Nulpunt van potentiële energie vrij te kiezen?

[Boormeester]

Ik denk dat we er wel uitkomen, want we praten eigenlijk allemaal over hetzelfde, je moet er alleen een juiste interpretatie aan geven die met de fysische werkelijkheid overeenkomt.

Neem nu het geval van een komeet die vanuit het oneindige in de invloedsfeer komt van de zon.

In dit geval zijn er 2 uiterste waarden: r =o en r= oneindig (voor een juiste beschrijving van de baan in de tijd). Dit geval geeft maar een keus voor een nulpunt voor de potentiële energie en dat moet je leggen in het oneindige als je aan de kinetische energie een positieve waarde toekent en de wet van behoud van energie toepast.

Verder kun je dan een 2e geval beschouwen en dat is: elke beweging tussen 2 punten r₁ en r₂. Hier kun je het nulpunt leggen of bij r1 of bij r₂, afhankelijk van wat het handigst is.

[EvilBro]

Dit geval geeft maar een keus voor een nulpunt voor de potentiële energie

Swing and a miss...

en dat moet je leggen in het oneindige als je aan de kinetische energie een positieve waarde toekent

Waar je het nulpunt legt heeft helemaal niks te maken met kinetische energie. Wat is overigens "een positieve waarde toekennen"? Kinetische energie (0.5*m*v^2) is altijd positief (want massa is niet negatief en een kwadraat van een reeel getal is dat ook niet).

en de wet van behoud van energie toepast.

Heeft wederom niks te maken met waar het nulpunt gedefinieerd wordt. Geef eens een expliciet voorbeeld van een situatie waarbij je het nulpunt niet willekeurig ergens kan leggen. Wees niet vaag. Geef getalvoorbeelden.

Verder kun je dan een 2e geval beschouwen en dat is: elke beweging tussen 2 punten r₁ en r₂. Hier kun je het nulpunt leggen of bij r1 of bij r₂, afhankelijk van wat het handigst is.

Twee dingen: Het eerste geval is een specifiek voorbeeld van het tweede geval. Als je bij het tweede geval iets te kiezen hebt dan heb je dat bij het eerste geval ook. Je spreekt jezelf tegen.

Ten tweede, je hebt niet slechts de keuze uit twee punten. Je mag kiezen wat je maar wilt.

Nog iets:

Als jij het nulpunt bij de zon legt dan kan, vanwege energie behoud, de potentiële energie nooit positief zijn!

Als je van het oppervlak van de zon af beweegt dan neemt je potentiele energie toe. Als je naar de zon toe beweegt dan neemt je potentiele energie af. Als je het nulpunt van potentiele energie in het oneindige legt dan is op elk punt in het universum de potentiele energie negatief. Dit is dus precies anders dan wat jij hier beweerde.

[Flisk]

Als je het nulpunt in de zon legt, is je potentiële energie oneindig en krijg je dingen zoals

\(\infty-\infty\)

als je behoud van energie wil toepassen.

Je kan elk punt nemen, het is simpelweg een keuze. Oneindig is de gemakkelijkste.

Wiskundig ziet het er zo uit:

Zwaartekracht tussen object 1 en 2, waarbij r de afstand:

\(F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\)

Het potentieel energieverschil van het systeem tussen de situatie met

\(r=r_1\)

en

\(r=r_2\)

:

\(\int_{r_1}^{r_2} G\frac{m_1m_2}{r^2} dr = G\frac{m_1m_2}{r_1}-G\frac{m_1m_2}{r_2}\)

Als dit negatief is, is de potentiële energie van het systeem afgenomen, als het positief is, omgekeerd. Zoals je ziet is er ook totaal geen nood ergens een constante te definiëren. Meer dan een energieverschil hebben we niet nodig om uit de beginsnelheid, beginpositie en eindpositie de eindsnelheid te berekenen.

Maar zoals altijd is een referentiepunt handig, zo kunnen we verschillende situaties makkelijker met elkaar vergelijken. Dit wordt gedaan door

\(r_1\)

in deze integraal vast te kiezen, stel deze bvb gelijk aan constante a.

In plaats van

\(r_2\)

houden we de afstand tussen begin en eindsituatie onbekend. Op die manier krijgen we een algemene uitdrukking voor potentiële energie t.o.v. het punt a:

\(\int_{a}^{r} G\frac{m_1m_2}{r^2} dr = G\frac{m_1m_2}{a}-G\frac{m_1m_2}{r}\)

Nu rest er nog de vraag, welke waarde kiezen we voor a?

Als je

\(a=+\infty\)

kiest, wordt die constante term 0, als je die

\(a=0\)

kiest, wordt die constante term oneindig. We kunnen die constante term gelijk welke waarde laten aannemen, maar we spreken af dat we die 0 kiezen.

Merk alle woorden op die ik onderstreept heb. Merk ook op, dat als we die constante term gelijk aan 0 kiezen, potentiële energie altijd negatief zal zijn (logich niet? Potentiele energie is maximaal in het oneindige, maar dat hebben we net aan 0 gelijk gesteld!). Er bestaat niet zoiets als 'de potentiële energie', je moet dat lezen als 'de potentiële energie t.o.v. het punt a'.

[Anton_v_U]

Dit geval geeft maar een keus voor een nulpunt voor de potentiële energie en dat moet je leggen in het oneindige als je aan de kinetische energie een positieve waarde toekent en de wet van behoud van energie toepast.

Als je er niet open voor staat dat je het mogelijk niet helemaal begrijpt (want dat doe je niet) dan begrijp je het nooit. Jouw keus.

[Boormeester]

Tja, ik zal wel niet goed opgelet hebben op de middelbare school, maar als ik in bovenstaande formule voor de gravitatie potentiaal invul voor r is oneindig, dan komt er volgens mij uit: 0

Dit betekent dat in het veld van de zon (als je tenminste je referentie stelsel legt in het middelpunt van de zon), de komeet een potentiële energie bezit van nul in het oneindige. Er valt gewoon niets af te spreken: voor r= oneindig is de potentiaal nul.

Net zoals de entropie nul is voor een temperatuur van o graden Kelvin.

[Flisk]

Er valt gewoon niets af te spreken: voor r= oneindig is de potentiaal nul.

Fout!

\(\int_{a}^{r} G\frac{m_1m_2}{r^2} dr = G\frac{m_1m_2}{a}-G\frac{m_1m_2}{r}\)

Als

\(r=\infty\)

dan is de potentiaal gelijk aan:

\(G\frac{m_1m_2}{a}-G\frac{m_1m_2}{\infty}=G\frac{m_1m_2}{a}\)

Dus je moet nog steeds een waarde voor a kiezen.

[Boormeester]

Nou, je berekent de potentiaal tussen 2 punten waarvan er een oneindig is en daar is de waarde nul! Het andere punt is a. Het potentiaal verschil is dan inderdaad: G.m₁.m₂/a.

Maar... de potentiaal is nog steeds o in het oneidige. Dat is ook logisch want de komeet voelt daar de aantrekkingskracht van de zon niet.

[EvilBro]

Maar... de potentiaal is nog steeds o in het oneidige. Dat is ook logisch want de komeet voelt daar de aantrekkingskracht van de zon niet.

Nee.

De gravitatiekracht op een object kun je bepalen door te kijken naar de afgeleide van de potentiaalfunctie. Jij wilt kijken naar de potentiaalfunctie zelf. Dat is fout. Omdat kracht afhankelijk is van de afgeleide van de potentiaalfunctie (specifieker: de gradient), heeft een constante geen enkele invloed.

Laten we het eens omdraaien. Ik zeg dat de potentiaal op oneindig gelijk is aan

\(\frac{\sqrt{\pi}}{3}\)

. Kun je een specifiek voorbeeld geven waaruit blijkt dat deze veronderstelling tot problemen leidt?

[Flisk]

Nou, je berekent de potentiaal tussen 2 punten waarvan er een oneindig is en daar is de waarde nul! Het andere punt is a. Het potentiaal verschil is dan inderdaad: G.m₁.m₂/a.

Maar... de potentiaal is nog steeds o in het oneidige. Dat is ook logisch want de komeet voelt daar de aantrekkingskracht van de zon niet.

Ik zie op je profiel dat je op een universiteit zit dus ik neem aan dat je vertrouwd bent met integraalrekening.

Wat je nu zegt is dat de integraal van

\(\frac{1}{x^2}\)

gelijk is aan

\(\frac{1}{x}\)

.

Zoals we al vele malen hebben gezegd, is dat inderdaad de 'mooiste' keuze maar diezelfde integraal is ook gelijk aan

\(\frac{1}{x}+3\)

,

\(\frac{1}{x}-10932138\)

,

\(\frac{1}{x}+\frac{34}{3}\)

,

\(\frac{1}{x}+\sqrt{\pi}\)

enzovoort... Dus algemeen is die integraal gelijk aan

\(\frac{1}{x}+c\)

waarbij c een willekeurige constante is.

Waarom moet de potentiaal in oneindig gelijk aan 0 zijn? Daar is geen enkele reden voor. Stel je voor dat de wetten van de fysica anders waren en bijvoorbeeld zwaartekracht van 0 tot oneindig absoluut integreerbaar was. Dan zouden we het nulpunt waarschijnlijk op 0 gezet hebben i.p.v. oneindig. Want dan zou het energie verschil tussen 0 en oneindig een eindige waarde gehad hebben. Met zo'n afspraak kunnen we dan zeggen, object a heeft op afstand oneindig van object b maximaal zoveel potentiële energie. Volgens Newton's theorie heeft een object op afstand oneindig echter oneindig veel energie, mocht het zich tot in het nulpunt verplaatsen onder invloed van de zwaartekracht, 1/x^2 is immers niet absoluut integreerbaar. Daarom is het niet praktisch om als nulpunt, 0 te kiezen. Dus kiezen we maar oneindig. We kunnen elk ander getal ook kiezen, oneindig is gewoon makkelijker te onthouden.

[Boormeester]

Je hebt volkomen gelijk en de constanten worden bepaald door de randvoorwaarden. De potentiaal is een energie waarde. In het oneindige (waar de komeet niet de gravitatie voelt van de zon) is de totale energie gelijk aan de kinetische energie van de komeet. Er is dan geen potentiële energie. Dat betekent dus dat de constante nul is.

Wiskundig kun je natuurlijk altijd die constante toevoegen maar dat betekent dus dat het enkel een trucje is. In werkelijkheid wordt de constante bepaalt door de randvoorwaarden: de fysische werkelijkheid.

[Flisk]

Je hebt volkomen gelijk en de constanten worden bepaald door de randvoorwaarden. De potentiaal is een energie waarde.

We zijn naast elkaar aan het praten. Laten we meer specifiek discussiëren.

Welke randvoorwaarden? Kun je jouw definitie van potentiële energie geven?

In het oneindige (waar de komeet niet de gravitatie voelt van de zon) is de totale energie gelijk aan de kinetische energie van de komeet. Er is dan geen potentiële energie. Dat betekent dus dat de constante nul is.

Waarom?

Als je antwoord is omdat de kracht daar nul is, kan ik je al vertellen dat dat argument heel makkelijk te ontkrachten is. Dat is namelijk precies hetzelfde zeggen dan dat wanneer de snelheid van een object gelijk aan nul is, de positie ook nul moet zijn. Wat dus totaal niet klopt. Ben benieuwd naar een uitleg daarvoor.

Wiskundig kun je natuurlijk altijd die constante toevoegen maar dat betekent dus dat het enkel een trucje is.

Ik definieer de potentiële energie op een wiskundige manier. Dan is die constante niet zomaar te negeren. Het is niet zomaar een trucje, het hoort bij mijn definitie.

[Boormeester]

1) De potentiële energie in het oneindige is de energie die het kost om een komeet vanuit het middelpunt van de zon naar het oneindige te brengen waar het dan een snelheid nul heeft. Oftewel: de snelheid die je aan de komeet moet geven om aan de invloedssfeer van de zon's gravitatie te ontsnappen (ontsnappings snelheid)

2) Je argumentatie om iets te ontkrachten is vreemd.

Pas nu eens het behoud van energie toe en dan blijkt als je de definitie van 1) toepast dat in het oneindige enkel de kinetische energie overblijft. De potentiële energie is dan nul. Als er meer dan de kinetische energie overblijft dan is er sprake van een "vreemde" wisselwerking die we niet in rekening gebracht hebben (jouw constante).

3) Iets of een wiskundige manier definiëren is leuk, maar het moet wel overeenkomen met de fysische werkelijkheid. Wiskundig een integratie constante toevoegen is correct maar de randvoorwaarden bepalen de fysische werkelijkheid die de waarde van de constante bepalen en die is in dit geval gewoon nul.

[Flisk]

1) De potentiële energie in het oneindige is de energie die het kost om een komeet vanuit het middelpunt van de zon naar het oneindige te brengen waar het dan een snelheid nul heeft. Oftewel: de snelheid die je aan de komeet moet geven om aan de invloedssfeer van de zon's gravitatie te ontsnappen (ontsnappings snelheid)

Hier zit het probleem.

Vanuit het middelpunt van de zon (beschouw als puntmassa) tot

\(+\infty\)

geeft:

\(\int_{0}^{+\infty}G\frac{m1m2}{r^2}dr=G\frac{m1m2}{\pm0}-G\frac{m1m2}{+\infty}=-\infty\)

of

\(+\infty\)

Dat is niet bepaald een eindige potentiële energie volgens jouw definitie!

Dan klopt jouw puntje 2 ook niet want

\(+\infty+a-\infty=+\infty-\infty\neq a\)

, dit is onbepaald.

Ontsnappingssnelheid is altijd vanuit een bepaald referentiepunt. Al je dit punt 0 neemt, krijg je problemen met oneindig.

[Boormeester]

Klopt, ik heb het wat onhandig opgeschreven. Het is de energie die je moet toevoeren aan het zonsoppervlak om de komeet te laten ontsnappen zodat het in het oneidige arriveert met de snelheid nul. Zoals je weet geldt pas vanaf het zonsoppervlak de 1/r wet. Dat geeft een eindige energie. Het is te vergelijken met de ionisatie energie van het waterstof atoom.

[EvilBro]

Het is de energie die je moet toevoeren aan het zonsoppervlak om de komeet te laten ontsnappen zodat het in het oneidige arriveert met de snelheid nul.

En waarom zou je het oppervlak van de zon gebruiken en niet 1 meter er boven of er onder? Je kiest hier een willekeurig punt en doet vervolgens alsof dit de enige optie is. Dat is onzin.

Verder heb je eerder beweerd dat je in oneindig alleen de kinetische energie over wilt houden. Als de snelheid in het oneindig nul is dan is de hoeveelheid kinetische energie ook nul. Hoe is dit dan alleen de kinetische energie overhouden?