Kinetisch energie vallende slinger

[benno321]

Hoe kan ik de kinetische energie opstellen van een homogene staaf met massa m en lengte l, die valt en ondertussen een slingerende beweging maakt. Op gevoel zou ik zeggen dat de kinetische energie T=1/2*m*(ds/dt)^2+1/2*I*(dθ/dt)^2. Met s de afstand van het initiele punt en met θ de hoek die de staaf maakt met de y-as. Maar dit lijkt me eigenlijk fout. Hoe zou het wel moeten?

Alvast bedankt

Benno321

[EvilBro]

Kun je beter uitleggen hoe de situatie in elkaar steekt?

[benno321]

Dit is de vraag:Een dunne staaf met massa m en lengte l is doormiddel van een massaloos scharnier

verbonden met een verticale rechte waarover het scharnier kan bewegen onder invloed

van de zwaartekracht. Het gehele beweging gebeurt zonder enige wrijving. Stel de

bewegingsvergelijkingen van Lagrange op voor dit systeem.

Ik zit dus al vast in het begin waar ik de langrangiaan moet opstellen voor dit systeem, dus de ook de kinetische energie. Maar ik zou niet weten hoe men van dit systeem de kinetische energie kan opstellen omdat dit een star lichaam is dat transleert en roteert. Om te beginnen zou ik dan 2 gegeneraliseerde coördinaten kiezen:s en θ. s is de afstand van de oorsprong tot het scharnier en θ is de hoek tussen de y-as en de staaf. De vraag is nu,hoe kan ik de kinetische energie van dit systeem uitdrukken in functie van deze 2 coördinaten.

[Flisk]

Gaat het over dit?

staaf 1275 keer bekeken

Waarbij de staaf vast hangt aan dat rotatiepunt linksboven en van horizontale stand (theta gelijk aan pi/2) wordt losgelaten onder invloed van zwaartekracht?

EDIT: tegelijk gepost, de scharnier hangt dus niet vast.

[benno321]

Inderdaad, dit is het probleem

[EvilBro]

Begrijp ik het goed dat de hele opstelling valt? (dus met scharnier en al?) Als dat zo is dan is de slinger in vrije val en is dit dus equivalent met een slinger zonder zwaartekracht (en die slingeren slecht ).

[benno321]

Juist, ik zie het nu. Maar als ik dan zeg dat de slinger met een constante snelheid naar beneden valt, hoe kan men dan de kinetische energie van dit systeem beschrijven in functie van de hoek θ.

[Flisk]

Rare vraag, hoe het er nu staat valt die staaf gewoon recht naar beneden, zonder te draaien.

Misschien wordt er bedoeld dat de scharnier vrij kan bewegen over een horizontale rechte? Als het toch verticaal is, zou men eventueel een begin hoeksnelheid kunnen meegeven aan die staaf en dan is het wel zinvol om de Lagrangiaan op te stellen.

[benno321]

Mijn probleem bij deze vraag is eigenlijk het vinden van de kinetische energie, wat het systeem zou kunnen doen vind ik niet zo relevant. Hetgeen wat ik niet weet is hoe men de kinetische energie opstelt van een star lichaam dat een translatie uitvoert, en ondertussen ook een rotatie maar deze rotatie van het star lichaam gebeurt niet rond het massacentrum, want zou dat wel zo zijn, dan is het de som van kinetische energie van de translatie het massacentrum met de massa van het star lichaam plus de kinetische energie van de rotatie van het star lichaam rond het massacentrum. Maar omdat de rotatie rond niet rond het massacentrum is, mag ik die toch niet gewoon zomaar optellen ofwel?

[Flisk]

De kinetische rotationele energie is gelijk aan

\(\frac{1}{2}I\omega^2\)

waarbij omega de hoeksnelheid, en I het traagheidsmoment. Je hebt gelijk dat de staaf niet rond het massamiddelpunt draait, maar om zijn uiteinde. Hiervoor kan je ook een traagheidsmoment te berekenen. Weet je hoe dit moet?

Die staat hier trouwens tussen:

http://nl.wikipedia....raagheidsmoment

maar het is belangrijk natuurlijk dat je weet hoe ze er aan komen.

EDIT: ik zie dat je dat al had, nu ben ik op dezelfde pagina. Ik twijfel ook of je het zomaar mag optellen maar mijn gevoel zegt van wel. Het is natuurlijk gevaarlijk om op je gevoel af te gaan.

[benno321]

Dus als ik het goed begrijp is de kinetische energie dan de som van de kinetisch energie van van het massacentrum dat een translatie uitvoert, en dan de kinetisch energie van de rotatie van het star lichaam rond de as waar het rond draait(dit geldt dan ook als de as niet door het massacentrum gaat?). Het traagheidsmoment kan men dan vinden door de regel van Steiner toe te passen. Dus I_as=I_mc+m*d². Als ik dit in bovenstaand voorbeeld invul. Dan is de kinetische energie van de slinger die met een constante snelheid naar beneden gaat:

T=1/2*I_as*(dθ/dt)^2+1/2*m*((L/2*dθ/dt*cos(θ)+v)²+(L/2*dθ/dt*sin(θ))²). Met v is de snelheid van het geheel naar onder.

[Flisk]

Traagheidsmoment van een staaf om een eindpunt is gewoon 1/3lengte^2 trouwens.

Daar vraag je nu wat Ik denk ook dat gewoon optellen fout zal zijn omdat dit inderdaad niet geldt als de as niet door het massamiddelpunt gaat.

Met de Lagrangiaan moet dit wel doenbaar zijn. je kan immers de plaats coördinaat van elk deeltje staaf uitdrukken adhv je hoek en afstand van het rotatiepunt tot het nulpunt. Dat is al een tijdje geleden bij mij dus veel zal ik niet kunnen helpen.

Basic sommetjes voor met kinetische energie zijn hier niet van toepassing lijkt me.

Bespreekt je cursus niet de Lagrangiaan in detail?