Tegenintuïtieve oplossing voor hoeksnelheid rondraaiiende slinger

[epistimi]

gegeven een touw met lengte l waaraan een massa m is bevestigd, dit touw is aan een staaf bevestigd dat kan ronddraaien. Daardoor gaat dus de massa meedraaien, en hoe sneller de draaiing, hoe meer het touw naar boven wordt getild. De hoeksnelheid waarmee dit gebeurt noemen we ω

Dit analyserend met Newton, kom je uit dat de verticale component Ty van de touwkracht T gelijk is aan de zwaartekracht van de massa. Dus

Ty = mg

Het touw maakt een hoek ϑ met de verticale, dus

Ty = T cos ϑ --> T cos ϑ = mg of T = mg / cos ϑ.

Bijvoorbeeld, als het touw gewoon hangt ( de positie waarin we zo dadelijk een tegenintuïtieve oplossing krijgen), dan is T = mg, dus gewoon de zwaartekracht zoals het hoort.

Omwille van de draaibeweging van de massa ondergaat deze massa een continue versnelling, gelijk aan ω² l sin ϑ. Dus volgens de tweede wet van Newton geldt dat de horizontale component van de touw- of spankracht gelijk is aan m maal deze versnelling, of:

Tx = Tsin ϑ = m ω² l sin ϑ

of na schrappen:

T = m ω² l

Gelijkstelling van de twee resultaten voor T geeft:

mg / cos ϑ = ω² l

of nog

ω² = g / l cos ϑ

Met andere woorden, als ϑ = 0, dus wanneer het touw naar beneden hangt, is ω niet gelijk aan 0, zoals men zou denken om dit naar beneden te krijgen, maar gelijk aan sqrt (g/l) !

dit resultaat is trouwens gelijk aan de frequentie van een slinger met lengte l ! Hoe kan dit verklaard worden?

[Anton_v_U]

Leuke vraag! Je formulewerk is in orde.

Ik heb het onderstaande niet echt geverifieerd dus ik loop het risico onzin te verkopen maar gevoelsmatig verklaar ik het als volgt:

De afleiding van de formule voor slingertijd maakt gebruik van de benadering sin(ϑ) = ϑ of van tan(ϑ) = ϑ (ik zou moeten uitzoeken welke maar dat maakt verder niet uit) en dat klopt allemaal voor kleine hoeken.

Een cirkelbeweging voor kleine ϑ is hetzelfde als twee lineaire slingerbewegingen samen die π/4 uit fase lopen:

slingerbeweging in x-richting: x = A_x cos(ωt) en in y-richting: y = A_y sin(ωt).

Als A_x = 0 of A_y​ = 0 heb je een gewone slingerbeweging. De formule voor ω kennen we.

Als A_x = A_ydan heb je een cirkelbeweging met straal A want x²+y²= A²[cos²(ωt) + sin²(ωt)] = A²

In het kort: een cirkelbeweging met kleine hoek is eigenlijk hetzelfde als twee lineaire slingerbewegingen met kleine amplitude samen. Als de amplitudes verschillen, beschrijft de massa een in het algemeen een ellips met als grensgevallen een cirkelbeweging en een lineaire slingerbeweging. De slingertijd dus ook ω is in alle richtingen hetzelfde.

De consequentie lijkt dat voor een lagere hoeksnelheid dan de slingerfrequentie de hoek ϑ nul is (het ding draait rond om zijn as maar het touw komt zelfs niet een heel klein stukje omhoog) terwijl vanaf de slingerfrequentie het touwtje pas omhoog kan komen.

[EvilBro]

Omwille van de draaibeweging van de massa ondergaat deze massa een continue versnelling, gelijk aan ω² l sin ϑ.

Ik zie niet helemaal waar je dit vandaan haalt. Ik vermoed echter dat hier wel de problemen geintroduceerd worden. Je veronderstelt een draaibeweging en die zegt dan dat de middelpuntzoekende kracht gelijk is aan:

\(T = m \cdot l \cdot \omega^2\)

Vervolgens zeg je echter:

Met andere woorden, als ϑ = 0, dus wanneer het touw naar beneden hangt, is ω niet gelijk aan 0, zoals men zou denken om dit naar beneden te krijgen, maar gelijk aan sqrt (g/l) !

Dat komt omdat de T van hierboven de kracht is die geldt voor een draaibeweging. Als de hoek nul is en de hoeksnelheid is nul dan heb je geen draaibeweging.