Kettingfontein (bead chain phenomenon)

[Bartjes]

Voor bakje A hebben we dan:

N_A - m_A . g = 0

N_A = m_A . g .

Voor bakje B hebben we:

N_B - ( m_B . g + F_i ) = 0

N_B = m_B . g + F_i .

Op het hele toestel werkt de zwaartekracht. Voor deze kracht G hebben we:

G = - m_A . g + - m_v . g + - m_B . g .

Voor de totale kracht F_tot die op het toestel werkt vinden we dan:

F_tot = N_A + N_B + G

F_tot = m_A . g + m_B . g + F_i + - m_A . g + - m_v . g + - m_B . g

F_tot = F_i - m_v . g .

Omdat de totale impuls van het toestel in stationaire toestand constant is, moet F_tot gelijk aan nul zijn. Dus:

F_i = m_v . g .

[Bartjes]

Als je het resultaat van het vorige berichtje verder uitwerkt kom je (weliswaar op een eenvoudiger wijze) toch weer op dezelfde formule voor h uit als we al eerder vonden:

http://www.wetenscha...post__p__965750

Dit is dus evenmin de doorbraak waar we naar zoeken.

[Esthetisch]

@Bartjes: ik loop dit topic nog eens goed te lezen en vraag me af: wat wil je nu eigenlijk berekenen? De inslagkracht heeft er toch niets mee te maken. Als je echt een formule wil die experimentele waarden geeft zul je zelf een experiment uit moeten voeren, want de voorbeelden in de filmpjes zijn daarvoor niet voldoende. Bijvoorbeeld de kronkels in de pot, daar west je nu helemaal niets over.

Toch lijkt de verklaring me wel rond en werd die eigenlijk in het begin ook al in meer of minder woorden genoemd door Marko en Confusie. Verbertering tov 'mijn verklaring' is dan nog dat het niet zozeer de drukkrachten zijn die de blog omhoog duwen, maar de centrifugale krachten die tot gevolg hebben dat een bolletje niet recht naar beneden valt, maar in een 'spiraal'. Die afwijking begint waar een bolletje vlak boven de grond hangt, en ze zich tegen de valrichting in door naar boven. Hierdoor wordt de boog dan logischerwijs omhoog getild. Bovendien gaat dat ook prima samen met de iets verlaagde valsnelheid.

Tot slot moet je dan nog een factor aanbrengen als gevolg van kronkels die juist weer als extra gewicht op de boog werken en dus stinging tegengaan.

[Bartjes]

@ Esthetisch

Dit topic is om twee redenen nog niet klaar:

Ten eerste hebben we de breedte van het boogje niet kunnen verklaren. In de eenvoudige benadering waarin we uitgaan van een half cirkelboogje is de straal R onbepaald. In de ingewikkelde benadering die ikzelf heb gebruikt vind ik weliswaar een precieze baan, maar deze heeft niet de vorm die we in de praktijk waarnemen.

Ten tweede leveren zowel de eenvoudige als de ingewikkelde benadering een te grote waarde voor de hoogte van het boogje. In de praktijk is deze véél lager.

Daarom moet er aan onze verklaringen nog iets essentieels ontbreken.

Het gaat mij ook niet om een empirisch gemeten formule, maar om een afleiding die formules oplevert waarvan de uitkomsten redelijk met de praktijkwaarden overeen komen. De kronkels hebben we expres weggelaten omdat de zaak dan nog veel ingewikkelder wordt dan die nu al is. Als je zelf een kwantitatief onderbouwde schatting kunt geven van de invloed van de kronkels op de hoogte van het boogje, zou dat heel mooi zijn. Maar dat zou dan wel in de video's terug te zien moeten zijn.

Je kan de inslagkracht F_i inderdaad buiten beschouwing laten, maar je kan hem ook gebruiken. Ik had even de hoop dat je door F_i te gebruiken bijvoorbeeld de straal R van de boog zou kunnen uitrekenen. Helaas blijkt dat niet het geval omdat een afleiding via F_i tot een reeds eerder gevonden formule leidt.

[Esthetisch]

Ten eerste hebben we de breedte van het boogje niet kunnen verklaren. In de eenvoudige benadering waarin we uitgaan van een half cirkelboogje is de straal R onbepaald. In de ingewikkelde benadering die ikzelf heb gebruikt vind ik weliswaar een precieze baan, maar deze heeft niet de vorm die we in de praktijk waarnemen.

De breedte van het cirkelboogje is in eerste instantie afhankelijk van A) het punt waar de ketting de grond raakt en B de stijfheid van de ketting. Als je zo’n ketting op de juiste manier vast houdt zie je al dat er altijd een soort van boog zal ontstaan. Omdat de vallende bolletjes in principe recht naar benenden vallen en de centrifugale krachten ze nog eens steviger vastzetten rondom die as, kan de boog nog wat breder worden. Maar als je pot te ver van het landingspunt staat, zal het fenomeen waarschijnlijk ook niet meer plaats vinden. De exacte vorm van de boog wordtvervolgens in tweede instantie telkens opnieuw bepaald door de wisselwerking van opstuwende krachten aan de vallende kant en neertrekkende krachten aan de potkant.

Ten tweede leveren zowel de eenvoudige als de ingewikkelde benadering een te grote waarde voor de hoogte van het boogje. In de praktijk is deze véél lager.

Daarom moet er aan onze verklaringen nog iets essentieels ontbreken.

Ja. de kronkels. Als je de ketting op zo’n manier zou kunnen neerleggen dat het optillen van opeenvolgende bolletjes met gelijke tijdsintervallen geschied, en ze bovendien vanaf steeds exact dezelfde locatie worden opgepakt, zal je de waarde krijgen die met je formule berekend wordt (ik heb niet heel de formule bekeken, maar als ik jouw zo goed begrijp maak ik dat er wel uit op. In realiteit zal dat nooit haalbaar zijn, de afwijking van die ideale situatie is de afwijking in hoogte van jouw formule.

Het gaat mij ook niet om een empirisch gemeten formule, maar om een afleiding die formules oplevert waarvan de uitkomsten redelijk met de praktijkwaarden overeen komen. De kronkels hebben we expres weggelaten omdat de zaak dan nog veel ingewikkelder wordt dan die nu al is. Als je zelf een kwantitatief onderbouwde schatting kunt geven van de invloed van de kronkels op de hoogte van het boogje, zou dat heel mooi zijn. Maar dat zou dan wel in de video's terug te zien moeten zijn.

Die kwantitief onderbouwde schatting: Zie de boog even als een vast geheel: wanneer het kettingkje netjes recht omhoog loopt is er aan de vallende kant een klein krachenverschil waardoor er op de boog netto net iets meer naar bovenwerkende krachten werken als naar benedenwerkende krachten. Die naar benedenwerkende kracht aan de vallende kant wordt immers door de boog heen omgezet in een trekkracht aan te potkant (waarmee die dus zichzelf opheft). Die kleine plus in positieve krachten zorgt ervoor dat de boog een klein beetje stijgt. Maar: bij een kronkel, trekt er aan de boog niet alleen de omgezette trekkende kracht, maar ook nog een klein extra stukje gewicht van het omhoog getrokken deel. Dit wordt weliswaar gelijk weer rechtgezet door vervolgens minder bolletjes uit de pot te trekken en het kettinkje op het stijgende deel weer recht te trekken, maar gedurende dat rechtzetten hangt er dus wel een extra gewicht aan die boog. Die doet de kleine positieve kracht die er was aan de vallende kant weer te niet.

[Bartjes]

@ Esthetisch

Het landingspunt is geen vast gegeven, je kan de ketting niet dwingen om op een zekere plaats neer te komen door daar een potje neer te zetten. Je zou wel aan het begin de ketting richting bakje B kunnen werpen, maar of dat dan ook een stabiele situatie oplevert moet je nog maar afwachten.

Als je redenering klopt zou een ketting die netjes in een smalle beker of fles A ligt opgerold een hoger boogje moeten opleveren dan een ketting die vanaf een breed schaaltje A start. Bij de paar experimenten die ik zelf gedaan heb leek dat wel enigszins het geval. De vraag is echter of je zo ook aan de berekende hoogte komt?

Je verhaal over de invloed van de kronkels op de hoogte van het boogje zou je in de video's terug moeten kunnen zien. Het boogje zou duidelijk moeten inzakken zodra er kronkels optreden.

(De stijfheid van de ketting brengt met zich mee dat de ketting geen willekeurig scherpe bocht kan maken. De boogjes die we in de praktijk zien zijn echter véél groter dan dat minimaal mogelijke bochtje, dus ik denk niet dat dit een grote rol speelt.)

[Esthetisch]

Het landingspunt is geen vast gegeven, je kan de ketting niet dwingen om op een zekere plaats neer te komen door daar een potje neer te zetten. Je zou wel aan het begin de ketting richting bakje B kunnen werpen, maar of dat dan ook een stabiele situatie oplevert moet je nog maar afwachten.

het landingspunt is geen vast gegeven, maar dat geldt net zo goed voor de vorm en positie van de boog. Het landingspunt bij iedere landing is telkens (mede)bepalend voor de positie en vorm van de boog een kleine tijdsspanne later. Ik zie dus niet in hoe dat een probleem zou zijn.

Als je redenering klopt zou een ketting die netjes in een smalle beker of fles A ligt opgerold een hoger boogje moeten opleveren dan een ketting die vanaf een breed schaaltje A start. Bij de paar experimenten die ik zelf gedaan heb leek dat wel enigszins het geval. De vraag is echter of je zo ook aan de berekende hoogte komt?

Dat is waar, alleen vergeet je dan dat bij zo´n oprolling ook een hoogteverschil ontstaat, die het in feite weer teniet zal doen door het steeds groter gewicht van het deel tussen de boog en de pot. De kleine h wordt dan misschien wel groter in jouw tekening, maar de grote H niet, en dat lijkt me niet de bedoeling.

Je verhaal over de invloed van de kronkels op de hoogte van het boogje zou je in de video's terug moeten kunnen zien. Het boogje zou duidelijk moeten inzakken zodra er kronkels optreden.

Is dat niet het geval dan?

[Bartjes]

het landingspunt is geen vast gegeven, maar dat geldt net zo goed voor de vorm en positie van de boog. Het landingspunt bij iedere landing is telkens (mede)bepalend voor de positie en vorm van de boog een kleine tijdsspanne later. Ik zie dus niet in hoe dat een probleem zou zijn.

We gaan uit van een stationaire situatie, daarbij blijven de vorm en grootte van de boog constant. Het dynamische geval is veel ingewikkelder, en dat gaat mij in elk geval boven de pet.

Dat is waar, alleen vergeet je dan dat bij zo´n oprolling ook een hoogteverschil ontstaat, die het in feite weer teniet zal doen door het steeds groter gewicht van het deel tussen de boog en de pot. De kleine h wordt dan misschien wel groter in jouw tekening, maar de grote H niet, en dat lijkt me niet de bedoeling.

Wanneer d groot genoeg is, mogen we dat effect verwaarlozen.

Is dat niet het geval dan?

Weet ik niet. Laat ons maar wat voorbeelden in de video's zien.

[Bartjes]

Interessant om mee te experimenteren zou onderstaande versie van de kralenhevel zijn:

ketting-h 601 keer bekeken

De kralen komen nu van een haspel waarvan men de draaiweerstand F_A kan regelen. Blijkt er dan bij iedere snelheid van de ketting een draaiweerstand te bestaan zodanig dat de ketting het boogje maakt dat we ook in het normale geval zien, dan is dat een sterke aanwijzing dat F_A ook in het normale geval op die wijze van de snelheid v afhangt. Waarom dat juist die afhankelijkheid is, moet dan theoretisch nageplozen worden. Ook is het interessant te bekijken wat er bij een weerstand nul gebeurt.

Zonder wat verse input van handige experimentatoren komen we niet verder.

[Bartjes]

http://www.youtube.c...h?v=l04fqChPcXg

Een mooie video waarin je kan zien dat de hoogte van het boogje niet constant is. Maar komt dat door de kronkels?

[Michel Uphoff]

Dat lijkt mij wel.

De ketting is niet al te netjes in de pot gelegd en op bepaalde moment redelijk verstrengeld.

[Bartjes]

De wijze waarop de ketting in het potje ligt zou dan in een uitgebreid model moeten worden meegenomen. Zou dat de afwijking tussen de praktische en theoretische hoogte van het boogje verklaren?

[Bartjes]

http://www.physics.p...mples/chain.pdf

Eindelijk een wetenschappelijke aanpak. Ik moet het nog grondig bestuderen, maar dit ziet er hoopvol uit. Die Kirk T. McDonald is geen kleine jongen.

Belangrijke citaten:

While energy is conserved, to a good approximation, in the rapid acceleration of a bead

from rest,³ it appears from eq. (22) of sec. 2.2.3 that about 3/8 of the kinetic energy expected

from the change in gravitational potential energy of the chain is “lost” before the chain hits

the floor. This loss of kinetic energy is presumably due to inelastic collisions between the

beads and the links of the bead chain, which occurs primarily in the quasivertical portion

of the chain below the height of the beaker (where the observer tends to ignore possible

perturbations to the falling motion).

That is, the mechanical construction of the beaded chain, which permits considerable loss

of energy in bead/link collisions, is essential to the demonstration, which would not work

well using, say, a string.

In the model given below for the steady-state trajectory of the chain, its reaches the floor

with a small horizontal component v_x to its velocity, whereas the actual v_x at the floor appears to

be negligible.



McDonald komt dus tot een schatting voor de verliezen zodanig dat zijn boogje redelijk overeenkomt met de in de praktijk gevonden vorm. Maar ook hij gebruikt een model waarin geen strikt verticale stukken in het kettingtraject voorkomen.

Of zijn model precies hetzelfde boogje oplevert als ik gevonden had, is mij nog niet helemaal duidelijk.

[Marko]

http://www.physics.p...mples/chain.pdf

Eindelijk een wetenschappelijke aanpak.

Dan doe je jezelf toch te weinig eer aan. De aanpak in dit topic is net zo wetenschappelijk als de PDF waarnaar je verwijst.

De PDF is zeker interessant, bekijk ook vooral de link die erin genoemd staat

[Michel Uphoff]

In de pdf wordt bij 'Model Calculations' het volgende opgemerkt:

Also, distance between the point on the falling chain at the same height as the beaker and the latter is roughly that same as the height h above the beaker of the top of the chain’s trajectory.

Lees ik het goed dat hier bedoeld wordt dat op bekerhoogte de horizontale afstand tussen ketting en beker ongeveer gelijk is aan de hoogte van de boogtop boven de beker?

Dat wordt met het filmpje van dit bericht m.i. dan wel ontkracht.