Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Wien Ee]

... zou de kraalketting geen extra energie kunnen halen uit het verschil in zwaartekrachtversnelling die inwerkt op beide delen van de kraalketting. Vermist het gedeelte van de de kraalketting die neerwaarts beweegt steeds langer is dan het gedeelte van de kraalketting die opwaarts beweeg, ...

Ja, de ketting komt in beweging, omdat die naar beneden valt. Of anders gezegd, het gedeelte dat naar beneden valt is langer, dan het gedeelte dat omhoog beweegt. Daarover is iedereen het eens, meen ik, hoop ik. Misschien goed voor de discussie, zo af en toe vast te stellen waarover we het eens kunnen zijn.

... Wat eenvoudige wiskunde toont volgens mij aan dat kralen die een hoogte

\(h\)

uit de beker naar beneden vallen, een boog kunnen onderhouden die tot

\(h/\sqrt{2}\)

hoog gaat, zonder energiebehoud te schenden. ...

Ik zou willen dat ik dit kon beamen. Ik zie het niet. Mijn natuurkunde of wiskunde inzicht schiet te kort. Kan je het laten zien?

... De berekening van de kracht F_A zit me nog niet helemaal lekker, ...

Kracht F_Ais de kracht nodig voor het versnellen van de ketting. Die kracht klopt denk ik wel. Zou het kunnen dat we een kracht over het hoofd zien? Een kracht die de ketting in de pot houdt. Wrijvingskrachten van de ketting over de ketting en de wand van de pot. Centrifugaalkrachten omdat de ketting in de pot een bocht maakt van minstens een kwart cirkel. Krachten door inelastische botsingen van de bewegende schakeltjes van de ketting.

[Denkertje70]

Ja, de ketting komt in beweging, omdat die naar beneden valt. Of anders gezegd, het gedeelte dat naar beneden valt is langer, dan het gedeelte dat omhoog beweegt. Daarover is iedereen het eens, meen ik, hoop ik. Misschien goed voor de discussie, zo af en toe vast te stellen waarover we het eens kunnen zijn.

Ik denk niet dat je mij volledig begrijpt.

De zwaartekrachtversnelling verlaagd wanneer de hoogte toeneemd. Op het hoogste punt (de lus) is de zwaartekrachtversnelling voor beide delen van de kraalketting hetzelfde, dus het opwaarts en neerwaarts bewegend deel. Maar op het laagste punt is dit anders, dan is de zwaartekrachtsversnelling bij het neerwaarts bewegend gedeelte van de kraalketting groter dan bij het opwaarts bewegend gedeelte van de kraalketting. Dus er heerst op beide delen van de kraalketting een verschillend gemiddelde zwaartekrachtversnelling.

Ik beschik niet over de exacte gegevens maar laten we veronderstellen.... (cijfers zijn niet juist, alleen voor indicatief doeleinde).

Opwaarst bewegend kort gedeelte van de kraalketting:

- op het hoogste punt is G daar 9,8ms-2

- op het laagste punt is G daar 9,82ms-2

- de gemiddelde G die dus op de opwaarts bewegend deel van de kraalketting werkt is 9,81ms-2

Neerwaarst bewegend lang gedeelte van de kraalketting:

- op het hoogste punt idem al boven dus 9,8ms-2

- op het laagtse punt is G daar 9,85ms-2

- de gemiddelde G dat dus op het neerwaarts bewegend deel van de kraalketting werkt is 9,825ms-2

Het verschil tussen beide zou dan 9,825ms-2 - 9,81ms-2 = 0,015ms-2 zijn.

Dus het opwaarts bewegend deel zou minder snel afremmen door lager gemiddel zwaartekrachtversnelling en dus ook meer afstand nemen dan tegenover dat de kraalketting daarna versneld omlaag gaat met een hoger gemiddelde zwaartekrachtversnelling.

De echte waarde zijn veel kleiner, beduidend kleiner, maar zou dit misschien toch het stijgen van de lus kunnen verklaren tijdens dit fenomeen?

Dat was mijn uiteindelijke vraag

HV

[Michel Uphoff]

maar zou dit misschien toch het stijgen van de lus kunnen verklaren tijdens dit fenomeen?

Als je het beziet van uit een energiestandpunt is het duidelijk dat er na enige tijd, nadat de eerste kogeltjes de grond raken, geen versnelling meer is en er een evenwicht ontstaat.

Het massazwaartepunt van het dalende deel van de ketting verplaatst dan immers niet meer, voor ieder kogeltje dat de grond raakt wordt er een kogeltje van de pot gerukt (..). Ook het stijgende deel van de ketting versnelt dan logischerwijs niet meer. Dit onder de aanname dat de boog op stabiele hoogte blijft wat in de filmpjes het geval blijkt te zijn.

Als het hoogteverschil tussen deze twee massazwaartepunten bijvoorbeeld 2 meter is kan het volgende sommetje worden gemaakt:

Gravitatieconstante 6,6726 × 10⁻¹¹

Straal laagste punt: 6.378.000 meter (r₀)

Straal hoogste punt: 6.378.002 meter (r₁)

Massa Aarde 5,972.10²⁴ kg

\(g=G.\frac{M_a}{r^2}\)

g₀= 9,7959342

g₁= 9,7959280

Het verschil in versnelling is dan pakweg 0,0000062 m/sec²= 0,0062 mm/sec^2.

Dat lijkt mij volstrekt verwaarloosbaar. Bij 5 seconden valtijd zou het hoogteverschil tussen beide massazwaartepunten (s=¹/₂at²) door gravitatieverschillen toenemen met maximaal 0,077 mm

[Denkertje70]

Bij 5 seconden valtijd zou het hoogteverschil toenemen met maximaal 0,077 mm.

Ik had een stil vermoeden dat het weinig of niets ging uitmaken....

Wat mij vooral opvalt is dat de boog/lus niet alleen toeneemd door een vallende kraalketting, maar ook bij een horizontaal weggetrokken ketting/touw. Zie maar het filmpje van de mythbusters. Daarom dat ik dacht dat misschien door het verschil in gemiddelde zwaartekrachtversnelling een golf die zou onstaan bij het raken van de rand door de ketting (of iets dat een golf veroorzaakt) zodannig versterkt zou worden erdoor....

... maar niet dus, toch bedankt voor het uitwerken ervan

HV

[jkien]

Een interessant youtubefilmpje van MIT (TSGPhysics) laat zien hoe een gesloten kettinglus zijn boogvorm redelijk handhaaft terwijl hij een stukje over de vloer wandelt: waves on a chain

[Anton_v_U]

Geweldig filmpje! Ik wil altijd graag eerst een kwalitatief inzicht hebben in de onderliggende fenomenen.

Het meeste gereken in deze discussie trekt me daarom minder aan omdat ik gewoon de achterliggende principes nog helemaal niet begrijp.

Bijvoorbeeld waarom dit werkt met dit type ketting en niet met een touw of draad met vergelijkbare massa per lengte eenheid? Is daar al een bevredigend antwoord op gevonden?

Bij dit filmpje vraag ik me af: als die lopende kettinglus berust op een een golfverschijnsel, een soort van resonantie of staande golf, treedt het effect dat je in het laatste deel van het filmpje ziet dan alleen op bij een lus van deze lengte (of veelvouden van een bepaalde lengte)?

[Michel Uphoff]

Het blijft een fascinerend fenomeen waar ik ook mijn hersens niet omheen krijg en dat meer vragen dan antwoorden oplevert.

Waarom precies dit vormbehoud, en geldt dit inderdaad alleen voor zo'n bolletjesketting of voor alle zeer soepele materialen met grotere dichtheid?

Waarom maakt een vertikale lassoboog een keurige cirkel, en de losgeschoten bolletjesketting niet?

lasso 723 keer bekeken

Wat zou er gebeuren als de rotatiesnelheid danig opgevoerd wordt; je ziet vlak voor het losmaken een heel specifieke vorm in de ketting ontstaan met een buik linksonder. Het lijkt dat deze buik bij hogere snelheden steeds groter wordt. Wat zou de vorm bij zeer hoge snelheid zijn; links een halve boogvorm en rechts vrijwel recht naar beneden?

Welke rol speelt de luchtweerstand?

Waarom schiet de ketting linksboven niet naar buiten, maar blijft keurig op de rol terwijl ook daar de impulsvector wijzigt. Is dat alleen te wijten aan het gewicht van de kettingring en zou bij hogere snelheden de ketting ook hier een grotere boog gaan beschrijven?

Zou de uiteindelijke vorm zonder luchtweerstand een cirkel gaan benaderen?

Vragen, en weinig antwoorden. Ben het met je eens dat beginnen met in formules te duiken zonder te begrijpen wat er aan de hand is niet erg vruchtbaar lijkt.

Nergens heb ik een volledige en bevredigende verklaring gelezen. Ook hier gaan ze er dieper op in, maar blijven er vragen.

[Wien Ee]

Fascinerend filmpje! Het gaat erg tegen mijn intuïtie in. Die intuïtie zegt dat de ketting zo snel mogelijk een cirkelvorm zal aannemen. In plaats daarvan houdt de ketting zijn vorm.

kogeltjesketting-9 720 keer bekeken

Erover redenerend is de lus die de ketting vasthoudt, volgens mij, nog steeds te verklaren met centrifugaal krachten. Bovenaan en onderaan doorloopt de ketting een halve cirkel. Daar wil de ketting naar buiten. De centrifugaalkrachten houden de stukken ketting er tussen strak.

Op grond van bovenstaande hypothese, voorspel ik dat een in een driehoek rondlopende ketting ook zijn vorm behoud:

kogeltjesketting-10 718 keer bekeken

[Bartjes]

De groetjes mensen, veel plezier verder met dit topic.

Ik heb nog aan mijn model gesleuteld, maar ben inmiddels tot de conclusie gekomen dat dit model niet verder te verbeteren is. Dat wil zeggen: niet op een eenvoudige manier. Om werkelijk verder te komen zullen nieuwe, tot nog toe niet gemodelleerde aspecten van de fysieke ketting aan het model moeten worden toegevoegd.

Iets waar we nog geen aandacht aan hebben besteed zijn de impulsmomenten van de individuele schakels ten opzichte van hun respectieve zwaartepunten. Daarvoor moet men de schakels een zekere eindige (niet infinitesimale) grootte geven, waardoor de zaak direct geweldig veel ingewikkelder wordt. - Maar misschien dat iemand er met een vereenvoudigde aanpak iets mee kan?

[Marko]

Ik heb er in de tussentijd ook nog eens over nagedacht, en misschien kan ik datgene wat mij het meeste dwars zat als volgt formuleren:

Om de boog te laten groeien moet de "achterkant", dus het omhoog bewegende deel, een grotere absolute snelheid hebben dan het naar beneden bewegende deel. Echter, die achterkant wordt juist door het naar beneden bewegende deel voortgetrokken. Hoe kan het dan een grotere snelheid krijgen? Volgende stap: Ze kunnen nooit een grotere snelheid krijgen dan hun voorlopers in de ketting hadden, dus kan dit in feite alleen als de voorkant ergens wordt afgeremd. Maar wat zorgt daar dan voor?

Het nut van impulsmomenten van de schakeltjes zie ik niet zo. De schakels zijn erg klein ten opzichte van het traject dat ze afleggen, dus ik denk dat je dat met een gerust hart kunt verwaarlozen.

[Michel Uphoff]

De enige verklaring die ik kan bedenken is de in #21 beschreven analogie met de elastische sleepkabel, die er toe leidt dat de getrokken auto een grotere snelheid krijgt dan de sleepwagen.

Hier hebben we tientallen auto's aan elkaar verbonden met een elastische kabel (niet veel rek per schakel, maar zeker niet te verwaarlozen). Al die elastische potentiële energie in de schakeltjes komt natuurlijk eens vrij.

Een voortdurende reeks kop-staart botsingen zou dan het gevolg moeten zijn. Al die botsingen stuwen dan de sleepwagen (het bovenste kogeltje) naar een grotere snelheid dan hij initieel had.

[Bartjes]

Om de boog te laten groeien moet de "achterkant", dus het omhoog bewegende deel, een grotere absolute snelheid hebben dan het naar beneden bewegende deel. Echter, die achterkant wordt juist door het naar beneden bewegende deel voortgetrokken. Hoe kan het dan een grotere snelheid krijgen?

Tijdens het groeien moet dat op zuiver geometrische gronden (bij gelijkblijvende breedte) inderdaad zo zijn, anders hou je immers geen extra stukje ketting over om het hogere boogje te vormen.

Volgende stap: Ze kunnen nooit een grotere snelheid krijgen dan hun voorlopers in de ketting hadden, dus kan dit in feite alleen als de voorkant ergens wordt afgeremd. Maar wat zorgt daar dan voor?

Bij je redenering over wat fysisch al dan niet kan laat je de centripetaal- en spankrachten buiten beschouwing. Het is zeer twijfelachtig of dat wel mag.

Zoals ik al eerder schreef denk ik dat dit verschijnsel te ingewikkeld is om op basis van enkel analogieën en redeneringen te begrijpen. Ik beschouw het stationaire geval als verklaard wanneer de vorm van het boogje uit de Wetten van Newton is afgeleid. Ik heb wel een boogje gevonden, maar het heeft nog niet de juiste (waargenomen) vorm. Mijn verklaring is dus ook nog niet compleet.

Het dynamische geval is mij te ingewikkeld.

Het nut van impulsmomenten van de schakeltjes zie ik niet zo. De schakels zijn erg klein ten opzichte van het traject dat ze afleggen, dus ik denk dat je dat met een gerust hart kunt verwaarlozen.

Ze zijn inderdaad erg klein, maar het zijn er daardoor ook erg veel. Het zou goed kunnen dat het effect van de impulsmomenten verwaarloosbaar is, maar daarvoor zie ik dan graag een kwantitatieve argumentatie. Stel bijvoorbeeld dat de energie die er in de rotatie van de schakels gaat zitten minder dan een duizendste is van de translatie-energie van de schakels dan zal het bij de vorm van het boogje waarschijnlijk verwaarloosbaar zijn.

Bij een kladberekening kom ik er op uit dat in een half cirkelvormig boogje met straal R voor de rotatie-energie van een kogeltje E_rot en de translatie-energie van een kogeltje E_trans (het kogeltje met straal r) geldt dat:

\( \frac{E_{rot}}{E_{trans}} \, = \, \frac{ 2 . \mbox{r}^2 }{ 5 . \mbox{R}^2} \)

.

Dat aandeel is inderdaad (en helaas voor mij) betrekkelijk gering.

@ Michel Uphoff. Je hypothese is in principe te toetsen door zorgvuldige bestudering van de slow motion video's. Hoe moet volgens jou dan de positie van de kogeltjes zijn op verschillende plaatsen van het boogje?

[Michel Uphoff]

In principe wel, maar praktisch denk ik niet dat dat gaat. De elastische rek in de staafjes is minimaal, waarschijnlijk ruim onder 1/10 mm per staafje, en dat is op de slomo niet te meten.

Als ik de ketting opschaal naar flinke gewichtjes, verbonden door stukjes elastiek, en dan met een ruk de eerste kogel uit de pot trek, kan ik mij wel een beeld vormen.

Zoals bij de sleepkabel zal in eerste instantie het staafje oprekken door de plotselinge versnelling. In #85 deed ik een poging een beeld te krijgen van de optredende krachten en versnellingen. Ongetwijfeld zit ik er flink naast, maar dat de versnellingen en krachten aanmerkelijk zijn lijkt mij zeer waarschijnlijk.

Intuïtief zou ik vermoeden, dat de afstand tussen de bolletjes (in de evenwichtssituatie waarbij de boog een stabiele hoogte heeft bereikt, en de ketting dus niet meer versnelt) vanaf de pot tot bovenin het boogje af moeten nemen. Waarschijnlijk niet lineair. In het boogje zouden dan afstanden tussen de kogeltjes zichtbaar af moeten nemen (ze halen hier hun voorgangers in) en de botsingen zouden in de top van het boogje zichtbaar moeten zijn. De foto's uit #41 lijken hiermee in overeenstemming.

Mijn idee uit #123 om met een stevig elastiek een test te doen, zodat de rek op verschillende posities werkelijk gemeten kan worden draait waarschijnlijk nergens op uit, want in #134 is duidelijk te zien dat er van een stijging van het boogje geen sprake lijkt bij touw.

En dat versterkt mijn idee dat het heel goed te maken kan hebben met wat 31707 in #126 opmerkt, een niet gladde verdeling. De kogeltjes hebben immers (net als de gesleepte wagen) een stukje vrije weg voor ze op hun voorganger knallen. Bij een touw is dat niet of in ieder geval minder het geval, daar zou je meer de analogie van de sleepwagen die een auto via een stang trekt moeten toepassen.

Maar kwalitatief is dit al een vrij armoeiige beschrijving, kwantitatief kom ik er helemaal niet uit. Mij lukt het niet een goed beeld te vormen van de processen die tot dit precieze gedrag leiden. Vooralsnog zie ik het als een hoogst dynamisch en complex proces, waar niemand (ook elders niet) nog een volledige verklaring voor heeft kunnen geven.

En daar baal ik van ...

[Bartjes]

En daar baal ik van ...

Ik zou het juist frustrerend vinden wanneer we alles al wisten.

[Bartjes]

Intuïtief zou ik vermoeden, dat de afstand tussen de bolletjes (in de evenwichtssituatie waarbij de boog een stabiele hoogte heeft bereikt, en de ketting dus niet meer versnelt) vanaf de pot tot bovenin het boogje af moeten nemen. Waarschijnlijk niet lineair. In het boogje zouden dan afstanden tussen de kogeltjes zichtbaar af moeten nemen (ze halen hier hun voorgangers in) en de botsingen zouden in de top van het boogje zichtbaar moeten zijn. De foto's uit #41 lijken hiermee in overeenstemming.

Die foto's zijn interessant. Zo te zien kan λ in en rond de top wel twee keer zo groot worden als elders. Dat moet ook effect hebben op de vorm van het boogje.