1e orde differentiaalvergelijking met een kwadraat

[Flisk]

Sorry, ik had een foutje van je niet gespot:

(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) = e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C

Je komt van:

ln(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) = (2sqrt(Fc)t)/m + C

En je brengt e onder linker-en rechterlid.

Dan krijg je:

(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) = e^((2sqrt(Fc)t)/m + C)

en niet

(sqrt(F/c)+v)/(sqrt(F/c)-v) = e^((2sqrt(Fc)t)/m) + C

Die C moet dus ook binnen die haakjes staan.

Dan kan je rekenregel a^(b+c)=a^b*a^c gebruiken.

Dom van me dat ik het niet gezien had. Sorry.

We zijn nu wel heel dicht bij het antwoord. Als je het vind zal ik er een grafiekje van maken dat we vervolgens kunnen interpreteren.

[reinoudb]

v= sqrt(F/c) [(1+e^((2sqrt(FC)t)/m+C))/(1-e^((2sqrt(FC)t)/m+C))]

Denk dat dit 'm dan moet zijn. Hoop dat ik geen haakje vergeten ben. Deze notatie is niet altijd handig.

Maar ben benieuwd wat voor grafiekje eruit komt. Heb wel een idee hoe die er ongeveer uit moet zien.

[Flisk]

Ik heb iets heel gelijkaardig, maar er verschillen wat mintekens. Misschien is het hetzelfde (zoals de situatie in post 36).

Nog even aan het zoeken, het kan ook zijn dat ik nu fout ben (heb al een trappist op).

Klopt het ook dat je je integratieconstante C een keer hebt aangepast (dit mag trouwens want die is willekeurig)

En merk ook op, je hebt een paar keer sqrt(FC) staan. Dit moet sqrt(Fc) zijn. (kleine c is niet de integratieconstante C).

Doe anders nog eens vanaf post 36, ik zal hetzelfde doen.

EDIT: ik heb em nog eens vanaf post 36 gedaan en je hebt één tekenfoutje.

[reinoudb]

Ik heb in post 35 al een ander antwoord als jij in post 36. Daar zit het verschil in minteken al denk ik.

Ik heb idd C een keer aangepast, omdat ik wist dat het mocht.

Die hoofdletter C is slordig idd.

Proost

[Flisk]

Ik heb verder gewerkt met jouw resultaat van post 35 (of dus de laatste uitdrukking in 36) ik heb dan ook de integratieconstante aangepast en ik kreeg:

(ik noem die e tot de macht 2sqrt(F/c)t/m+C effe H)

\(v=\sqrt{F/c}\frac{H-1}{H+1}\)

Net hetzelfde dan jou, behalve paar tekenverschillen.

Post anders eens de uitwerking.

[reinoudb]

a=sqrt(F/c)

b= e^(enz)

v=v

>( a+v)/(a-v) = b

> a+v= ba -bv

> v= ba-bv-a

> (1-b )v= (1+b)a

> v= a (1+b)/(1-b)

[Flisk]

Ik heb inmiddels het grafiekje geplot. Hetgeen ik had klopt als ik het vergelijk met wat maple (wiskundig computer programma) zegt.

> v= ba-bv-a

> (1-b )v= (1+b)a

Die stap is niet correct.

Doe beide leden plus bv. Haal dan in het rechterlid a buiten haakjes, en in het linkerlid v buiten haakjes.

[reinoudb]

Ik zie nu ook dat er een en ander niet klopt. Ga morgen es kijken. Denk dat ik er nu wel uit ga komen. Maar volgens mij is dit gelijk aan een tanh-functie of niet?

Bedankt voor je tips zo ver. Kan ik waarderen.

[Flisk]

Je kan dit omvormen naar een tanh functie. Ik heb een volledige uitwerking liggen met slecht 6 stappen waarbij je een tanh uitkomt. Die is makkelijker, maar dan moet je de afgeleide van argtanh (her)kennen, wat niet evident is.

Ik zie nu ook dat er een en ander niet klopt. Ga morgen es kijken. Denk dat ik er nu wel uit ga komen.

Enkel die ene stap klopt niet hoor. Al de rest is correct. Na zo'n lange berekeningen is het altijd handig om met de pc numeriek te controleren. Heb ik ook gedaan. Het grafiekje is alvast af. Ik zal het opslaan en als je morgen de uiteindelijke oplossing vindt, post ik het even.

Bedankt voor je tips zo ver. Kan ik waarderen.

Geen probleem, we zien dit zelfde probleem momenteel in mijn natuurkundeles. Het is voor mij dus ook een goeie oefening geweest.

[reinoudb]

Ok morgen verder dus. Dan moet het uiteindelijke antwoord er maar uitkomen.

Maar wat doe je voor opleiding? Voor mij is het ook een goede oefening, Er zit best veel in qua wiskunde. Het is veel leeramer dan zomaar wat sommetjes maken.

Ben trouwens nog van plan om deze formule uit te breiden met een motorkarakteristiek. Dan is F dus afhankelijk van v.

[Flisk]

Burgerlijk ingenieur.

Ben trouwens nog van plan om deze formule uit te breiden met een motorkarakteristiek. Dan is F dus afhankelijk van v.

Hah, dat wordt een uitdaging. Moet mogelijk zijn.

Er zit inderdaad veel wiskunde in, dit is universitair niveau (eerste jaar). Differentiaalvergelijkingen heb ik toch nooit deftig gezien in het middelbaar.

[reinoudb]

Ok, die opleiding ken ik niet. Volgens mij kom je uit Belgie of niet? Met welke opleiding in NL is dit te vergelijken? Ik heb zelf HBO elektrotechniek gehaald. Dat is een bachelor opleiding. Wij hadden differentiaalvergelijkingen ook in het eerste jaar geloof ik.

Maar ik kom nu op hetzelfde uit als jou.

Nog een keer de uitwerking:

a+v/a-v = b

a+v = (a-v) b

a+v = av-vb

v= av-vb-a

v+vb=(b-1)a

(b+1)v= (b-1)a

> v= a(b-1)/(b+1)

=> v= sqrt(F/c)[ e^((2tsqrt(Fc))/m)+C)-1 / e^((2tsqrt(Fc))/m)+C)+1]

Dit lijkt op tanh, deze ziet er zo uit: tanh= (e^x - e^-x)/(e^x+e^-x)

[Flisk]

Inderdaad uit belgië, de nederlands term ken ik niet.

Hij lijkt inderdaad op tanh, ik zal later de uitwerking met tanh eens posten indien je geïnteresseerd bent. Weet niet of dit vandaag nog zal lukken.

Hier wat grafieken van snelheid i.f.v de tijd(klik erop voor beter beeld), je kan altijd de eindsnelheid aflezen (horizontaal asymptotisch gedrag). Je kan ook die eindsnelheid uitrekenen, stel immers F=cv^2 (dan veranderd de snelheid dus niet meer), je zal zien dat het klopt met de grafieken:

Bij alle grafieken: kracht gelijk aan 5newton, massa gelijk aan 2kg, integratieconstante (beginsnelheid) gelijk aan 0 en wrijvingsconstante c gelijk aan 1, behalve anders vermeld natuurlijk:

Eerste grafiekje is een vergelijking tussen ons met de hand berekende curve (rood) en die met de computer (blauw).

pchand 666 keer bekeken

Je ziet dus dat het hetzelfde is. We kunnen dus gerust zijn dat er geen fouten gemaakt zijn.

Tweede grafiekje toont de invloed van de massa (rood is 4kg, blauw is 1kg):

massaverg 665 keer bekeken

De massa heeft geen invloed op de eindsnelheid. Wel op hoe snel je die bereikt, de lichtere massa versnelt harder.

Derde toont de invloed van de kracht (rood 5N, blauw 2N):

krachtvrg 661 keer bekeken

Vierde toont de invloed van de wrijvingsconstante (rood 1, blauw 2):

wrijvingsconstante 666 keer bekeken

De wrijvingsconstante en kracht hebben dus beide invloed op de eindsnelheid.

De laatste toont de invloed van de integratieconstante (deze is het moeilijkst intuïtief in te zien, rood 0 en blauw 1):

integratiecte 668 keer bekeken

Zoals je ziet twee keer dezelfde grafiek, de laatste is gewoon verschoven over de tijdsas. De integratieconstante bepaald dus de beginsnelheid.

Opmerking: alle grafieken kan je puntspiegelen t.o.v. het punt waar die de tijd-as snijdt. Dan krijg je het negatieve gedeelte, dat heb ik er niet bijgetekend. Google eens tanh, je zult zien dat het dan zo'n functie wordt.

Interessante vraag: wat als de beginsnelheid groter is dan de eindsnelheid? (Dit geval komt immers onmogelijk voor in de grafiek).

[mathfreak]

Ok, die opleiding ken ik niet. Volgens mij kom je uit Belgie of niet? Met welke opleiding in NL is dit te vergelijken?

Volgens Wikipedia is dit te vergelijken met de ingenieursopleidingen aan de TU, die dus de titel ir. opleveren.

[reinoudb]

@Flisk

Bedankt voor je grafiekjes. Had wel beetje gedacht dat het er zo uit zou zien. De eindsnelheid is dus te berekenen met v= sqrt(F/c). Ik vraag me af wat de tijdsconstante is. Is dit gelijk aan 2sqrt(Fc))/m?

Als je wilt mag je die uitwerking naar een tanh wel laten zien.