Vallen met luchtweerstand

[Roberto Molvado]

Hallo, mijn eerste topic op dit prachtige forum.

Dit was iets wat ik me laatst zat af te vragen: hoe reken je aan een situatie waarin iets valt met luchtweerstand?

Stel, ik laat een bol vallen vanaf 10 meter hoogte. Hoelang duurt het voordat hij de grond raakt?

De bol heeft een straal van 20 cm en een massa van 1 kg. Het is een bol, dus we zeggen C_w = 0.5. De luchtdichtheid is vandaag

1.3 kgm^-3.

Zonder luchtweerstand is dit niet moeilijk:

s = 0.5*g*t² -> t = wortel(2*s/g) = 1,43 s

...Maar hoe moet dit met de luchtweerstand?

Alvast ontzettend bedankt.

[Olezgus]

Welkom op dit inderdaad mooie forum

Je zult volgens mij de krachtenbalans uit moeten schrijven om een probleem met luchtweerstand op te lossen. Ben je bekend met het oplossen van differentiaalvergelijkingen?

[Olezgus]

Als we de resulterende kracht (en dus versnelling) naar beneden positief definieren hebben we de volgende balans:

F_res = F_z - F_{luchtweerstand}

m a = m g -

\(\alpha\)

v²

met

\(\alpha\)

hierin als verzameling van de constanten in de luchtweerstandterm van wikipedia

Dit is een niet-lineaire tweede orde differentiaalvergelijking:

m x'' +

\(\alpha\)

( x')² = m g

Om hier een oplossing uit te halen is niet zo heel eenvoudig (maar het kan wel).

[Olezgus]

Sorry, ik was iets te snel waardoor ik mijn post moest bewerken. Nu klopt het als het goed is wel wat in mijn eerdere post staat.

Als je de versie had gezien waarin ik beweerde dat het een lineaire tweede orde DV was... dat was dus fout, toen was ik het kwadraat vergeten... ](*,)

[Th.B]

Gelukkig voor TS heeft de DV geen x(t)-term. Je moet nu x'(t) = f(t) invullen en f(t) zoeken. Dan integreren naar t.

[pgbakker]

Jammer dat dit topic gestopt lijkt.

Met de aanwijzing van Th.B moet het toch mogelijk zijn de oplossing te vinden.

Dan kunnen we ook de beginvraag van Roberto: 'hoe lang duurt het dat de kogelde grond raakt als deze vanaf een hoogte van 10 meter valt'? beantwoorden.

Wat zou het instructief zijn om een grafiek te maken waarin de valtijd staat als functie van de valhoogte. En dan voorbede gevallen: met en zonder luchtwrijving.

Misschien heeft Roberto zelf al iets gevonden, ik ben benieuwd.

Gr. P. G. Bakker

[Anton_v_U]

De DV voor v(t) heeft de vorm: v' = g - kv² met k = ½ρAc_w

Deze kun je door integratie oplossen. De functie die je moet integreren heeft de vorm: dx/(1-x²)

Zie http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_rational_functions

Je krijgt dan t als functie van v en dat reken je weer om. Met de absoluut strepen in de algemene oplossing van deze integraal moet je uitkijken: er is maar 1 oplossing fysisch acceptabel.

Ik kom dan uit op v(t) = √(g/k) (exp[2t√(gk)] - 1)/(exp[2t√(gk)] +1)

Merk op dat voor t=0 v=0 en voor t→∞ v = √(g/k) en (differentiëren) voor t=0 is v' = g

Om te berekenen waar hij de grond raakt moet je nog een keer integreren.

De integraal van v(t) heeft de vorm dx(e^x-1)/(e^x+1); deze is om te schrijven naar een standaardintegraal onder substitutie van: e^x=u, dan krijg je (u-1)du/(u²+u) en dat is weer uit te rekenen met standaardintegralen.

Door invullen vind je t voor x=10.

[Roberto Molvado]

Ontzettend bedankt voor de hulp heren, maar ik vrees dat dit echt te ingewikkeld is voor mijn simpele brein. Ik ken de helft van de gebruikte begrippen niet eens.

Mijn profielwerkstuk gaat te maken hebben met luchtweerstand, dus ik zal dit wel een keer moeten snappen. Ik ga het denk ik maar aan mijn natuurkunde leraar vragen.

Dit alles heeft me wel een aan een beginnetje geholpen, dus bedankt.

[ThomasC]

Om deze vraag min of meer eenvoudiger te maken lijkt het mij een realistische aanname dat de luchtweerstand over deze 10m slechts evenredig zal zijn met de snelheid, en niet met het kwadraat van de snelheid. Anders krijg je een niet lineaire differentiaalvergelijking die eigenlijk enkel numeriek te benaderen valt. Indien we dit veronderstellen krijgen we volgende vergelijking:-m*g+1/2*rho*C*A*y'(t)=m*y''(t)

Deze vergelijking valt op te lossen met laplace transformaties of andere technieken. Je krijgt dan een vergelijking voor de y-positie die ik in een afbeelding heb gestoken.

(Mijn excuses voor de opmaak, ik ben nieuw hier en heb geen idee hoe ik dit deftig moet formatten. Indien iemand hier meer ervaring mee heeft, alle hulp is welkom). Nu zoeken we eigenlijk op welk tijdstip de y-positie nul zal worden. Deze vergelijking oplossen is zeker niet eenvoudig, maar zal in theorie het resultaat geven dat ook in de afbeelding staat.Dit is duidelijk geen simpele wiskunde meer(lambertfuncties en dergelijke), daarmee dat ik de vereenvoudiging veronderstelde in het begin. Voor jouw concrete situatie, wanneer de beginhoogte 10m bedraagt en al de parameters zijn ingevuld, zal de valtijd 1.414 seconden bedragen. (zie ook grafiek van de Y-positie in functie van de tijd.) Ik hoop dat dit je verder kan helpen. Indien je toch wilt voortrekenen met de luchtweerstand evenredig aan het kwadraat van de snelheid raad ik numerieke oplossingsmethoden aan. Ik vermoed dat dit zelfs niet meer algebraïsch op te lossen valt anders.

Vriendelijk groeten, Thomas. (btw als iemand weet hoe je de opmaak "mooier" maakt, geef gerust reply)

[ThomasC]

En bovendien lijkt het mij ook niet echt te lukken om een afbeelding toe te voegen. Maar anyway, het komt neer op een grote hoeveelheid algebraïsche functies die waarschijnlijk weinigzeggend zijn. Bovendien is het verschil in tijd, 2 hondersten van een seconde, totaal irrelevant in deze situatie. De luchtweerstand wordt pas echt een factor bij veel hogere snelheden. Het is veel eenvoudiger en even correct om hier zonder luchtweerstand te rekenen. De fout is amper 2 a 3 procent.

Wanneer de luchtweerstand groter is dan 10 procent van de gravitatiekracht zou ik deze pas als relevant beginnen beschouwen. Dit gebeurt echter pas bij 24 m/s of grofweg 85 km/h. De bal zou dan van ongeveer 30m hoog vallen.

[Roberto Molvado]

Bedankt Thomas. Ik ben ook dingen tegengekomen over v-kwadraat tegenover gewoon v. Dit heeft iets te maken met Re? Reynolds Number? Hier kan ik zelf ook geen chocola van maken.

ja, ik ben me er van bewust dat in mijn voorbeeld de luchtweerstand weinig invloed heeft, maar ik zal een geheimpje vertellen.

Ik moet voor mijn PWS (onder andere) een formule opstellen waarmee je doormiddel van enkel de coördinaten van een doelwit kan raken met een kruisboog. Bij een kruisboog (ballista eigelijk) heb je een mondingsnelheid van waarschijnlijk meer dan 100 km/h. Hierbij is de luchtweerstand wel van belang.

Maar aangezien ik geen flauw idee had je met de luchtweerstand te werk gaat, heb ik dit topic gestart.

Ik zie nu trouwens ook dat dit eigelijk thuis hoort in 'school vraagstukken', mijn excuses hiervoor.

[Anton_v_U]

v ipv v² heeft te maken met een benadering. Dat vind ik eerlijk gezegd een gevaarlijke en natuurkundig is het niet zo mooi omdat de dimensies niet kloppen. Ik weet niet of je vwo doet? Zitten eenvoudige differentiaalvergelijkingen en integralen eigenlijk nog in het wiskunde programma? Misschien wil je natuurkunde (of wiskunde) leraar je daar mee helpen?

Een alternatief is natuurlijk om het numeriek op te lossen m.b.v. een model.

[Roberto Molvado]

Aha. Duidelijk.

Uiteraard ( ) doe ik VWO.

Differentiëren en integreren zitten wel in het programma, zei het dat dat wel een zomervakantie geleden is... Van een differentiaalvergelijking daarentegen, heb ik nog nooit gehoord. Is het gewoon weer een andere naam voor de afgeleide, of echt iets anders?

Ja, zodra school weer begint ga ik een leraar inschakelen.

Heb ik ook overwogen. Het is alleen wel een beetje 'vals spelen'.

[mathfreak]

Van een differentiaalvergelijking daarentegen, heb ik nog nooit gehoord. Is het gewoon weer een andere naam voor de afgeleide, of echt iets anders?

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin de afgeleide van een functie voorkomt, en waarbij de oplossing zelf ook weer een functie is. Op Wikipedia kun je hier verdere informatie over vinden.

Tot aan de Tweede Fase maakten differentiaalvergelijkingen nog deel uit van de Wiskunde B-stof voor vwo, maar daarna is dat geschrapt, vandaar dat je ze dus niet bent tegengekomen.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

Nog een nieuwe poging tot afbeelding posten.

Een eenvoudige handleiding daarvoor is beschikbaar.

blijft het misgaan, stuur mij dan eens een persoonlijk bericht (klik op mijn avatar en kies de knop "stuur mij een bericht" in mijn profiel) waarin je uitlegt wat je aan het proberen bent