Vallen met luchtweerstand

[Roberto Molvado]

Oke, ik heb even met JavaScript lopen spelen. Daarmee kom ik uit op 1,52618 seconde uit, met ongeveer anderhalf miljoen iteraties.

HTML onder bijgevoegd.

[Anton_v_U]

Helaas, geen differentiaalvergelijkingen dus. Modelleren zit wel in het natuurkundeprogramma. Een standaardopdracht is de beweging bepalen van een parachutist. Daarmee los je eigenlijk ook een differentiaal;vergelijking op alleen je leraar vertelt dat er niet bij om je niet in paniek te brengen Ben je met soortgelijke problemen bekend, weleens een model gebouwd in bijvoorbeeld coach?

[Roberto Molvado]

Nog nooit met Coach gewerkt, wel van gehoord.

Ik heb daarentegen wel zat programmeer ervaring. Check mijn vorige post.

[Anton_v_U]

Oke, ik heb even met JavaScript lopen spelen. Daarmee kom ik uit op 1,52618 seconde uit, met ongeveer anderhalf miljoen iteraties.

Prima! Dat bedoelde ik. Je moet wel kunnen uitleggen wat het programma berekent en vooral hoe het programma dat berekent. Als ik je leraar was zou dat denk ik wel 2 punten verschil maken. Kun je dat?

[Anton_v_U]

Ik heb daarentegen wel zat programmeer ervaring.

Zelf een model gebouwd in Java? Dat zijn bonuspunten (als ik je leraar was en als je een correct model er bij geeft). Maar het blijft natuurlijk belangrijk dat je zo'n model toetst in de praktijk (waarnemingen) en laat zien wat het verband is tussen de modeloutput en de natuurkundige pincipes die je hebt geleerd. En uiteraard dat je uiteindelijk antwoord geeft op de onderzoeksvraag (of dat je onderbouwt dat je voor een sluitend antwoord eigenlijk nog meer onderzoek zou moeten doen)

[ThomasC]

Persoonlijk zou ik niet weten of met nog een kwadraat erbij deze vergelijkingen überhaupt algebraïsch op te lossen vallen(naar de tijdsvariable dan). Volgens mij is het itereren de meest eenvoudige manier om hier tot een correcte oplossing te komen. Want het kwadraat is inderdaad nodig om de fysische dimensies te laten kloppen (tenzij je met extra constanten gaat goochelen). Het javascript lijkt mij correct opgesteld te zien aan de broncode

[Roberto Molvado]

Ik wek dit topic weer opnieuw tot leven omdat ik eindelijk de oplossing (denk te) heb(ben)! Of eigelijk, de uitkomst was hier al eerder gepost, maar nu snap ik de hele weg er naar toe.

Ik heb het even rustig, met kleinde stapjes, volledig uitgewerkt. Ik voel er weinig voor dit om te zetten naar die vergelijking plugin op dit forum, dus zie de bijlage hieronder.

Het enige wat lastig is, is dat ik uitkom op een t van 1,48649 s, en mijn model op 1.44666. Ik snap dat dit enkel een model is, maar met meer dan 10 miljoen herhalingen zou hij ontzettend accuraat moeten zijn, toch?

Aan de andere kant, de functie heeft een horizontale asymptoot die overeen lijkt te komen met de maximum snelheid: Fz = Fw -> m*g = k*v² -> v = wortel(m*g/k).

Zou iemand mijn werk even kunnen nakijken?

Nog maals, allemaal ontzettend bedankt voor jullie hulp!

[pgbakker]

Goedendag,

Ik heb het een en ander nagerekend en de volgende uitgangsgegevens gehanteerd:

massa: m= 1 kg

straal van de bol: R = 0.2 m

dichtheid van de lucht: rho = 1.3 kg/m3

valhoogte: H= 10 m

Ook heb ik aangenomen dat over het gehele valtraject de weerstandkracht evenredig is met het kwadraat van de snelheid, dus Fd = alfa.(V)2

Mbv de tweede wet van Newton volgt de DV:

m dV/dt = mg - alfa.(V)2

Deze heb ik opgelost met standaardintegralen( zie ook de aanwijzingen in eerdere Posts in dit topic).

Dit levert de volgende exacte oplossing voor de valtijd t als functie van de hoogte H:

exp(2.w.t) = ( 1 + W1)/(1 -W1)

Ín deze formule betekent:

w = Wortel(g.alfa/m)

W1 = Wortel(1 - exp(-2.alfa.H/m))

Bij H = 10 m wordt de valtijd 1.5267 sec.

De valsnelheid is dan 11.578 m/sec.

De evenwichtssnelheid Veq = 15.498 m/sec.

We kunnen nog iets meer zeggen over de geldigheid ivm de aanname dat de weerstand evenredig is met het kwadraat van V. Dit heeft inderdaad met het getal van Reynolds te maken.

Dit doe ik in een vervolg post.

Gr. P.G. Bakker

[pgbakker]

In de berekening van de vorige post is voor de weerstandscoeffcient Cd = 0.5 genomen.

De grootheid alfa wordt dan : alfa = Cd.pi.(R)2.rho/2 = 0.0408

PGB

[Roberto Molvado]

Dank je voor je reactie, Bakker.

Bij de uiteindelijke oplossing van de differentiaalvergelijking heb ik me laten helpen door Wolfram: http://www.wolframal...-a*f%28x%29%5E2

Jouw antwoord komt inderdaad overeen met die van mijn model.

EDIT: Ik heb mijn eigen ook nog eens na gelopen en gecontroleerd met mijn model en de integraal functie op mijn rekenmachine en alles lijkt toch te kloppen. Mooi.

[pgbakker]

Alles lijkt te kloppen zeg je, maar je kreeg voor de valtijd twee antwoorden 1.48649 sec. en1.44666 sec. die beide verschillen van het exacte antwoord 1.5267 sec. Is daar een verklaring voor. Het zijn natuurlijk kleine verschillen(zeg 3%) maar het gaat ons nu om het principe van de modellering.

Welke modellen heb je gebruikt? Als dat een analytisch model is( ik bedoel een formule bestaande uit elementaire functies) dan moet er exact hetzelfde antwoord uitkomen ( overigens ik kan ook een fout gemaakt hebben). Als je een numeriek model gebruikt hebt dan zijn kleine verschillen mogelijk maar deze verschillen moeten kleiner worden naarmate je meer stapjes neemt.

Overigens onze tijden komen heel mooi in de buurt van het geval zonder wrijving, bij een valhoogte van 10 m hoort en valtijd van 1.4278 sec.(g = 9.81m/sec2)

Nu iets over de aanname dat Fd evenredig is met (V)2; dwz de weerstandscoeffcient Cd is constant

Voor een gladde bol geldt dit voor 700< Re< 300.000.

Re is het getal van Reynolds gedefinieerd als Re = V.D/ nu waarin

- V is een karakteristieke snelheid, hier de snelheid van de bol

- D is een karakteristieke lengtemaat, hier de diameter van de bol

- nu is de kinematische viscositeit, hier voor lucht 15.11*10^-6 m^2/sec.

Toegepast op onze situatie:

Bij een valsnelheid van 11.578 m/s wordt Re = 314100( dus eigenlijk iets te groot)

De bol begint te vallen met snelheid nul, dan is het getal van Reynolds ook nul.

Echter bij welke snelheid wordt de ondergrens Re = 700 bereikt. Met de formule voor Reynolds volgt V=0.0264 m/s.

Dit is al na 0.0027 sec. en een valhoogte van 0.036 mm.

Verwaarloosbaar klein dus.

Conclusie: de aanname Cd is constant is geldig over vrijwel het hele traject van 10 m.

Echter willen we de valtijden boven de 10 m weten dan zouden we Cd moeten aanpassen.

In eerste instantie wordt Cd lager dan 0.5 en daalt zelfs naar een minimale waarde van ongeveer 0.09 bij Re = 500.000 , daarna stijgt de Cd weer.

Gr. PGB

[Roberto Molvado]

Alles lijkt te kloppen zeg je, maar je kreeg voor de valtijd twee antwoorden 1.48649 sec. en1.44666 sec. die beide verschillen van het exacte antwoord 1.5267 sec.

Ja, klopt. Dat is mijn fout. Ik ben een aantal dingen door elkaar aan het halen.

In mijn openingspost heb ik snel een willekeurige situatie geschets. Later heb ik dit voor mijzelf veranderd in het vallen van een basketbal. Ook in het document dat ik eerder gepost heb heb ik de basketbal gebruikt. De gegevens waren ergens door elkaar geraakt, vandaar de verschillen.

Welke modellen heb je gebruikt? Als dat een analytisch model is( ik bedoel een formule bestaande uit elementaire functies) dan moet er exact hetzelfde antwoord uitkomen ( overigens ik kan ook een fout gemaakt hebben). Als je een numeriek model gebruikt hebt dan zijn kleine verschillen mogelijk maar deze verschillen moeten kleiner worden naarmate je meer stapjes neemt.

Een numeriek model. Dit model heb ik ook eerder al gepost.

Ik heb gedraaid met een behoorlijk aantal herhalingen, dus het zou vrij accuraat moeten zijn.

Dat over het getal van Reynolds is interessant. Daar zal ik nog eens naar kijken.

[pgbakker]

Ik blijf nieuwsgierig naar jouw numeriek verkregen resultaten.

Vooral naar de invloed van het aantal iteraties(herhalingen) en metname of het antwoord convergeert?

Wat is het grootste aantal iteraties wat je hebt gedaan(1000?)

Zo ja, wat krijg je dan bij 100, 200, 500 en 1000 iteraties als uitkomst voor de valtijd?

Lukt dat?

Gr. PGB

[pgbakker]

OK.

Sorry, ik had je post van 24 augustus over het hoofd gezien.

Daar lees ik anderhalf miljoen iteraties en een valtijd van 1.52618 sec.

Tot op drie cijfers nauwkeurig achter de komma met het exacte antwoord(1.5267), heel mooi.

Mijn vragen zijn beantwoord.

Gr.PGB