(Complexe) uitbreidingen van functies

[Vrugtehagel]

Hallo,

ik heb een vraag. Ik las laatst een artikel over het uitbreiden van de zeta-functie naar het complexe vlak. Er stond alleen hoe je die kon uitbreiden naar x>0 i.p.v. x>1, niet naar alle getallen, maar dat is het probleem niet. Hierdoor kwam wel de vraag in me op: hoe moet je nou een functie uitbreiden naar een groter domein? Zijn daar specifieke technieken voor of moet je voor elke functie weer een ander geniaal trucje bedenken?

Alle antwoorden zijn welkom, ook voorbeelden (kan ik ook veel mee).

[Esthetisch]

Ik had precies dezelfde vraag:

http://sciencetalk.nl/forum/index.ph ... ntry964789

[Vrugtehagel]

Ik bedoel niet de zeta-functie specifiek, maar functies in het algemeen, ik kwam door jou vraag op het idee ;p.

[PeterPan]

Stel je hebt een functie voor x>0 en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld)

\(\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]\)

bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0.

Kies een punt in het gebied met x>0 (zeg punt C op afstand d van de oorsprong).

Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

[Esthetisch]

Stel je hebt een functie voor x>0 en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld)

\(\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]\)

bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0.

Kies een punt in het gebied met x>0 (zeg punt C op afstand d van de oorsprong).

Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

Als ik het goed begrijp heb je dus een punt op de x-as, en wordt vanuit dat punt de gehele y-'as' thv dat punt op de x-as gegeven. Die 'projectie' gebeurt dan door een zekere berekening met machtreeksen en convergentiestralen.

Klopt dat of begrijp ik het niet goed?

[PeterPan]

Ik zie wat je bedoelt. Het is anders.

Nogmaals:

Stel je hebt een functie voor x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0) en dat de functie bij uitbreiding op (bij voorbeeld)

\(\mathbb{C}\setminus (-\infty,0]\)

bestaat, alleen we kennen de functie slechts voor x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0).

Kies een punt in het gebied met x>0 (d.w.z. voor alle complexe getallen x+yi met x>0), zeg punt C op afstand d van de oorsprong.

Dan heeft de machtreeksontwikkeling in C een convergentiestraal d.

Je kunt dus door C goed te kiezen en de machtreeks daarin te bepalen de functiewaarde in elk punt van het domein berekenen.

[Esthetisch]

Ah dat is erg jammer dan. Volgens mij had de vraag van Vrugtehagel, en ook hetgeen waar ik naar op zoek ben, meer te maken met het uitbreiden van een functie x>0 naar het complexe vlak, dus naar x>0 en y

[Th.B]

@Peter Pan: je zegt dat je de functie (van jouw voorbeeld dan) kunt uitbreiden wanneer je weet dat hij 'bestaat' op het interval waarop hij nog niet gedefinieerd is, als ik het goed begrijp (zo niet, verbeter me dan). Hoe kun je weten of een functie zal bestaan op een interval waarop hij nog niet gedefinieerd is? Dat is me niet helemaal duidelijk.

[PeterPan]

Ah dat is erg jammer dan. Volgens mij had de vraag van Vrugtehagel, en ook hetgeen waar ik naar op zoek ben, meer te maken met het uitbreiden van een functie x>0 naar het complexe vlak, dus naar x>0 en y

Dat gaat net zo.

Stel je hebt een reële functie op

\((0,\infty)\)

.

Kies een reële a>0. Bepaal daar de machtreeks. Als die bestaat in a en de convergentiestraal is R, dan kun je de functie zien als een complexe functie die bestaat voor alle complexe punten op afstand <R van punt a.

Je weet dan ook zeker dat de functieuitbreiding niet bestaat in een punt ergens op de rand van de convergentiestraal.

[PeterPan]

@Peter Pan: je zegt dat je de functie (van jouw voorbeeld dan) kunt uitbreiden wanneer je weet dat hij 'bestaat' op het interval waarop hij nog niet gedefinieerd is, als ik het goed begrijp (zo niet, verbeter me dan). Hoe kun je weten of een functie zal bestaan op een interval waarop hij nog niet gedefinieerd is? Dat is me niet helemaal duidelijk.

Dat kun je niet weten. Je kunt ook niet weten of er een schat begraven ligt in je tuin. Maar als iemand het beweert, dan ga je zoeken. En als het er ligt zul je bij goed zoeken de schat ook vinden.

[Th.B]

Maar niet elke functie is dus uit te breiden naar een groter domein?

[PeterPan]

Maar niet elke functie is dus uit te breiden naar een groter domein?

Alle functies die gedefinieerd zijn op hun maximale domein zijn niet uit te breiden naar een groter domein.