Afleiding abc-formule

[Jana Verhoeven]

Het afleiden van de abc-formule is toch best wel interessant...

Dit is wat we al hadden:

" de vierkantsvergelijking luidt aldus

ax²+bx+c=0

dan geldt ook

ax²+bx=-c

Ben je dat met me eens?"

Ik ben het met je eens.

"vermenigvuldig nu eens links en rechts van het = teken met 4.a"

Dat is 4a²x²+4abx=-4ac.

"en waar is het merkwaardig product (2ax+b)² gelijk aan ?"

Dat is gelijk aan 4a²x²+4abx+b².

[aadkr]

en waar is dan het volgende gelijk aan

\({(2ax+b)}^2-b^2=4a^2x^2+4abx\)

\({(2ax+b)}^2=b^2-4ac\)

[aadkr]

nu moeten we links en rechts van het = teken de wortel trekken.(maar pas op , want hier zit een valkuil in.

ik zal een voorbeeld geven

stel

\(x^2=9\)

dan is het duidelijk dat x=+3 voldoet ,maar ook x=-3 voldoet

dus

\(x=+\sqrt{9}\)

of

\(x=-\sqrt{9} \)

[Jana Verhoeven]

Wat bedoelt u?



B is naar het andere lid gegaan en 4a²x²+4abx is vervangen door -4ac.



En b²-4ac is D( discriminant).

Daaruit volgt dat:

(2ax+b)²=D

Ah,zo!



√(2ax+b)²=√b²-4ac

<=> (2ax+b)=b-2√(ac)

of (2ax+b)=-b-2√(ac)

[aadkr]

ik bedoel

\(2ax+b=+\sqrt{b^2-4ac}\)

of

\( 2ax+b= - \sqrt{b^2-4ac}\)

[Jana Verhoeven]

Oei, ik mocht de vierkantswortel nog niet berekenen.

[aadkr]

uit die eerste oplossing komt

\(2ax=-b+\sqrt{b^2-4ac}\)

\(x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

bereken nu zelf wat er uit die tweede oplossing komt

[Jana Verhoeven]

De tweede oplossing is dan:

2ax=b+√(b²-4ac)

<=> x=(b+√(b²-4ac))/2a

[aadkr]

\(2ax=-b -\sqrt{b^2-4ac}\)

nu nog links en rechts van het = teken delen door 2a

[Jana Verhoeven]

Dan krijg je :

x=( -b-√(b²-4ac) )/2a

En:

x=( -b+√(b²-4ac) )/2a

[Safe]

Ik mis het een en ander ...

1. ax^2+c=0 is 'direct' oplosbaar, waarom ax^2+bx+c=0 niet?

Wat moet voor a gelden?

2. Waarom vermenigvuldigen met 4a?

3. Is er een merkwaardig product wat kan helpen?

4. Waarom heet b^2-4ac de discriminant?

[Jana Verhoeven]

Ik denk dat dit de juiste antwoorden zijn op uw vragen, Safe.

1. A mag niet gelijk zijn aan 0.

2. Anders is er geen merkwaardig product, nl. (2ax+b)².

3. 4a²x²+4abx+b²= (2ax+b)²

4. Aan de hand van D (b²-4ac) kan je vergelijkingen "discrimineren" of "uitsluiten".

Als D<0 zijn er geen oplossingen.

Als D=0 is er 1 oplossing, nl. x= -b/2a.

Als D>0 zijn er 2 oplossingen, nl. x1= (-b-√D)/2a en x2= (-b+√D)/2a.

Kloppen ze?

[aadkr]

dit laat ik graag aan Safe over.

maar volgens mij heb je het aardig door.

dat a niet gelijk aan nul mag zijn is nogal logisch

want dan krijg je de vergelijking

\(b\cdot x+c=0\)

en dat is de vergelijking van een rechte lijn

[Jana Verhoeven]

Samenvattend krijgen we dan:

ax² + bx + c = 0

<=> ax² + bx = -c

<=> 4a²x² + 4abx = -4ac

( <=> (2ax+b)² -b² = 4a²x² + 4abx )

<=> (2ax+b)² - b² = - 4ac

<=> (2ax+b)² = b² - 4ac

<=> 2ax + b = √(b² - 4ac) v 2ax + b = - √(b² - 4ac)

<=> 2ax = -b + √(b² - 4ac) v 2ax = -b - √(b²-4ac)

<=> x = (-b + √(b²-4ac)) / 2a v x = (-b - √(b²-4ac)) / 2a

[aadkr]

lijkt mij volkomen correct