Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

[benno321]

Goedendag

Ik zou moeten bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn. Dit zou ik kunnen doen met een bijectieve functie van R naar [0,1] te zoeken omwille van de stelling van Cantor, maar ik heb geen idee hoe ik zo een bijectieve functie zou moeten vinden.

[Drieske]

Probeer eens iets intuïtief te tekenen (ofzo) van hoe je [0, 1] en R in bijectie kunt brengen?

PS: Je kan bijv. eerst (0, 1) en R in bijectie brengen en dan (0, 1) en [0, 1]. Dat is minder rechtstreeks, maar ook "geldig".

[benno321]

Ik zou niet weten hoe ik dat moet doen, bij de rationale getallen kun je dat zo aftellen en er voor zorgen dat ieder getal aan de beurt komt maar hoe kun je zoiets doen met reële getallen, aangezien dat daar ook irrationale tussen zitten.

[Drieske]

Zou je wel een bijectie kunnen leggen tussen (0, 1) en R?

[EvilBro]

Is het niet voldoende om te bewijzen dat [0,1] injectief is op R en andersom? Daaruit volgt immers dat er een bijectie bestaat en dus equipotentie.

[benno321]

Ik denk dat ik het niet perfect snap, want er kan toch geen bijectie zijn tussen (0,1) en R want (0,1) heeft toch maar 2 elementen en R overaftelbaar. Dan kan daar toch geen bijectie tussen worden gemaakt of zie ik het verkeerd?

[EvilBro]

Ik ging er vanuit dat je met (0,1) bedoelde alle reeele getallen groter dan 0 en kleiner dan 1. Met [0,1] dacht ik dat je bedoelde alle reeele getallen groter dan of gelijk aan 0 en kleiner dan of gelijk aan 1.

[Drieske]

Daar ga ik ook wel van uit dat je dat bedoelt... Tussen (0, 1) en R is zelfs zeer makkelijk. Hint: denk aan tan(x).

[benno321]

Ah ok, dan is de bijectie tan((x*10/pi)+pi/2) als ik mij niet vergis.

[EvilBro]

Kun je uitleggen hoe jij denkt dat dat een bijectie is?

[benno321]

Het is injectief want voor iedere x, is er maximaal 1 y. Het is ook surjectief want voor iedere y is er een x waarvoor geldt dat f^-1(y)=x dus als het injectief en surjectief is, is het ook bijectief

[EvilBro]

\(\tan(x) = \tan(x+\pi)\)

Stel:

\(\frac{10 x}{\pi} = \pi\)

\(10 x = \pi^2\)

\(x = \frac{\pi^2}{10} \approx 0.987\)

Dat ligt in het interval [0,1]. Er zijn dus meerdere x waarden met dezelfde y waarde. De gegeven functie is dus geen bijectie.

Bekijk de tangens eens op het domein:

\([\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

[benno321]

Ik had verkeerd geteld, maar tan(pi*x+pi/2) is in het interval (0,1) bijectief.

[EvilBro]

Daar kan ik het wel mee eens zijn.

Een andere methode:

[0,1] is duidelijk injectief op R. De vraag is of het ook andersom geldt:

\(f(x) = \frac{1+x}{6 x} \mbox{ als } |x| > 1\)

\(f(x) = \frac{2+x}{3} \mbox{ als } |x| \leq 1\)

Het antwoord is dus dat het geldt. Aangezien beide kanten op injectief een optie is, is er ook een bijectie.

[benno321]

Ok dank u