De treinreis splits ik in drie gedeelten op: (1) eenparig versnellen tot de gewenste snelheid is bereikt, (2) deze snelheid constant aanhouden en (3) het uitrollen. Als eerste ga ik het uitrollen bekijken. Ik ga uit van een wrijvingskracht die evenredig is met het kwadraat van de snelheid, ofwel:
\(F_w = -K \cdot v^2\)
Tijdens het uitrollen is dit de enige kracht op de trein:\(F = m \frac{dv}{dt} = -K \cdot v^2\)
Dit is een differentiaalvergelijking:\(\frac{dv}{dt} = -\frac{K}{m} \cdot v^2 = -K' \cdot v^2\)
\(\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = -K'\)
\(-\frac{1}{v} = -K' \cdot t - C\)
\(v = \frac{1}{K' \cdot t + C}\)
Met de beginsnelheid kunnen we nu C bepalen:\(v_0 = \frac{1}{C}\)
\(C = \frac{1}{v_0}\)
dus:\(v(t) = \frac{1}{K' \cdot t + \frac{1}{v_0}} = \frac{v_0}{1 + K' \cdot v_0 \cdot t}\)
Dit is dus de snelheid afhankelijk van de tijd tijdens het uitrollen. Hiermee is de afgelegde afstand te bepalen:\(x(t) = \int_0^t v(\tau) d \tau = \int_0^t \frac{v_0}{1 + K' \cdot v_0 \cdot \tau} d \tau = \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t)\)
Laten we even veronderstellen dat snel accelereren goed is en dat onze trein dit instantaan kan. Deel 1 van de reis kunnen we dan dus negeren. De trein rijdt dus met constante snelheid, rolt dan uit en uiteindelijk wordt er nog geremd.De afstand \(\Delta x\)
die de trein moet rijden is constant (het gaat erom om die zo efficient mogelijk af te leggen) en de tijd \(\Delta t\)
die hierover gedaan moet worden ook. Er moet dus gelden:\(\Delta x = v_0 \cdot t_2 + \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t_3)\)
\(\Delta t = t_2 + t_3\)
ofwel:\(\Delta x = v_0 \cdot (\Delta t - t_3) + \frac{1}{K'} \cdot \ln(1 + K' \cdot v_0 \cdot t_3)\)
Bij deze formule lukt het me niet om \(v_0\)
en \(t_3\)
te scheiden. Ik kan echter wel numeriek bij een bepaalde snelheid vinden hoe lang ik dan uit kan rollen.Hoeveel energie kost een reis? Alle energie die de motor levert gaat uiteindelijk verloren. De hoeveelheid energie die de motor moet leveren is de energie om de snelheid
\(v_0\)
te halen plus alle verloren energie door wrijving.\(E_k = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2\)
\(E_w = \int F_w dx = \int K \cdot v^2 dx = \int K \cdot v^2 \frac{dx}{dt} dt = \int K \cdot v^3 dt\)
Gedurende deel 2 van de reis geldt:\(v = v_0\)
dus:\(E_w = \int_{0}^{t_2} K \cdot v_0^3 dt = K \cdot v_0^3 \cdot t_2 = K \cdot v_0^3 \cdot (\Delta t - t_3)\)
Gedurende deel 3 wordt geen energie meer toegevoerd, dus voor de totale energie vind ik dus:\(E = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 + K \cdot v_0^3 \cdot (\Delta t - t_3)\)
Ik zie dat ik hierin een slordigheidje heb zitten: \(t_3\)
is de duur van het uitrollen. Het is dus geen tijdstip. Omdat ik geen zin heb om dit aan te passen, hoop ik dat dit opmerken voldoende is voor iedereen.En dan nu het 'probleem': Stel dat je instantaan remt. Dat wil dus zeggen dat gedurende totale reis de snelheid de gemiddelde snelheid is. Als ik
\(\Delta t = 5\)
, \(\Delta x = 10\)
, v0=2, K=1 en m=1 kies, vind ik E = 42 (en ja, ik heb geen zin in eenheden 
). Als ik een andere top-snelheid kies dan vind ik altijd een energie die hoger is (v0 = 4 -> t3 = 2.3632 -> E = 134.2). Dit is dus tegen het advies om zo lang mogelijk uit te rollen.Ziet iemand hierin iets wat ik verkeerd doe?
aan het treinverkeer worden opgelegd is het geen kwestie meer van energie-optimalisatie, maar een afweging van energie versus reistijd.