Notatie arcsin en sin-1

[jkien]

De functie arcsin(x) is soms nodig bij berekeningen van lichtbreking. De arcsin-functie wordt ook wel genoteerd als sin^-1(x), dus met een superscript -1. De notatie sin^-1(x) wordt door wiskundedocenten soms afgekeurd omdat hij verwarrend is, een lezer kan het superscript opvatten als een exponent, dus als [sin(x)]^-1 = 1/sin(x).

Van wiskunde meen ik me te herinneren dat een inverse functie genoteerd werd als

\(f^{-1}\)

, zodat

\(f^{-1} \circ f = 1\)

. Wordt dat nu ook beschouwd als slechte notatie?

[Flisk]

Ikzelf vind het niet verwarrend. Ik kijk altijd waar de -1 staat. Als die op de functie inwerkt, is het de inverse en als die op het beeld inwerkt, is het het omgekeerde. Maar er zullen ongetwijfeld mensen zijn die dit verwarrend vinden.

Notatie is voornamelijk afspraken maken. Elke deftige cursus definieert zijn notaties wel.

\(g^{-1}(x) \neq g(x)^{-1}\)

[Math-E-Mad-X]

\(g^{-1}(x) \neq g(x)^{-1}\)

Normaal gesproken geldt dit inderdaad. Maar het verwarrende is dat men in het speciale geval van goniometrische functies hier soms van afwijkt. Ik heb vaak de notatie

\(sin^2(x)\)

gezien waarbij men bedoelde

\(sin(x)^2\)

.

Zie bijvoorbeeld hier:

http://nl.wikipedia....che_gelijkheden

De arcsin-functie wordt ook wel genoteerd als sin^-1(x), dus met een superscript -1. De notatie sin^-1(x) wordt door wiskundedocenten soms afgekeurd omdat hij verwarrend is, een lezer kan het superscript opvatten als een exponent, dus als [sin(x)]^-1 = 1/sin(x).

Klopt, maar in mijn ogen zouden wiskundeleraren juist de interpretatie van sin^-1(x) als 1/sin(x) moeten afkeuren, om consistent te zijn met de door Flisk gegeven formule.

[Flisk]

Ik heb vaak de notatie

\(sin^2(x)\)

gezien waarbij men bedoelde

\(sin(x)^2\)

.

Ik heb de laatste altijd logischer gevonden, tijdens het middelbaar vroeg ik mij altijd al af waarom die eerste gekozen werd. In mijn ogen is dat een foute notatie maar spijtig genoeg is die heel goed ingeburgerd.

Over verwarrend gesproken:

Mijn cursus analyse gebruikt voor de nde afgeleide van g volgende notatie:

\(g^{(n)}\)

Ergens gebruikt die cursus dan voor de nde macht van het beeld van g volgende notatie:

\(g^{n}\)

Ikzelf zou het allemaal zo definieren:

nde afgeleide:

\(\frac{d^ng}{dx^n}\)

nde macht van het beeld:

\(g(x)^n\)

inverse:

\(g^{-1}\)

voor g na g na g na... g (n>0 keer):

\(g^n\)

voor g^-1 na g^-1 na g^-1 na... g^-1 (n>0 keer):

\(g^{-n}\)

Die laatste twee heb ik nog nooit gezien, ik vraag mij af hoe ze zoiets normaal gezien definieren?

Bij de afgeleide twijfel ik tussen die van Euler (met de D) en die van Newton, ze zien er allebei vrij niet-verwarrend uit.

[jkien]

Ik heb de laatste altijd logischer gevonden, tijdens het middelbaar vroeg ik mij altijd al af waarom die eerste gekozen werd. In mijn ogen is dat een foute notatie maar spijtig genoeg is die heel goed ingeburgerd.

Het lijkt erop dat Laplace het verzonnen heeft omdat hij niet van haakjes hield. Gauss schreef: "sin²φ is odious to me, even though Laplace made use of it; should it be feared that sin φ ² might become ambiguous, which would perhaps never occur, or at most very rarely when speaking of sin(φ²), well then, let us write (sin φ)², but not sin² φ, which by analogy should signify sin(sin φ)."

[1] (met de aantekening dat ik ergens in het citaat sin²φ veranderd heb in sin φ ² omdat ik het anders niet begrijp)

[Flisk]

or at most very rarely when speaking of sin(φ²).

[1] (met de aantekening dat ik ergens in het citaat sin²φ veranderd heb in sin φ ² omdat ik het anders niet begrijp)

Dat gedeelte vind ik niet terug in de bron. Er klopt inderdaad iets niet in dat citaat in de bron.

Waarschijnlijk fout overgetypt door diegene die dat document heeft gemaakt. Ik ben aan het zoeken naar meerdere bronnen maar vind helaas weinig over dit onderwerp.

Hoe jij het geschreven hebt is precies hoe ik erover denk. Die redenering van Gauss is correcter in mijn ogen.

\(sin^2(x)=sin(sin(x))\)

Maarja, als je dat gebruikt, zorg je voor veel verwarring omdat de 'foute' notatie al zo erg ingeburgerd is...

Dit doet mij een beetje denken aan de notatie 3x4 vs 12x vs 3.4 vs 3,4

'x' en '.' kunnen als maal gebruikt worden.

'x' kan als variabele gebruikt worden.

Een getal voor een variabele geplaats zonder teken staat voor vermenigvuldiging.

'.' en ',' kunnen als komma gebruikt worden.

Ik vind het raar dat ze in de lagere school je 3x4=12 aanleren en dan in het middelbaar direct zeggen dat 'x' een variabele wordt, dus dat je '.' moet gebruiken voor vermenigvuldiging.

Er zou ,zeker binnen het onderwijs, een soort van consensus moeten bestaan i.v.m. notaties om dubbelzinnigheden te vermijden.

[Safe]

een lezer kan het superscript opvatten als een exponent, dus als [sin(x)]^-1 = 1/sin(x).

Is dat echt zo, er is toch een context waaruit duidelijk kan worden wat bedoeld wordt. Als dat niet zo is kan je arcsin gebruiken ,,,

Van wiskunde meen ik me te herinneren dat een inverse functie genoteerd werd als

\(f^{-1}\)

, zodat

\(f^{-1} \circ f = 1\)

. Wordt dat nu ook beschouwd als slechte notatie?

Prima genoteerd ...

[Th.B]

Sowieso vind ik de notatie sin^-1(x) gewoon enkel en alleen verwarring zaaiend. Ik gebruik altijd de arcsin voor de inverse, en als ik het dan toch een enkele keer over 1 / sin(x) moet hebben, gebruik ik gewoon csc(x). Totaal geen mogelijkheid tot dubbelzinnigheden.

Verder ben ik het met post #4 eens over de notatie van gⁿ.

[PeterPan]

De verwarring ontstaat door slordig gebruik van begrippen en termen.

Zo lees ik

De functie arcsin(x) is soms ...

arcsin(x) is geen functie, maar een functiewaarde, namelijk de waarde van de functie arcsin in het punt x.

(Nederlandse schruifwijze bgsin).

De arcsin-functie wordt ook wel genoteerd als sin^-1(x) ...

Onjuist. De arcsin-functie wordt ook wel genoteerd als sin^-1

De notatie sin^-1(x) wordt door wiskundedocenten soms afgekeurd omdat hij verwarrend is

Waar zit de verwarring dan. Wel, die zit in het slordig gebruik van begrippen en termen, niet in de notatie.

sin^-1(x) is de waarde van de functie sin^-1in het punt x.

Zo is doorgaans

\(\sin^2(x) = \sin(x)^2\)

,

want de functie

\(\sin^2\)

beeld x af op sin(x).sin(x).

\(\sin^2\)

kan afhankelijk van de context meerdere betekenissen hebben.

\(\sin^2 = \sin o \sin\)

,

waarbij o doorgaans staat voor vermenigvuldigen of samenstellen.

[Th.B]

@PeterPan:

Wat je in die eerste paar regels zegt over functies of functiewaarden etc. is totaal niet relevant voor de discussie. Of je nou opschrijft om welke functie het gaat of opschrijft om welke functie het gaat en welke variabele (x) daarbij hoort is van ondergeschikt belang.

Het juist om wat in de onderste regels staat: de verwarring over sin²ontstaat omdat die notatie afhankelijk van context meerdere betekenissen heeft. Daar zit het knelpunt. Omdat er dus voor sin² ineens zo'n andere betekenis is aangenomen, namelijk het kwadraat van de functie en niet de samengestelde functie, is sin^-1 ineens ook verwarrend. Daar is de ^-1 dan ineens niet de macht waartoe de functie wordt verheven, maar staat het voor de inverse functie van de sinus.

[PeterPan]

Het lijkt op het eerste gezicht irrelevant (en ik begrijp je argument), maar in essentie is het juist dit punt dat te weinig aandacht kriijgt.

Bij een notatie sin(x) voor de functie sin wordt gesuggereerd dat de naam van de variabele er iets toe doet.

De inverse van een functie f wordt genoteerd als

\(f^{-1}\)

.

Er geldt

\(f^{-1}o f = f o f^{-1}\)

.

Niemand leest hier voor

\(f^{-1}\)

de reciproke voor f. Als we voor f de functie sin nemen, dan is meteen duidelijk wat we met

\(sin^{-1}\)

bedoelen.

Hoe ongemerkt slordig we zijn blijkt uit het feit dat nog niemand heeft opgemerkt dat sin helemaal geen inverse heeft.

De schrijfwijze

\(\sin^{-1}(x) \)

is daarom pertinent fout.

Voor een inverse van een functie f geldt

\(f^{-1}o f = f o f^{-1}\)

Echter (in de Amerikaanse schrijwijze voor arcsin)

\(\sin^{-1}o \sin \neq \sin o \sin^{-1}\)

.

Dat Amerikanen slordig zijn in hun wiskundige taalgebruik is alom bekend. Dat wilt nog niet zeggen dat we ze altijd moeten volgen.

Ik pleit voor de schrijfwijze

\(f^{\mbox{inv}}\)

voor de inverse van f. Dat is duidelijker en voorkomt mogelijke verwarring.

[mathfreak]

Ik pleit voor de schrijfwijze

\(f^{\mbox{inv}}\)

voor de inverse van f. Dat is duidelijker en voorkomt mogelijke verwarring.

Deze notatie werd indertijd ook in de wiskundemethode Van A tot Z gehanteerd. Ook ik ben een voorstander van deze notatie.

Opmerking: je stelde dat de arcsinus volgens de Nederlandse schrijfwijze wordt weergegeven als bgsin, maar dat is alleen in Vlaanderen het geval. Hier in Nederland wordt voor zover ik weet nog steeds de schrijfwijze arcsin gebruikt.

[Bartjes]

In het Nederlandse Leerboek der goniometrie en trigonometrie (achtste druk 1953) van P. Wijdenes wordt "bg sin", "bg cos" en "bg tg" geschreven.

[PeterPan]

Opmerking: je stelde dat de arcsinus volgens de Nederlandse schrijfwijze wordt weergegeven als bgsin, maar dat is alleen in Vlaanderen het geval. Hier in Nederland wordt voor zover ik weet nog steeds de schrijfwijze arcsin gebruikt.

Ik ben een Nederlander. Op de middelbare school gebruikte mijn wiskundeleraar altijd de notatie bgsin.

[tempelier]

Ik ben een Nederlander. Op de middelbare school gebruikte mijn wiskundeleraar altijd de notatie bgsin.

Formeel is dat verouderd.

Ook is het internationaal gezien geen logische naam.

bg komt van boog en is dus een typische Nederlandse benaming.

arc komt van arcus wat ook boog betekent, maar wel een klassiek woord is en dus min of meer internationaal.

We gaan toch ook niet sin(x) vervangen door boezem(x)?

Met ""inv"" werken is ook niet zo geweldig want formeel heeft de sinus geen inverse.

Beste is dus arcsin lijkt mij althans.