Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Marko]

Tijdens het groeien moet dat op zuiver geometrische gronden (bij gelijkblijvende breedte) inderdaad zo zijn, anders hou je immers geen extra stukje ketting over om het hogere boogje te vormen.

Bij niet-gelijkblijvende breedte toch ook? Als het boogje groter wordt moet dat komen omdat er aan de achterkant meer schakels inkomen dan er aan de voorkant uitgaan; Dat kan alleen als ze aan de achterkant sneller gaan dan aan de voorkant. Of...?? Ik moet daar nog even over nadenken....

Bij je redenering over wat fysisch al dan niet kan laat je de centripetaal- en spankrachten buiten beschouwing. Het is zeer twijfelachtig of dat wel mag.

Het is juist door de spankracht dat de schakeltjes dezelfde snelheid hebben. Zodra een schakeltje zijn voorganger inhaalt zal er geen spankracht zijn? En van een centripetale kracht zal geen verandering in de absolute snelheid komen aangezien deze loodrecht op de bewegingsrichting werkt.

Zoals ik al eerder schreef denk ik dat dit verschijnsel te ingewikkeld is om op basis van enkel analogieën en redeneringen te begrijpen.

Het gaat ook niet om de analogieën en redeneringen. Het doel is niet om via een redenering een sluitende verklaring te vinden, al zou dat mooi zijn. De redeneringen zijn een middel om uit te vogelen welke vergelijkingen men kan toepassen.

Ik beschouw het stationaire geval als verklaard wanneer de vorm van het boogje uit de Wetten van Newton is afgeleid. Ik heb wel een boogje gevonden, maar het heeft nog niet de juiste (waargenomen) vorm. Mijn verklaring is dus ook nog niet compleet.

Ik zie de vorm als een minder belangrijk detail. Als je kunt verklaren dat de ketting onder bepaalde voorwaarden een boog maakt in plaats van strak over de rand glijdt, dan is dat de grootste stap. Daarna wordt in mijn optiek de vraag hoe zo'n ketting van strak over de rand (begintoestand) tot zo'n boog komt.

In feite een vraag die men volgens mij zou moeten kunnen beantwoorden met de beschrijving die je nu hebt. Als je die benadering toepast op een ketting die geen boog maakt, of in ieder geval niet de stationaire boog die je berekent. Een initiële vorm dus die vertrekt vanuit punt IV in bericht 49 naar een punt ergens lager dan de top, en van daaruit naar beneden.

Welke krachten rollen daaruit, en is uit die krachten misschien af te leiden dat zo'n boogje zich zal gaan vormen?

Ze zijn inderdaad erg klein, maar het zijn er daardoor ook erg veel.

Vandaar ook dat ik zei: ten opzichte van het traject dat ze afleggen. Als het er veel zijn wordt het totale traject dat ze met zijn allen afleggen ook erg lang...

Dat aandeel is inderdaad (en helaas voor mij) betrekkelijk gering.

Hoezo helaas? Het betekent dat een aanname die je eerder maakte terecht was. Én het betekent dat je je over een mogelijk ingewikkelde berekening waar je tegenop zag achterwege kunt laten.

[Bartjes]

@ Marko. Wat je zou kunnen doen om moeilijke dynamische vergelijkingen te omzeilen is berekenen (of zo mogelijk beredeneren) welke extra krachten er optreden wanneer de ketting door een volmaakt gladde "hevelbuis" van zekere vorm y = f(x) beweegt. Dan vind je in welke richting de ketting wil veranderen op weg naar een stabiele boogvorm: een vormverandering die de ketting in vrije toestand ook daadwerkelijk zou verwezenlijken moet immers door de vormvaste buis worden tegengewerkt.

Ook het moeilijke punt van het ontstaan van het boogje zou je zo stap voor stap moeten kunnen bekijken en begrijpen. Je begint dan met een ketting die door een vormvaste buis met een minuscuul cirkelboogje strak over de rand van het bakje zeer steil naar beneden gaat. De buis moet dan krachten leveren om de ketting in die baan te houden, en dat vertelt je welke neiging tot baanverandering de ketting in die beginsituatie vertoont.

Verder: bij een smal boogje ben je weinig kettinglengte kwijt aan het halve cirkelboogje bovenaan, en dus kan je met een zelfde lengte aan ketting wat hoger uitkomen.

[Bartjes]

Onderstaand figuurtje geeft aan wat ik met een hevelbuis bedoel:

hevelbuis 772 keer bekeken

Dit is de beginsituatie. Wanneer de ketting op snelheid komt zal de buis normaalkrachten op de ketting moeten uitoefenen om deze te dwingen de baan van de buis te blijven volgen. Die krachten zijn uit te rekenen, en zodra je ze weet weet je ook in welke richtingen de ketting van baan wil veranderen. Op die manier kan je stapsgewijze bij steeds iets aangepaste buisvormen nagaan hoe het boogje ontstaat.

[Marko]

Hmm ja; hoe langer ik naar dit probleem kijk hoe meer ik de overeenkomsten zie met de berekeningen aan vloeistofstromen. Wat me daarin eerder dwars zat was dat je bij vloeistoffen vaak uitgaat van niet-comprimeerbare stromen en van een kracht (druk) die van achteruit op de vloeistof staat, en dat is wat anders als de kralenketting. Zo'n ketting is in wezen het tegenovergestelde maar ik begin nu sterk te vermoeden dat het daardoor precies hetzelfde is.

Ik zal er eens een weekendje aan gaan zitten, maar niet dit weekend.

[jkien]

Misschien is het te verklaren met een staande golf. Waar de elastische ketting op trek belast wordt is een longitudinale golf mogelijk. De golfvergelijking is vrijwel hetzelfde als bij een elastische staaf, en de oplossing is een golf met voortplantingssnelheid c_L. Bij de staaf is c_L = √ E/ρ, en bij de ketting is c_L = √ E'/ρ'. Het accent heb ik toegevoegd vanwege de afwijkende eenheden. Voor de elasticiteitsmodulus [E]=Pa, [E']=N; voor de dichtheid [ρ]=kg/m³, [ρ']=kg/m. De veerconstante van een ketting met lengte L is E'/L.

Als de voortplantingsnelheid gelijk is aan de snelheid van de ketting wordt de lopende golf een staande golf (vergelijkbaar met de langzame transversale golf in waves on a chain van #170). Kies als randvoorwaarden een maximale spankracht in punt IV en spankracht nul in punt I *. Dan is het hoogteverschil h tussen I en IV gelijk aan een kwart golflengte, en de kogeltjes ondergaan tussen IV en I een kleine neerwaartse versnelling. Omdat de spankracht in I nul is kan de ketting boven dat punt 'omvallen'. De ketting wordt daar niet meer op trek belast, de kogeltjes kunnen dan ook over de steeltjes naar elkaar toe schuiven.

ρ' schatte ik in bericht [post=966048]#95[/post] op 0,03 kg/m. Stel dat een 1 meter lange ketting 1 mm uitrekt als er een kilogram aan gehangen wordt, dan is E' = 10⁴ N. Dan is c_L = 600 m/s. Jammer, dat is veel meer dan de 5 m/s van bericht #95, dat komt niet mooi uit.

ketting_I-IV 770 keer bekeken

* (In tegenstelling tot een stil hangende ketting, dan is de spankracht nul in punt IV en maximaal in punt I)

[Michel Uphoff]

Waar de elastische ketting op trek belast wordt is een longitudinale golf mogelijk...

Als de voortplantingssnelheid gelijk is aan de snelheid van de ketting wordt de lopende golf een staande golf

Zat ik ook aan te denken en het lijkt mij een mogelijke oplossingsrichting, maar al rekenend kwamen bij mij de waarden ook buiten een realistisch bereik.

[Bartjes]

Wellicht speelt de grootte van de kralen een rol in de minimaal realiseerbare kromtestraal?

Dat zou dan verklaren waarom de ketting veel minder hoog komt dan volgens mijn formules zou moeten, ik ga immers uit van "oneindig kleine" schakels. De door mij gevonden kettingbaan zou dan alleen optreden voor kettingen met minuscuul kleine kralen. - Is er iemand in staat die eventuele afhankelijkheid van hoogte en breedte van de kettingbaan van de kralengrootte te meten?

[Bartjes]

Al proberende kom ik toch steeds weer op de zelfde eerder gevonden oplossing uit, ik moet dus iets fundamenteels over het hoofd zien. Wellicht mag de rek-energie in de ketting inderdaad niet verwaarloosd worden. Ik heb dat tot nu toe wel gedaan. Andere gebruikers hebben al wel op de elasticiteit van de ketting gewezen. Hoe groot is deze rek-energie in verhouding tot de kinetische en potentiële energie?

[Bartjes]

Na wat rekenen kom ik op onderstaande aangepaste formule voor F_A waarbij met de rek van de schakels rekening is gehouden:

\( \left ( \frac{\mbox{v}_0^2 \lambda_0^2 }{ \mbox{k}^2 \mbox{m}^2 } \, - \, \frac{1}{ \mbox{k} \, \mbox{m} } \right ) . \, ( \mbox{F}_A )^2 \,\, + \left ( \frac{2 \mbox{v}_0^2 \, \lambda_0 }{ \mbox{k} \, \mbox{m} } \, - \, \frac{2}{\lambda_0 } \right ) . \mbox{F}_A \,\, + \,\, \mbox{v}_0^2 \,\, = \,\, 0 \)

.

Hierin is:

v₀ = de snelheid van de ketting in de situatie met verwaarloosbare rek.

λ₀ = de lineaire dichtheid van de ketting in de situatie met verwaarloosbare rek.

k = de veerconstante van een schakel.

m = de massa van een schakel.

F_A = de kracht waarmee de ketting uit bakje A getrokken wordt.

De vraag is nu of dit een zodanig andere kracht F_A oplevert dat de berekende baan in de buurt van de waargenomen baan komt.

[Bartjes]

Het is een lelijke formule waar niet veel aan te vereenvoudigen is. Daarom lijkt het mij 't beste om voor een realistische situatie uit te rekenen wat F_A wordt, en die waarde te vergelijken met de uitkomst volgens onderstaande eerder gevonden formule voor F_A waarbij nog geen rekening is gehouden met de rek:

\( F_A = {\scriptstyle \frac{1}{2}} . \lambda . v^2 \)

.

(Lees hierin λ als λ₀ en v als v₀ .)



De nieuwe F_A moet flink wat groter zijn dan de oude, bijvoorbeeld 2 maal zo groot. Pas dan kunnen we zeggen dat deze een essentiële verbetering van ons model oplevert.

Maar wat nemen we als realistische waarden voor v₀ , λ₀ , k en m ? Iemand een idee?

[Michel Uphoff]

hier komen ze uit op v₀= 3 m/s

In dit berichtje schatte ik de massa van een bolletje op 54 mg en een staafje op 12 mg

Aannemend dat een bolletje en een staafje tezamen 5 mm lengte oplevert, zou de lineaire dichtheid dan 13 gram/meter zijn (komt mij nogal laag voor..)

Die veerconstante is lastig, het bolletje gooit roet in het eten. Ik kan mij voorstellen dat het bolletje net iets makkelijker vervormt tot een rugbybal dan dat de staafjes oprekken. Ik zou als uitgangswaarde de elasticiteitsmodulus van staal nemen, en daar wat op variëren.

[Bartjes]

hier komen ze uit op v₀= 3 m/s

In dit berichtje schatte ik de massa van een bolletje op 54 mg en een staafje op 12 mg

Aannemend dat een bolletje en een staafje tezamen 5 mm lengte oplevert, zou de lineaire dichtheid dan 13 gram/meter zijn (komt mij nogal laag voor..)

Die veerconstante is lastig, het bolletje gooit roet in het eten. Ik kan mij voorstellen dat het bolletje net iets makkelijker vervormt tot een rugbybal dan dat de staafjes oprekken. Ik zou als uitgangswaarde de elasticiteitsmodulus van staal nemen, en daar wat op variëren.

Dank! We hebben dus al:

v₀= 3 m/s

Dat zal van de valhoogte afhangen, maar is sowieso een realistische optie.

Via je links kwam ik ook hier uit:

http://www.ballchain...hain_sizes.html

Dan zijn we er bijna...

[Bartjes]

In dit berichtje schatte ik de massa van een bolletje op 54 mg en een staafje op 12 mg

Ga je uit van een hol bolletje?

[Michel Uphoff]

Ja, die bolletjes zijn hol.

Ik heb wel eens zo'n kettingbolletje doorgezaagd. Dunwandig staal of messing om een haltervormig staafje geperst. Ziet er ongeveer zo uit:

Image1 775 keer bekeken

[Bartjes]

OK - dan neem ik je massa van de schakel en de lineaire dichtheid van de ketting ook over. Dus:

m = 66 mg (66 . 10^-6 kg) ,

λ₀ = 13 g/m (13 . 10^-3 kg/m) .

Nu k nog.