Kanon dat balletje wegschiet

[Dries Vander Linden]

Hallo,

Voor een project moeten wij balletjes wegschieten met een soort kanon onder een schuine baan (de hoogte van waarop het balletje weggeschoten wordt is h₀).

We moesten de hoek α berekenen waarvoor het balletje zo ver mogelijk vliegt.

Na enkele berekeningen heb ik gevonden dat dan

sin(α) / cos(2 . α) = 2 . v₀ . [ g / (2 . h₀) ]^(1/2) / g

Hieruit kunnen we dan numeriek α bepalen.

Verder hebben we nog te maken met een tweede probleem.

Ons kanon werkt met een veer die we opspannen en vervolgens loslaten, zodat de veer aan het balletje een bepaalde snelheid meegeeft in schuine richting.

ik zou graag die snelheid berekenen, want dit zou de beginsnelheid v₀ zijn uit de vorige formule.

ik weet echter niet hoe ik hieraan moet beginnen.

ik haalde al wat informatie uit http://www.wetenscha...gespannen-veer/

maar dit geldt voor een balletje dat in verticale richting weggeschoten wordt.

Geldt dit ook voor een balletje dat schuin weggeschoten wordt? Als dit niet het geval is, hoe zou ik dan best deze snelheid berekenen?

Alvast bedankt!

[physicalattraction]

Iets soortgelijks wordt in de topic die je aanhaalt ook al aangesneden. Kom je eruit met de volgende hints?

* Veer-energie:

\(E_{veer} = \frac{1}{2} k u^2\)

, met

\(k\)

de veerconstante en

\(u\)

de indrukking.

* Kinetische energie:

\(E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2\)

, met

\(m\)

de massa van een object en

\(v\)

de snelheid.

* Energie blijft altijd behouden.

[Dries Vander Linden]

Mag ik ook werken met veerenergie en zwaarte-energie, en deze gelijkstellen aan mekaar?

Dan bekom ik dat 1/2.k.u² = m.g.h met h de hoogte die ik maximaal wil bereiken.

deze komt overeen met de maximale hoogte die het balletje in de y-richting bereikt, en uit mijn eerste deel is

y(top)=v₀² . sin²(α) / g + u = h

dit steken in vorige formule geeft:

(1/2.k.u²-u.m.g)/(m.sin²(α)) = v₀²

Hier de wortel uit trekken, geeft mij dan de beginsnelheid waarmee het balletje met massa m een hoogte h bereikt door weggeschoten te worden met een veer met veerconstante k en indrukking u (en een lanceerhoek alfa).

Klopt dit?

[physicalattraction]

Je berekening is op zijn minst slordig. Ik twijfel bijvoorbeeld over de term +u in je eerste vergelijking. Of deze incorrect is kan ik niet zeggen zonder dat je een plaatje maakt en deze post, waarin je uitlegt wat je variabelen betekenen.

Bovendien lijkt je beredenering mij een gigantische omweg om

\(v_0\)

te bepalen. In het kanon wordt veer-energie omgezet in kinetische energie, dus kun je de snelheid direct uitrekenen aan de hand van de indrukking en de veerconstante, onafhankelijk van de hoek van het kanon.

[Michel Uphoff]

M.i. moet de massa van de veer zelf - indien deze aanmerkelijk is in verhouding tot de massa van de kogel - ook meegenomen worden in de berekening. Ik meen mij te herinneren dat 1/3 van de massa van de veer in de berekening moet worden meegenomen, maar zeker ben ik daar niet van.

Als dit klopt zou de formule aangepast moeten worden naar:

\(E_{kin} = \frac{1}{2}(m_m+\frac{1}{3}m_v) v^2\)

[Anton_v_U]

Mag ik ook werken met veerenergie en zwaarte-energie, en deze gelijkstellen aan mekaar?

Dan bekom ik dat 1/2.k.u² = m.g.h met h de hoogte die ik maximaal wil bereiken.

Beter niet zomaar dingen gelijkstellen maar nadenken over de omzettingen die plaatsvinden:

1. Er is veerenergie op het moment dat de kogel stil ligt. Geen kinetische energie en geen hoogte energie.
2. Er is kinetische energie op het moment dat de kogel wordt afgeschoten. Geen veerenergie en geen hoogte energie (als je het hoogteverschil tijdens het ontspannen van de veer mag verwaarlozen).
3. Tijdens het stijgen van de kogel wordt een deel van de kinetische energie omgezet in de hoogte energie. Dat is gemakkelijk te berekenen: E_h=1/2 m v²_begin - 1/2 m v²_horizontaal. De snelheid op het hoogste punt is immers de horizontale snelheid (geen luchtweerstand) en hety energieverschil zit in de hoogte.

Voor het bepalen van de hoek α:

• Bepaal v_horen v_vert uit α en v_begin
• Bepaal t (de tijdsduur van de vlucht) uit v_ver.
• Bepaal s = v_hor t (de horizontale verplaatsing)

Nu moet je s maximaliseren. Welke wiskundige techniek gebruik je daarvoor?

[Dries Vander Linden]

Dus eigenlijk zijn er drie energietoestanden E1, E2 en E3.

E1 = 1/2 k . x² (met x de indrukking van de veer en k de veerconstante)

E2 = 1/2 m . v₀² (met m de massa van het balletje en v₀ de beginsnelheid van het balletje)

E3 = m . g . h (met v de snelheid van het balletje en h de maximale hoogte van het balletje)

Bij E3 zal de snelheid van het balletje 0 zijn, aangezien het balletje zijn hoogste punt bereikt.

E1 = E2 = E3 (wet van behoud van energie)

Op deze manier kan ik makkelijk v₀ bepalen, als ik het balletje zo ver mogelijk wil laten vliegen (h kan ik berekenen uit mijn voorgaande stappen)

Klopt dit dan?

[physicalattraction]

Dit klopt precies. Je moet dan wel expliciet je aannames vermelden, want anders worden de formules anders (zie bijvoorbeeld Michel's post).

• Massa van veer is verwaarloosbaar t.o.v. massa van kogeltje.
• Hoogte van kanon is verwaarloosbaar t.o.v. hoogte dat kogeltje gaat bereiken.
• Luchtweerstand is verwaarloosbaar.

[In physics I trust]

En daar zit net het gevaar. Deze aannames, die in de theorie vaak worden gemaakt, zullen mogelijk niet kloppen als je de proeven daadwerkelijk uitvoert. De aanname dat je veer een te verwaarlozen massa heeft, lijkt mij een gevaarlijke gezien de schaal van de toestellen die je gebruikt.

Die factor 1/3 van Michel klopt overigens inderdaad.

Meet even beide massa's en kijk of ze verwaarloosbaar zijn. Deze grens bepaal je uiteraard zelf, maar het is evident dat de veermassa slechts enkele percenten mag bedragen.

Ook de tweede aanname is mogelijk een gevaarlijke: welke hoogte heb je al gevonden uit enkele tests?

[Anton_v_U]

Bij E3 zal de snelheid van het balletje 0 zijn, aangezien het balletje zijn hoogste punt bereikt.

voorgaande stappen)

Klopt dit dan?

Nee, de snelheid wordt alleen nul als je het balletje recht omhoog wordt geschoten. De verticale component van de snelheid wordt nul en de afname van de kinetische energie wordt omgezet in hoogte energie. Op het hoogste punt heeft hij i.h.a. een horizontale snelheid.

[Anton_v_U]

Als dit klopt zou de formule aangepast moeten worden naar:

\(E_{kin} = \frac{1}{2}(m_m+\frac{1}{3}m_v) v^2\)

Ik heb nooit eerder bedacht dat de veer zelf kinetische energie heeft.... Of liever gezegd: ik heb het altijd verwaarloosd

Maar ik heb het nagerekend en de formule is correct. De afleiding gaat als volgt:

Op het moment dat de veer het balletje loslaat, is de snelheid van het losse uiteinde uiteinde v (gelijk aan de snelheid van het kogeltje) en van het vaste uiteinde 0.

De lengte van de veer op dat moment is l₀.

De snelheid van de veer op afstand x (0<=x<=l₀) is: v(x) = x.v/l₀

Laat nu op dat moment de massadichtheid van de veer per eenheid van lengte gelijk zijn aan ρ_l(kg/m)

De aannames zijn dus:

Massa homogeen verdeeld over de lengte.

Plaatselijke snelheid van een stukje veer neemt lineair toe over de lengte van de veer.

De kinetische energie dE van een stukje veer met massa dm op plaats x is 1/2 dm v(x)².

Met dm = ρ_ldx. en v(x) = x.v/l₀

dE = 1/2 ρ_ldx x²v²/l₀. Integratie over x tussen 0 en l₀levert voor de kinetische energie van de veer zelf:

E = (ρ_lv²)/(2l₀²) . 1/3 l₀³. = 1/2 (1/3 m_vv²) omdat ρ_l.l₀= m_v (de massa van de veer)

[Michel Uphoff]

Jammer dat TS geen data opgeeft, anders zouden we eens kunnen kijken wat het verschil is tussen een ideale situatie (massaloze veer, geen wrijving, hoogteverschil veer en luchtweerstand verwaarloosbaar) en een meer feitelijke berekening. De wrijving (balletje en veer met buis) blijft dan wel een lastig punt.

Volgens mij is het zeer aanmerkelijk.

[Anton_v_U]

Volgens mij is het zeer aanmerkelijk.

Als het veertje net zoveel massa heeft als het balletje, dan gaat 75% van de energie in het balletje zitten. De beginsnelheid is dan zo'n 87% van de snelheid die je krijgt als je geen rekening houdt met de veermassa. Als de veer veel meer massa heeft dan het balletje, hangt de snelheid van het balletje alleen af van de veer: v = √(6E/m_v). Heel logisch eigenlijk: de veer ontspant zonder dat ze belast is.

Dit effect merk je dus (min of meer) duidelijk als het balletje lichter is dan de veer. Dit alles onder de aanname dat de formule de werkelijkheid goed beschrijft.