formulering bewijs

[Westy]

Misschien een beetje een ongewone vraag, maar ik had graag jullie opinie gehad over de 'beste' formulering voor een eenvoudig bewijs, zoals bvb

\(x=1 \text{ is een oplossing van de vergelijking } x^2-2x+1=0\)

Ik weet natuurlijk wel dat dit klopt, maar 't gaat over de formulering van het bewijs.

kan als volgt:

\( x^2-2x+1=0 \)

\( (1)^2-2(1)+1=0 \)

\( 1-2+1=0 \)

\( 0=0 \qquad \blacksquare \)

of kan ook als volgt

\( x^2-2x+1 \)

\( =(1)^2-2(1)+1 \)

\( =1-2+1 \)

\( =0 \qquad \blacksquare \)

De eerste is misschien niet zo correct, maar wel het duidelijkste, terwijl de tweede dan misschien correcter is, maar dan weer -volgens mijn opinie althans- niet zo overzichtelijk...

Zoals gezegd, had ik hierover graag wat opinies gehoord? Of zijn er ander mogelijkheden? Of zie ik iets over het hoofd?

[EvilBro]

Ik vind de tweede optie overzichtelijker. Bekijk het bijvoorbeeld eens als de stelling zegt dat dit niet voor x=1 maar voor x=2 zou gelden.

[Safe]

Zelf heb ik geen voorkeur voor één van beide manieren, maar heb je ook door dat x^2-2x+1 als een merkwaardig product geschreven kan worden ... ?

[Drieske]

De eerste is misschien niet zo correct, maar wel het duidelijkste, terwijl de tweede dan misschien correcter is, maar dan weer -volgens mijn opinie althans- niet zo overzichtelijk...

Zoals gezegd, had ik hierover graag wat opinies gehoord? Of zijn er ander mogelijkheden? Of zie ik iets over het hoofd?

Zoals het er nu staat, is de tweede manier beter. Maar, nog beter zou zijn om wat woorden toe te voegen. Bijv:

Opdat x = 1 een oplossing zou zijn van de vergelijking x² - 2x + 1 = 0, moet er gelden dat (1)² - 2(1) + 1 = 0. Of dus moet 1 - 2 + 1 = 0. Dit klopt en dus is x=1 een oplossing van de vergelijking.

Opmerking moderator

Dit gaat meer over structuur dan uitwerking en dus verplaats ik dit naar Wiskunde.

[Westy]

Bedankt voor jullie reacties

@Safe: merkwaardig product, ja natuurlijk, maar zoals gezegd ging het hier meer over de formulering van een bewijs in het algemeen, de formule was maar een snel gekozen voorbeeld...

@Evilbro: 2de versie inderdaad, want in dat geval zit ik wat in de knoei met de eerste versie...

@Drieske: Ik besef zeer goed dat woorden belangrijk zijn, ook in wiskunde. Maar ik wou dit eenvoudoig bewijs proberen duidelijk maken zonder woorden, en de formules voor zich laten spreken, dus in dat geval beter de 2de versie.

Westy

[mathfreak]

Hint: denk eens aan de factorstelling. Kun je daarmee een sluitend bewijs vinden?

[Westy]

Dag mathfreak

Je kan

\( x^2 -2x+1\)

idd ook schrijven als

\( (x-1)(x-1)\)

en dus is

\( (x-1) \)

een deler, en dus enz...

dat is natuurlijk ook een methode om te bewijzen wat ik wou bewijzen, en waarschijnlijk zijn er ook nog andere methodes, maar ik ben niet echt op zoek naar alle mogelijke bewijsmethodes, ik wou gewoon wat opinies horen over de manier van uitschrijven van het bewijs zoals in mijn eerste post. Als mijn vraagstelling niet helemaal duidelijk was, sorry. Toch bedankt voor je input.

westy

[Anton_v_U]

Ik zie nog geen reacties die echt ingaan op waarom de tweede beter is. Laat ik (als niet deskundige) een poging wagen.

Het eerste bewijs begint met de bewering die je moet bewijzen. Je laat zien dat, aangenomen dat deze bewering waar is, bij substitutie van x=1 volgt dat 0=0. Die laatste bewering (0=0) is waar. Maar dan heb je, denk ik, strikt genomen geen bewijs geleverd.

Immers: als uit een bewering p een ware bewering q is af te leiden, dan betekent dat nog niet dat p waar is. Je hebt alleen niet aangetoond dat p onwaar is. Stel het is vandaag slecht weer. Uit de bewering p: <het is altijd slecht weer> volgt de bewering q: <het is vandaag slecht weer>. Ofschoon q waar is, heb je niet bewezen dat p ook waar is. Terzijde: als het vandaag mooi weer zou zijn geweest, dan kun je bewijzen dat p niet waar is: p ⇒ q ^ ¬q ⇒¬p (bewijs uit het ongerijmde)

Het tweede bewijs vind ik beter. Je toont aan dat bij substitutie van x=1 de vergelijking waar is. Dan staat er in feite hetzelfde als: x=1 ⇒ x²-2x+1 = 0. En dat is weer hetzelfde als de bewering dat x=1 een oplossing is van de vergelijking.

Omdat het een nogal triviale stelling is, zul je beide formuleringen in de praktijk wel accepteren omdat je in een oogopslag ziet dat het voor het bewijs van deze stelling op hetzelfde neerkomt. Maar de tweede lijkt me in het algemeen beter.

[Westy]

Bedankt Anton,

Wat je zegt klopt. De eerste is logisch inderdaad niet juist. Mooi geanalyseerd.

Westy

[abrebis]

Naar mijn -nu vertraagde- mening zijn beide vergelijkingen als hierna fout uitgewerkt:

kan als volgt:

\(
x^2-2x+1=0
\)

\(
1-2+1=0
\)

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

0=0 \qquad \blacksquare

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX



sluiten

of kan ook als volgt



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

x^2-2x+1

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX

sluiten



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

=(1)^2-2(1)+1

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX

sluiten



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

=1-2+1

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX

sluiten



Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

=0 \qquad \blacksquare

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX

sluiten



Je deelt hier niet alle delen door x,.er blijft het laatste element 1,dat moet worden 1/x

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

\([/color]

(1)^2-2(1)+1=0

[color=#aa0000]\)

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en je vergelijking wordt: 1-2+1/x=0 en -1=-1/x en -x=-1 en x=1

[abrebis]

Je deelt hier niet alle delen door x,.er blijft het laatste element 1,dat moet worden 1/x

\(
(1)^2-2(1)+1=0
\)

en je vergelijking wordt: 1-2+1/x=0 en -1=-1/x en -x=-1 en x=1

Er werd in deze topic nmm niet de foute handeling opgemerkt bij het vereenvoudigen van de vergelijking:

er werd gedeeld door x,behalve de laatste 1,die moest worden 1/x en dan wordt de oplossing -1=-1/x en x=1

[abrebis]

Misschien een beetje een ongewone vraag, maar ik had graag jullie opinie gehad over de 'beste' formulering voor een eenvoudig bewijs, zoals bvb

\(x=1 \text{ is een oplossing van de vergelijking } x^2-2x+1=0\)

Ik weet natuurlijk wel dat dit klopt, maar 't gaat over de formulering van het bewijs.

kan als volgt:

\( x^2-2x+1=0 \)

\( (1)^2-2(1)+1=0 \)

\( 1-2+1=0 \)

\( 0=0 \qquad \blacksquare \)

of kan ook als volgt

\( x^2-2x+1 \)

\( =(1)^2-2(1)+1 \)

\( =1-2+1 \)

\( =0 \qquad \blacksquare \)

De eerste is misschien niet zo correct, maar wel het duidelijkste, terwijl de tweede dan misschien correcter is, maar dan weer -volgens mijn opinie althans- niet zo overzichtelijk...

Zoals gezegd, had ik hierover graag wat opinies gehoord? Of zijn er ander mogelijkheden? Of zie ik iets over het hoofd?

Ik poogde eerder te reageren,er werd een denkfout over het hoofd gezien en wel de deling door X werd maar gedeeltelijk uitgevoerd en wel werd de laatste term 1 vergeten. De vereenvoudigde vergelijking moest zijn:

x²-2x+1=0 en delen door x levert dan 1²- 2(1)+1/x =0 en 1-2=-1/x en -1=-1/x en x=1

Als die derde term ook wordt gedeeld,klopt de uitkomst van x=1 wel!

[Flisk]

Er is geen denkfout. De vergelijking wordt niet aangepast.

Er wordt dus niet gedeeld door x. Het getal 1 wordt gewoon ingevuld, dit om te bewijzen dat de vergelijking gelijk is aan 0 wanneer men 1 invult. Moest er gedeeld worden door x, zou het er zo moeten uitzien:

1x-2-1/x

Maar dit is niet nodig en niet relevant.

Wilt men echter de oplossing vinden zal jouw methode niet werken, je hebt namelijk niet rekening gehouden met x². Je moet hier de abc-methode gebruiken. De oplossing werd enkel gecontroleerd en bewezen.

[abrebis]

Jouw vergelijking is idd juist en dus ging mijn verhaal niet op,sorry voor de IT en mijn storing;ik maakte een denkfout.

Mijn eerste gedachte bij het zien van deze vergelijking was een vierkantsvergelijking (ax² + bx + c = 0) met oplossing volgens de abc-formule;maar aangezien daar niet op werd gewezen,sloeg ik die gedachte over!