadert, afhankelijk van de waarde van a) is hier een correcte notatie voor?)

[aadkr]

\(u \uparrow 0 \)

betekent dat u van de negatieve kant tot nul nadert

\(u \downarrow 0 \)

betekent dat u van de positieve kant tot nul nadert

hangt af van de waarde van a (of deze positief is of negatief)

maar dat maakt toch voor de berekening van die limiet niets uit.